1 Vincoli ‘Programming with constraints’ Capitolo 1.

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1 1 Vincoli ‘Programming with constraints’ Capitolo 1

2 2 Vincoli u Cosa sono i vincoli? u Modellare i problemi reali u Risolvere un problema con vincoli u Vincoli sugli alberi u Altre classi di vincoli u Proprieta’ della soluzione di problemi con vincoli

3 3 Vincoli Variabile: un place holder per valori Simboli di funzione: mapping di valori a valori Simboli di relazione: relazioni tra valori

4 4 Vincoli Vincolo primitivo: relazione con argomenti Vincolo: congiunzione di vincoli primitivi

5 5 Soddisfacibilita’ Valutazione: un assegnamento di valori a variabili Soluzione: valutazione che soddisfa i vincoli

6 6 Soddisfacibilita’ Soddisfacibile: vincolo che ha una soluzione Non soddisfacibile: vincolo che non ha una soluzione soddisfacibile Non soddisfacibile

7 7 Vincoli e modello a stati Stato: variabili con valori da un dominio Test per il goal: vincoli che specificano le combinazioni permesse di valori per delle variabili

8 8 Esempio N-regine: Variabili Q1, …, Qn Domini Di = {1,…,n} Vincoli di non attacco

9 9 Esempio Cripto-aritmetica: Es.: SEND+MORE=MONEY Variabili S,E,N,D,M,O,R,Y Domini Di = {0,1,…,9} Vincoli: M  0, S  0, somma, all-different

10 10 Esempio Colorazione di mappe: In modo che stati adiacenti non abbiamo lo stesso colore Variabili stati S1, …, Sn Domini: insieme dei colori Vincoli: all-different

11 11 Esempi reali Problemi di assegnamento: Es.: chi insegna quale classe Problemi di orario: quale classe e’ in quale orario? Configurazioni hardware Spreadsheets Scheduling di trasporti Scheduling di attivita’

12 12 Albero di ricerca Nodo: rappresenta uno stato (variabili con domini di lavori) Goal: assegnamento di valori a tutte le variabili tale che i vincoli siano soddisfatti Stato iniziale: nessuna variabile istanziata Funzione successore: istanziazione di una variabile Lo stesso per tutti i problemi con vincoli

13 13 Ricerca o no? Strategie di ricerca viste prima: tutte applicabili ai problemi con vincoli Euristiche specifiche per i problemi con vincoli (per scelta della variabile da istanziare e scelta del valore per la variabile, cioe’ la scelta del nodo da espandere) Classi di problemi con vincoli che non hanno bisogno di ricerca  risolvibili polinomialmente

14 14 Vincoli come sintassi u I vincoli sono stringhe di simboli u L’ordine non importa u Ma alcuni algoritmi dipendono dall’ordine

15 15 Vincoli equivalenti Due vincoli diversi possono rappresentare la stessa informazione Due vincoli sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni

16 16 Modellare con i vincoli u I vincoli descrivono il comportamento idealizzato di oggetti nel mondo reale

17 17 Modellare con i vincoli start foundations interior walls exterior walls chimney roof doors tiles windows

18 18 Soddisfazione di vincoli u Dato un vincolo C, due domande u soddisfazione: ha una soluzione? u soluzione: trovare una soluzione, se ce n’e’ una u La prima domanda e’ piu’ di base u Un risolutore di vincoli risponde al problema della soddisfazione

19 19 Soddisfazione di vincoli u Come rispondiamo a questa domanda? u Approccio piu’ semplice: tentare tutte le valutazioni

20 20 Soddisfazione di vincoli u Il metodo enumerativo non funziona con i numeri reali u Una versione piu’ intelligente sara’ usata per vincoli a dominio finito u Come risoviamo i vincoli sui reali? u Ricordiamo l’eliminazione di Gauss-Jordan dalle scuole medie

21 21 Eliminazione di Gauss-Jordan u Scegliamo un equazione c da C u Riscriviamo c nella forma x = e u Rimpiazziamo x, ovunque appaia in C, con e u Continuiamo finche’ u Tutte le equazioni sono nella forma x = e u O una equatione e’ equivalente a d = 0 (d != 0) u Ritorniamo true nel primo caso, altrimenti false

22 22 Gauss-Jordan: Esempio 1 Rimpiazza X con 2Y+Z-1 Rimpiazza Y con -1 Ritorna false

23 23 Gauss-Jordan: Esempio 2 Rimpiazza X con 2Y+Z-1 Rimpiazza Y con -1 Forma risolta : vincoli in questa forma sono soddisfacibili

24 24 Forma risolta u Variabile non parametrica: appare sulla sinistra di un’equazione u Variabile parametrica: appare sulla destra di alcune equazioni u Soluzione: scegli i valori dei parametri e determina i non-parametri

25 25 Vincoli sugli alberi u Rappresentano dati strutturati u Costruttori sugli alberi: stringa di caratteri u cons, node, null, widget, f u Costante: construttore o numero u Albero: u Una costante e’ un albero u Un construttore con una lista di > 0 alberi e’ un albero u Disegnato con il costruttore sopra i figli

