1 Progetto CASD A.A. 2009/2010 Triangulation PR kd-tree: un indice spaziale per la modellazione di terreni Introduzione Lindice spaziale PR kd-tree Lindice.

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1 1 Progetto CASD A.A. 2009/2010 Triangulation PR kd-tree: un indice spaziale per la modellazione di terreni Introduzione Lindice spaziale PR kd-tree Lindice spaziale Triangulation PR kd-tree Costruzione di un indice spaziale Triangulation PR kd-tree Localizzazione di un punto (Point location query) NOTA: questi lucidi sono stati usati per la presentazione in aula del progetto. La descrizione precisa del progetto a cui fare riferimento verrà messa a disposizione su Aulaweb.

2 2 Introduzione Obiettivo del progetto Sviluppo di un prototipo di un sistema informativo geografico per eseguire interrogazioni su modelli di terreno. Modello di terreno Dato un insieme V di punti nel piano xy ed un insieme di valori di quota nei punti di V, un modello di terreno consiste in una funzione interpolante lineare a pezzi definita su una mesh M nel piano xy che connette i punti di V. Griglia M che connette i punti di V p P

3 3 Introduzione (2) Introduzione (2) Le operazioni di interrogazione su un modello di terreno corrispondono a interrogazioni su una griglia di triangoli nel piano xy, più semplici da trattare. Nel progetto, consideriamo operazioni su una griglia di triangoli nel piano xy, detta modello del terreno proiettato. Per effettuare le operazioni di interrogazione e di aggiornamento in maniera efficiente, dobbiamo sovraimporre un indice spaziale sulla griglia di triangoli Griglia M nel piano xy p P

4 4 Griglie di triangoli Una griglia di triangoli (detta anche triangles mesh) è un insieme di triangoli tali che per ogni coppia di triangoli t 1 e t 2 vale una delle seguenti condizioni: t 1 e t 2 non si intersecano; se t 1 e t 2 si intersecano, lintersezione deve avvenire esclusivamente in uno spigolo comune o in un vertice comune. Una griglia di triangoli Insiemi di triangoli che non formano una griglia

5 5 Griglie di triangoli manifold Nel progetto useremo griglie di triangoli manifold. Una griglia di triangoli si dice manifold se per ogni vertice p i triangoli ivi incidenti sono adiacenti a coppie e formano un unico ventaglio di triangoli. Griglia di triangoli non manifold Griglia di triangoli manifold

6 6 Il Progetto Si richiede di sviluppare l'indice spaziale Triangulation Point-Region kd-tree (spesso abbreviato in Triangulation PR kd-tree), un indice da sovrapporre a triangolazioni. L'indice spaziale Triangulation PR kd-tree è basato su quello Point-Region kd-tree (spesso abbreviato in PR kd-tree), un indice spaziale gerarchico per insiemi di punti nel piano. Il progetto consiste nel progettare ed implementare: una struttura dati per l'indice spaziale Triangulation PR kd-tree un algoritmo per costruire un indice spaziale Triangulation PR kd-tree un algoritmo per localizzare un punto in una triangolazione (point location query) Su Aulaweb troverete: le specifiche formali e complete del Progetto materiale aggiuntivo per lo svolgimento del Progetto

7 7 La Prima Parte del Progetto Nella prima parte del Progetto si dovrà costruire l'indice spaziale Triangulation PR kd-tree a partire da una griglia di triangoli fornita in input. Input: una griglia di triangoli specificata dall'insieme dei suoi vertici e dei suoi triangoli descritto in forma indicizzata: lista delle coordinate di ogni vertice (in virgola mobile - float) lista dei triangoli, visti come triple di indici dei vertici I vertici ed i triangoli in input costituiscono una triangolazione manifold corretta. Il dominio della triangolazione verrà fornito nel file di input. Output: una rappresentazione delle foglie dell'indice Triangulation PR kd-tree. Su Aulaweb troverete: le specifiche complete per i file di input e di output per quanto riguarda questa prima parte del Progetto il codice C del programma visPart1 per poter visualizzare loutput di questa prima parte del Progetto

