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Introduzione alla logica sfumata Introduction to Fuzzy Logic Insieme sfumato Fuzzy Set Dominio di definizione; definition space: x  X  R L’insieme sfumato.

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1 Introduzione alla logica sfumata Introduction to Fuzzy Logic Insieme sfumato Fuzzy Set Dominio di definizione; definition space: x  X  R L’insieme sfumato è definito dalla funzione di appartenenza; Fuzzy set defined by its membership function:  A (x) 0   A (x)  1,  x  X Insieme vuoto; Empty set    (x)=0 per  x  X ; Insieme universo; Univers set S:  S (x) =1 per  x  X Insieme unione; Union set: A  B  A  B (x)=max[  A (x);  B (x)] Insieme intersezione; Intersection set: A  B  A  B (x)=min [  A (x);  B (x)] Insieme complementare; complement set: A* di of A :  A (x)+  A* (x)=1=  S (x)

2 x 10 0 X=(0

3 Per Insiemi Booleani; For Boolean Sets: Principio di esclusione; Exclusion principle: A  A* = S; A  A* =  A  A* :  A  A* (x) = max[  A (x),  A* (x)]≤ 1 A  A* :  A  A* (x) = min[  A (x),  A* (x)] ≥0 Gli insiemi sfumati non godono del principio di esclusione; Exclusion principle is not valid for Fuzzy sets A  A*  S A  A*  

4  A (x i ) x 1 x i x M A y1yjyMy1yjyM  B (y j ) B  C (B) C(x i,y j )  C (A) Insiemi sfumati di insiemi sfumati (funzioni sfumate a più valori) Fuzzy sets of fuzzy sets: (multivalued fuzzy functions)

5  C2 (x) Vettore sfumato c =(c 1, c 2 ) nel piano delle sue funziomi di appartenenza Fuzzy vector c =(c 1, c 2 ) in the plane of the membership functions S=(1,1)  =(0,0) (1,0) (0,1) A (2/3,1/4)  C1 (x)  C (x)

6 Quantizzatore sfumata Fuzzifier Elaboratore linguistico Linguistic processor Quantificatore Defuzzier Segnali analogici Analog signals Struttura di un sistema per l’ elaborazione sfumata Fuzzy set processor Segnale analogico Analog signal Antecedenti: variabili linguistiche a più valori (simboli) Antecedents: Multivalued linguistic variables (symbols) variabile linguistica a più valori (simbolo): Conseguente Multivalued linguistic variable (symbol): Consequent

7 Quantizzatore sfumato Fuzzifier Elaborazione linguistica Linguistic processing Segnali analogici Analog signals Antecedenti: variabili linguistiche a più valori (simboli) Antecedents: Multivalued linguistic variables (symbols) Massimo degli ingressi Max of input Riconoscitore basato sulla logica sfumata Fuzzy recognition system grado di apparteneza:conseguente membership value: consequent Classe riconosciuta Selected class

8 V m T V M x 1010 binario booleano binario sfumato  0 (x)  1 (x)  i (x); i=0,1 (appartenenza alla variabile binaria) X Fig. 2 Funzioni di appartenenza alla variabile binaria ( codificatore binario booleano e codificatore binario sfumato)

9 x = {a P 10 0 A,a M,a G }  aP (x)  aG (x)  aM (x)  ai (x), i= P,M,G 1 Funzioni di appartenenza di una grandezza sfumata a tre valori (piccolo:P, medio: M,grande: G) Membership functions of a three valued fuzzy variable (small:P,medium:M, large: G)

10 A a MP aPaP aMaM aGaG B bPbP bGbG cPcP cPcP cPcP cMcM cMcM cGcG cGcG c MG C={c P,c M,c G,c MG }A={a MP,a P,x M,a G } B={b P,b G } C= f(A,B) Esempio di trasformazione degli antecedenti Ae B nel conseguente C Example of the mapping of antecedents A,B into the conequent C

11 Riconoscimento di vocali con logica sfumata Fuzzy vowel recognition F2F2 F1F1  F2 QS; F EE  F1 AA OO UU II argmax I…E Elab. Ling. F1F1 MP P MG F2F2 B A UO U E A A EI V={I,U,O,A,E} F 1 ={MP, P,M,G}F 2 ={B,A}

12 Trasformazioni di funzioni logiche a tre valori Basic three valued logic variable transformation C= OR(A,B) A 01 B 1 0 A 01 B 1 0 C= AND(A,B) A 01 B B= NOT(A)

13 y  P (y)  G (y)  M (y)  i (y), 1  P (y) =.8  M (y) =.3  G (y) =.1 y= (  i y i A i )/(  i A i ) con i = P,M,G APAP AMAM AGAG y P y M y G Quantificazione con il metodo dei centroidi Method of the centroids for fuzzy quantification

14 Quantificatore Defuzzifier (MLP) x e + _ xx Quantizzatore sfumato Fuzzifier x^x^ Realizzazione del Quantificatore con un Percettrone Multistrato Implementation of the Defuzzifier using a Multi LayerPperceptron

15 DCT l(i,j) Fuzzifier Linguistic Processor argmax [m HI,m MH,m ML,m LO ] T L B class SSSS c(m,n) T’ L’ Input: Image luminance I(i,j) Preprocessed input pattern: DCT Transforms Input pattern: Total (T’)and low frequency (L’) energies: T’ =  |c(m,n)|-|c(0,0)|, m,n = 0-7 L’ =  |c(m,n)|-|c(0,0)|, m,n = 0-3 Antecedents:Fuzzy Total Energy: T={VS, SM, ML, LG} Fuzzy Low Frequency Energy: L={SM, LG} Conseguents: Visibility Block Classification: B={LO,ML,MH,HI} Classificatore sfumato delle trasformate DCT di blocchi d’ immagine Image DCT Block fuzzy Classifier