26 26 Esempi order(part(77665, widget(red, moose)), quantity(17), date(3, feb, 1994)) cons(red,cons(blue,con s(red,cons(…))))

27 27 Vincoli sugli alberi u Altezza di un albero: u Una costante ha altezza 1 u Un albero con figli t1, …, tn ha altezza uno piu’ della massima altezza degli alberi t1,…,tn u Albero finito: ha altezza finita u Esempi: altezza 4 e altezza

28 28 Termini u Un termine e’ un albero con variabili che sostituiscono i sottoalberi u Termine: u Una costante e’ un termine u Una variabile e’ un termine u Un costruttore con una lista di > 0 termini e’ un termine u Disegnato con il costruttore sopra i figli u Equazione di termini: s = t (s,t termini)

29 29 Esempi di termini order(part(77665, widget(C, moose)), Q, date(3, feb, Y)) cons(red,cons(B,cons(r ed,L)))

30 30 Risolutore per vincoli sugli alberi u Assegnare alberi a variabili in modo che I due termini siano uguali u Es.: cons(R, cons(B, nil)) = cons(red, L) u Simile al metodo di Gauss-Jordan u Inizia con un insieme di equazioni di termini C e un insieme vuoto di equazioni di termini S u Continua finche’ C e’ vuoto o ritorna false

31 31 Soluzione di vincoli sugli alberi u unify u unify(C) u Rimuove l’equazione c da C u case x=x: non fa niente u case f(s1,..,sn)=g(t1,..,tn): return false u case f(s1,..,sn)=f(t1,..,tn): u aggiunge s1=t1,.., sn=tn a C u case t=x (x variabile): aggiunge x=t a C u case x=t (x variabile): aggiunge x=t a S u sustituisce t per x ovunque in C e S

32 32 Esempio CS Come Gauss-Jordan, le variabili sono parametri o non- parametri. Una soluzione e’ ottenuta settando I parametri (T) ad un qualsiasi valore.

33 33 Un caso particolare u C’e’ una soluzione per X = f(X) ? u NO! u Se l’altezza di X nella soluzione e’ n u allora f(X) ha altezza n+1 u Occurs check: u Prima di sostituire t per x u Controlla che x non appare in t

34 34 Altri domini di vincoli u Ce ne sono molti: u Vincoli booleani u Vincoli di sequenze u Mondo dei blocchi u Molti altri, di solito collegati a una qualche struttura matematica

35 35 Vincoli booleani Usati per modellare circuiti, … Circuito per l’or esclusivo Vincolo booleano che descrive il circuito

36 36 Vincoli booleani Vincolo che modella il circuito con variabili per i guasti Vincolo che modella che solo un gate e’ guasto Comportamento osservato: Soluzione:

37 37 Risolutore per vincoli booleani Sia m il numero di vincoli primitivi in C epsilon e’ tra 0 e 1 e determina il grado di incompletezza for i := 1 to n do genera una valutazione random sulle variabili in C if la valutazione soddisfa C then return true endif endfor return unknown

38 38 Vincoli booleani u Il risoluote booleano puo’ ritornare unknown u E’ incompleto (non risponde a tutte le domande) u E’ polinomiale in tempo, mentre un risolutore completo e’ esponenziale (a meno che P = NP)

39 39 Vincoli sul mondo dei blocchi Gli oggetti possono essere sul pavimento o su un altro oggetto. La fisica dice quali posizioni sono stabili. I vincoli primitivi sono, per es., red(X), on(X,Y), not_sphere(Y). pavimento I vincoli non sono solo matematici

40 40 Vincoli sul mondo dei blocchi Una soluzione e’ una figura con una annotazione che dice quale variabile e’ quale blocco Y X Z

41 41 Definizione di risolutore u Un risolutore di vincoli e’ una funzione solv che prende un vincolo C e ritorna true, false o unknown in dipendenza dal fatto se il vincolo e’ soddifacibile u se solv(C) = true allora C e’ soddisfacibile u se solv(C) = false allora C e’ non soddisfacibile

42 42 Proprieta’ dei risolutori u Vogliamo risolutori che hanno certe proprieta’ u well-behaved: u basati su insiemi: la risposta dipende solo dall’insieme dei vincoli primitivi u monotonici: se il risolutore fallisce per C1 allora fallisce anche per C1 /\ C2 u indipendenti dal nome delle variabili: il risolutore da’ la stessa risposta indipendentemente dal nome delle variabili

43 43 Proprieta’ dei risolutori u La proprieta’ piu’ stringente che possiamo chiedere u completezza:A un risolutore e’ completo se ritorna sempre la risposta true o false (mai unknown)

44 44 Sommario sui vincoli u I vincoli sono usati per modellare il comportamento del mondo reale u Un risolutore di vincoli determina se un vincolo ha una soluzione u Aritmetica reale e vincoli sugli alberi u Proprieta’ dei risolutori