8 8 La Seconda Parte del Progetto Nella seconda parte del Progetto si dovrà progettare ed implementare linterrogazione di localizzazione di un punto (detta anche point-location query). POINT LOCATION QUERY Input: una griglia di triangoli specificata come per la prima parte del Progetto; le coordinate del punto p da localizzare (in virgola mobile – float) Output: la lista dei nodi visitati ed un solo triangolo contenente p (se esiste). Su Aulaweb troverete: le specifiche complete dei file di input e di output per quanto riguarda questa seconda parte del Progetto il codice C del programma visPart2 per poter visualizzare loutput di questa seconda parte del Progetto Il codice C per la primitiva di localizzazione di un punto in un triangolo.

9 9 Dettagli Organizzativi La consegna del progetto sarà UNICA e a fine corso – 30 GIUGNO 2010 Il voto conseguito sarà valido fino a FEBBRAIO 2011 Si può svolgere a gruppi (max 3 persone), previa iscrizione su Aulaweb o inviando un messaggio al dott. Canino (canino@disi.unige.it) I linguaggi accettati sono C, C++ e Java

10 10 L'indice spaziale PR kd-tree Fornisce una rappresentazione gerarchica di un insieme di punti nel piano. Dato un insieme finito di punti S, distribuiti in un dominio D nel piano, un PR kd-tree suddivide D in regioni rettangolari annidate, dette blocchi. Ogni blocco nella partizione risultante del dominio D è vuoto oppure contiene esattamente un punto di S (condizione di suddivisione). Il processo di suddivisione si applica fino a quando non si verifica la condizione di suddivisione per ogni blocco. La suddivisione di un blocco b viene eseguita dividendolo alternativamente in senso verticale oppure orizzontale rispetto al punto centrale (detto anche centroide) del blocco b. Quindi si creano due nuovi sottoblocchi: la loro definizione deve garantire che un punto appartenga ad un solo blocco della suddivisione. A BC

11 11 Suddivisione di un blocco Suddivisione di un blocco Sia C = ( x c, y c ) il centroide del blocco b allora: il blocco LEFT (L) contiene tutti i punti P = ( x p, y p ) del blocco b tali che x p < x c il blocco RIGHT (R) contiene tutti i punti P = ( x p, y p ) del blocco b tali the x p x c il blocco BELOW (B) contiene tutti i punti P = ( x p, y p ) del blocco b tali che y p < y c il blocco ABOVE (A) contiene tutti i punti P = ( x p, y p ) del blocco b tali che y p y c Per convenzione il blocco LEFT (oppure BELOW) viene memorizzato come primo sottoblocco, mentre quello RIGHT( oppure ABOVE) come secondo sottoblocco. Questo schema di suddivisione impone che un blocco deve contenere solo il suo bordo inferiore e quello sinistro, tranne quando il blocco si trova lungo il contorno del dominio D: in questo caso i bordi dovranno essere chiusi, cioè appartenere al blocco stesso.

12 12 Rappresentazione ad albero di un PR kd-tree Rappresentazione ad albero di un PR kd-tree Un indice PR kd-tree è rappresentato da un albero binario in cui ogni nodo descrive un blocco della suddivisione. La radice dell'albero descrive l'intero dominio D. I nodi interni (nodi INTERNAL) rappresentano blocchi che non appartengono alla suddivisione finale di D: ogni nodo interno ha due figli che non contengono punti di S. I nodi interni di livello pari rappresentano suddivisioni del blocco corrispondente in senso verticale, mentre quelli di livello dispari suddivisioni in senso orizzontale. Le foglie rappresentano blocchi che contengono un punto (foglie di tipo FULL) o che sono vuoti (foglie di tipo EMPTY). Nodo FULL Nodo INTERNAL Nodo EMPTY BC A B LR B A LR A C