16 L SM LG  SM,  LG 1000 T VSLG  VS,  SM,  ML,  LG SM ML Funzioni di appartenenza per la codifica sfumata di T ed L Membership functions used for T and L fuzzification

17 T L LGML HI ML LO LG SM VSSM MH HI ML LO Trasformazione linguistica dell’ attivita’ dei blocchi DCT Linguistic transformation of the DCT blocks

18 x Controllore sfumato Fuzzy controller inseguitore (motore) tt  (e)/  t e e’ Errore di posizione; position error: (e=x-y) Antecedenti; antecedents: Errore; error: e={N,Z,P}, Derivata dell’ errore; error derivative: e’={N,Z,P}, Velocita’ al tempo n-1; speed at time n-1: vp={N,Z,P} Conseguente; consequent: Velocita’; speed:v={N,Z,P} Controllore PID sfumato per motori Fuzzy PID motor controller y + _ cscs qsqs  e’  vp ee vv

19 Apprendimento dei classificatori sfumati Learning of the fuzzy classifiers a)Metodo del gradiente per l’addestramento dei quantizzatori sfumati; Gradient method for the learning of the fuzzifier Problema della derivazione delle funzioni discontinue; issues of the differentation of discontinous functions)  max(x,a)/  x = 1 if x>a else  max(x,a)/  x = 0 b) Addestramentodi tutti i blocchi (CS, Trasf. Linguistico, QS) Learning of all the blocks (Fuzzifier, Ling. mapping, Defuzzzifier) Si utilizza l’architettura ANFIS; we use the ANFIS architecture ( Adaptive Network-based Fuzzy Inference System; Sistema d’inferenza sfumato basato su una rete adattativa )

20 Problema: date P coppie di addestramento (x p,z p ; p=1÷P) della z=z(x) Estrapolare (inferire) la z(x) come combinazione pesata di M interpolatori lineari : z=  i w i (p i x+r i ) x z z(x) x2x2 z2z2 xpxp zpzp xPxP zPzP x1x1 z1z1 Introduzione all’architettura ANFIS,Introduction to the ANFIS architecture x 0 = -r/p z 0 = wr Problem: P learning pairs (x p,z p ; p=1÷P) of a z=z(x) are given.Infer the z(x) as a weighted linear combination of M linear interpolator: z=  i w i (p i x+r i )

21 Quantif. Defuzzifier (OR)

22 X / + L 1 (x) X / X / xz + +   L 3 (x) L 2 (x) A3A3 A2A2 A1A1 w3w3 w1w1 w2w2 w2w2 w1w1 w3w3 Quantizzatori sfumati Fuzzifiers Normalizzatori dei mintermini Minterm normalizers Quantificatori Defuzzifiers Generatori dei Mintermini Minterm generators 11 22 33 IF (A 1 AND A 2 ) THEN (w 1 =  1  2 ) w 1 = w 1 /(w 1 + w 2 +w 3 ) Dettagli dell’architettura ANFIS; details of the ANFIS architecture x L i (x)= p i x+r i

23 Quantificatore; Defuzzifier: z=  i w i (p i x+r i ) In the specific case z(x)= w 1 L 1 (x)+w 2 L 2 (x)+w 3 L 3 (x) Rappresentazione matematica di ANFIS Mathematical respresentation of ANFIS Quantizzatori sfumati; Fuzzifiers:  i (x)= exp((x-c i )/a i ) 2,… (i=1÷K) Generatore dei mintermini (AND aritmetico o logico); minterm generators: m hk =  h (x)  k (x),… ( h;k=1÷K; m hk = m kh ) Normalizzatore dei pesi; weights normalizer: w j = w i /(w 1 +…+ w i +…+w I ),…. With i=1÷I, I=K(K-1)/2) Interpolatori lineari; Linear interpolators: L i (x)= p i x+r i

24 x z  1 (x)  2 (x)  3 (x)  i (x) z(x) x w 2 L 2 (x) L 2 (x) L 3 (x) Metodo: K funzioni di appartenenza degli ingressi; K membership functions Il numero dei tratti lineari che vengono pesati con pesi funzione dell’ingresso sono Numero d’interpolatori lineari; number of linear interpolators; I≤ K(K-1)/2 Nell’esempio; in the example K=2, I=3: z(x) ~ w 1 (x) L 1 (x)+w 2 (x)L 2 (x)+w 3 (x)L 3 (x) w 3 L 3 (x) w 1 L 1 (x) L 1 (x)

25 Parametri; parameters Parametri dei quantizzatori sfumati; Fuzzifier parameters: a i,c i (i=1÷K) Parametri delle rette interpolatrici; linear interpolator parameters: p i,r i (i=1÷K(K-1)/2)) Coppie d’addestramento; training pairs: (x p,z p ; p=1÷P) P>>K 2 Addestramento ibrido; Hybrid Learning: 1)p i e r i ottimizzati con metodo dei minimi quadrati LSE (sistema lineare sovradimensionato di P equazioni); pi and ri optimized using LSE method (overdimensioned linear system of P equations) 2) a i e c i ottimizzati con il metodo del gradiente e retropropagazione dell’errore EBP per ogni coppia d’addestramento; a i and c i optimized using the gradient method and EBP for each training pair. Riferimento: Jyh-Shing Roger Jang: ANFIS: Adaptive_Network-Based Fuzzy Inference System, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 23 No pp


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