13 13 Inserimento di un punto in un PR kd-tree (1) Linserimento di un punto P=(x p,y p ) in un PR kd-tree deve essere eseguito in due fasi. Fase 1 Bisogna individuare la foglia b che contiene il punto P, visitando lalbero a partire dalla radice (a livello 0) in maniera analoga agli alberi binari di ricerca. Se il nodo corrente n è di tipo INTERNAL ed il centroide del blocco interno è C=(x c,y c ), allora: se n è a livello pari (cioè la suddivisione del blocco interno è verticale) allora: si prosegue la ricerca nel figlo LEFT, se x p < x c si prosegue la ricerca nel figlio RIGHT, altrimenti se n è a livello dispari (cioè la suddivisione del blocco interno è orizzontale) allora: si prosegue la ricerca nel figlio BELOW, se y p < y c si prosegue la ricerca nel figlio ABOVE, altrimenti Se il nodo corrente n è una foglia, allora possiamo eseguire la Fase 2.

14 14 Inserimento di un punto in un PR kd-tree (2) Fase 2 Una volta individuata la foglia b che contiene il punto P, bisogna proseguire in base al tipo di foglia trovata: se la foglia b è di tipo EMPTY si inserisce direttamente P nella foglia b, che diventa una foglia di tipo FULL se la foglia b è di tipo FULL e contiene già il punto P allora l'inserimento termina altrimenti bisogna creare un nuovo livello nell'albero, inserendo in maniera ricorsiva nell'indice il punto P ed il contenuto della foglia b, che diventa un nodo interno (cioè di tipo INTERNAL). P P no ok ok

15 15 Mobile PR kd-tree: un esempio Chicago Toronto Denver

16 16 Osservazioni sull'indice PR kd-tree Le foglie FULL o EMPTY possono trovarsi a qualunque livello di un indice spaziale PR kd-tree. La forma di un PR kd-tree è indipendente dall'ordine in cui punti di S sono inseriti, poiché il processo di suddivisione è effettuato sul centroide del blocco e non sulle coordinate dei punti. L'altezza di un PR kd-tree costruito su un insieme di punti S è inversamente proporzionale alla distanza minima fra due punti dell'insieme S. Ulteriori riferimenti per l'indice spaziale PR kd-tree: libro di testo H. Samet - Design and Analyisis of Spatial Data Structures applets per indici spaziali disponibili presso http://donar.umiacs.umd.edu/quadtree/index.html A LL B A BC R B A L C R

17 17 L'indice spaziale Triangulation PR kd-tree (1) Lindice PR kd-tree gestisce insiemi di punti e quindi NON è adatto alle triangolazioni. Tuttavia possiamo ridurre una triangolazione ad un insieme di punti associando ad ogni triangolo un punto rappresentativo, che lo identifica univocamente. La scelta più comunemente adottata è quella di considerare il centroide di un triangolo. Dato un triangolo avente rispettivamente (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) e (x 3,y 3 ) come vertici, allora il suo centroide (o anche baricentro) avrà coordinate ( C x,C y ) dove: C x = ( x 1 + x 2 + x 3 )/3 e C y = (y 1 + y 2 + y 3 )/3 In questo modo, possiamo costruire una particolare versione dellindice PR kd-tree sui centroidi dei triangoli, detta Triangulation PR kd-tree. Analogamente a quanto avviene per l'indice PR kd-tree, il dominio della triangolazione viene ricorsivamente suddiviso in regioni rettangolari annidate, dette blocchi. In un Triangulation PR kd-tree, la regola di suddivisione di un blocco si applica solo ai centroidi dei triangoli ed è la stessa regola usata nel PR kd-tree. Ad ogni blocco b della suddivisione finale che contiene il centroide di un triangolo t, è associato anche il triangolo t.

18 18 L'indice spaziale Triangulation PR kd-tree (2) La suddivisione del dominio dipende dai centroidi dei triangoli ed è la stessa che si ottiene costruendo un PR kd-tree con i soli centroidi.

19 19 Rappresentazione ad albero di un indice spaziale Triangulation PR kd-tree Un Triangulation PR kd-tree è rappresentato da un albero binario nel quale ogni nodo descrive un blocco della suddivisione. Il nodo radice rappresenta il dominio della griglia. I nodi interni (nodi INTERNAL) corrispondono a blocchi ulteriormente suddivisi che non contengono centroidi dei triangoli della griglia di partenza. Un nodo foglia può essere di tipo: EMPTY se non contiene alcun centroide; FULL se contiene al più un centroide dei triangoli della griglia di partenza. Nodi FULL Nodi INTERNAL Nodi EMPTY LRBA 30 LR 12 BALRBALRBALRBA

20 20 Costruire un indice Triangulation PR kd-tree L'algoritmo per costruire un Triangulation PR kd-tree a partire da una triangolazione inserisce in maniera incrementale i triangoli della griglia di partenza. L'algoritmo per inserire un triangolo è lo stesso usato per inserire un punto in un PR kd- tree (in questo caso il centroide del triangolo). NOTA: bisogna memorizzare il riferimento ad un triangolo quando si memorizza il suo centroide in una foglia di tipo FULL.

21 21 Triangulation PR kd-tree – Proprietà (1) Le foglie di tipo FULL ed EMPTY possono trovarsi a qualunque livello dellindice. La forma di un indice Triangulation PR kd-tree NON dipende dallordine di inserimento dei triangoli, visto che la suddivisione di un blocco viene eseguita rispetto al centroide. Laltezza di un indice Triangulation PR kd-tree è inversamente proporzionale alla distanza minima fra i centroidi. In un Triangulation PR kd-tree TUTTAVIA: un triangolo viene univocamente associato ad un solo nodo di tipo FULL NON è garantito che un triangolo sia interamente contenuto nel blocco di tipo FULL a cui è associato NON è possibile conoscere quali blocchi vengono intersecati da un triangolo Dunque, nel processo di indicizzazione NON si tiene conto dellestensione spaziale di un triangolo, MA solo della posizione del suo baricentro. LR BABA 12 L 30 R Nodi FULL Nodi INTERNAL Nodi EMPTY

22 22 Triangulation PR kd-tree – proprietà (2) Di conseguenza, NON è garantito che: Una foglia EMPTY sia effettivamente vuota Una foglia FULL sia intersecata solo dal triangolo t ad essa associata. Quindi NON è possibile analizzare SOLO i centroidi nelle interrogazioni!

23 23 Localizzazione di un punto QUERY Dato un punto p=(x p,y p ), si vogliono individuare gli eventuali triangoli della griglia contenenti p al loro interno o sul loro bordo. NOTA Se il punto p sta sul bordo di un triangolo allora potrà essere condiviso fra più triangoli.

24 24 Localizzazione di un punto (2) IDEA di BASE Possiamo limitare la ricerca dei triangoli nella porzione di dominio più vicina possibile al punto p, scartando parti di dominino non significative con un indice. Soluzione possibile (con un Triangulation PR kd-tree) Individuare la foglia che contiene il punto p visitando lalbero a partire dalla radice (a livello 0) in maniera analoga agli alberi binari di ricerca. Se il nodo corrente n è di tipo INTERNAL ed il centroide del blocco b descritto da n è C=(x c,y c ), allora: se n è a livello pari (cioè la suddivisione di b è verticale) allora: si prosegue la ricerca nel figlio LEFT, se x p < x c si prosegue la ricerca nel figlio RIGHT, altrimenti se n è a livello dispari (cioè la suddivisione di b è orizzontale) allora: si prosegue la ricerca nel figlio BELOW, se y p < y c si prosegue la ricerca nel figlio ABOVE, altrimenti Se il nodo corrente n è una foglia FULL oppure EMPTY, allora possiamo cercare gli eventuali triangoli che contengono il punto p a partire dal blocco descritto da n.

25 25 Localizzazione di un punto (3) Tuttavia non è detto che sia possibile individuare tali triangoli: ad esempio, se siamo in una foglia EMPTY non possiamo fare riferimento ad alcun triangolo oppure una foglia FULL viene intersecata da triangoli differenti da quello memorizzato (non raggiungibili). Durante la ricerca sono state scartate porzioni significative del dominio senza verficarne limportanza nella localizzazione del punto p in input.

26 26 Localizzazione di un punto (4) TUTTAVIA: è necessario visitare un nodo FULL per poter accedere al triangolo ad esso associato, altrimenti non verrà mai preso in considerazione è probabile che i triangoli contenenti il punto p siano associati a blocchi FULL il più vicino possibile rispetto a p. Soluzione proposta Individuare i blocchi della suddivisione in base alla loro distanza dal punto p, a partire da quelli più vicini al punto p in input. E possibile risolvere questo problema, proponendo una opportuna variante della Nearest Neighbor Query. Dati un insieme S di punti ed un punto Q si vuole trovare il punto in S avente distanza minima dal punto Q.

27 27 Incremental Nearest Neighbor Query OBIETTIVO Costruire in maniera incrementale linsieme dei nodi dellindice Triangulation PR kd-tree ordinato in senso crescente rispetto alla distanza dei nodi dal punto p in input (punto da localizzare). INCREMENTAL NEAREST NEIGHBOR QUERY In questo Progetto si userà lalgoritmo per la Ricerca Incrementale degli Elementi più Vicini (in inglese Incremental Nearest Neighbor Query) in un PR quadtree, proposto in G. Hjaltason e H. Samet, 1995 Questa tecnica può essere adattata facilmente allindice Triangulation PR kd-tree. Sfrutta la struttura dati coda con priorità per memorizzare i nodi da visitare. In una coda con priorità gli elementi sono associati ad un valore numerico (priorità), che determina lordine con cui essi vengono acceduti. Due primitive fondamentali: DELETE_MAX: rimuove lelemento con priorità massima dalla coda INSERT: inserisce un nuovo elemento nella coda in base alla sua priorità Dovete fornire una implementazione della coda con priorità!

28 28 Distanza di un blocco da un punto Dato un blocco b ed un punto p allora diremo che la distanza del blocco b dal punto p sarà nulla se e soltanto se il punto p appartiene al blocco b. In caso contrario, dobbiamo capire a quale quadrante appartiene il punto p (rispetto al blocco b) e proseguire come mostrato in figura. IMPORTANTE: la priorità di un blocco b (e quindi del nodo n che lo descrive) è definita come linverso della distanza di b dal punto p.

29 29 Incremental Nearest Neighbor Query - Algoritmo Nella coda con priorità verranno memorizzati i nodi di un Triangulation PR kd-tree in base alla loro priorità. Dati un punto p da localizzare e T un indice spaziale Triangulation PR kd-tree, allora: Passo 1: si inserisce in una coda con priorità Q (inizialmente vuota) il nodo radice di T. Passo 2: se la coda Q non è vuota, si estrae dalla coda il nodo n con priorità massima e si prosegue in base a n: se n è di tipo EMPTY, allora non si esegue alcuna operazione; se n è di tipo INTERNAL, allora si inseriscono i due figli di n nella coda Q; se n è di tipo FULL, allora si controlla se il triangolo t memorizzato in n contiene il punto p al suo interno: in caso affermativo si memorizza t. Passo 3: si ripete nuovamente il passo 2. Lalgoritmo viene ripetuto fino a quando la coda con priorità Q non diventa vuota.

30 30 Incremental Nearest Neighbor Query – Esempio 1 Nellalgoritmo appena proposto si visitano i nodi dellindice Triangulation PR kd-tree a partire da quelli più vicini al punto p da localizzare. Solitamente, NON richiede la visita di un numero elevato di nodi, se il punto p appartiene ad un triangolo.

31 31 Incremental Nearest Neighbor Query – Esempio 2 Nel caso peggiore (quando il punto p da localizzare è esterno alla triangolazione), dobbiamo visitare tutti i nodi dellindice prima di concludere.

32 32 Approfondimenti G. Hjaltason e H. Samet, Ranking in Spatial Databases, In Proceedings of the 4° Symposium on Spatial Databases, volume 951 of Lecture Notes in Computer Science, pagine 83-95, Portland, Maine, USA, Agosto 1995, Springer-Verlag G. Hjaltason e H. Samet, Distance Browsing in Spatial Databases, ACM Transactions on Database Systems, Volume 24, numero 2, pagine 265-318, 1999 H. Samet, Foundations of Multidimensional and Metric Data Structures, Morgan Kaufmann Publisher, Agosto 2006