Dienes e gli altri un bilancio delle nuove proposte per la didattica della matematica nella scuola primaria negli anni sessanta-settanta Lucilla Cannizzaro 27 Aprile 2009 -Roma3

Per tessere il nostro racconto seguiremo alcune … trame che, sia pure appena delineate, spero forniscano un visione d’insieme alla quale appoggiarsi per potere e volere soddisfare curiosità di approfondimento

1. Il contesto legislativo 2. Il ruolo dell’Editoria 3. Le riflessioni di alcuni matematici 4. I Monitoraggi delle riforme e del quadro culturale 5. I Progetti di Ricerca 6. L’aggiornamento

7. La matematica/la psicologia : all’estero nel 1950/1952 8. Le buone intenzioni 9. Le invettive e …. ‘lo strapotere’ 10. Ricerca di equilibrio 11. Negli anni 60: gli attori matematici 12. Negli anni 60: gli attori non matematici

13. Eredità 14. Dienes 15. Dienes e l’Italia 16.a,b. Dienes e la Didattica della Matematica 17. Alcune precisazioni

Prendiamo fiato giocando con il materiale 18. Dienes interprete del suo tempo ma anche precursore 16.c,d. Torniamo ai principi di Dienes 19. Cosa rimane nella didattica quotidiana ? 20. Freudenthal spinge fuori dagli estremismi 21. Tentativo di sintesi: Perché così poco ….?

1. Le riforme: in Italia nel 1938 riforma Bottai unifica l’insegnamento nei primi tre anni della scuola secondaria per i Ginnasi, gli Istituti Tecnici e gli Istituti Magistrali introduce elementi di Algebra nelle terze classi della nuova ‘Scuola Media’.

2. Ruolo dell’editoria 1960 prima stampa del volume l’Insegnamento della Matematica nella collana Didattica Viva della La Nuova Italia ((NI)) (M. G. Campedelli) 1965, NI traduce di Tobias Dantzig, Il Numero: linguaggio della Scienza (1954) (Ragusa Gilli) 1965, Patron Bologna, MPI- OCSE, Matematica Moderna nella Scuola Media

Riforme ed editoria La successiva riforma del 1963 riguarda la Scuola Media Unica Obbligatoria. 1968 traduzione italiana (per LA Nuova Italia (NI)) del libro di Piaget e Szeminska: la genesi del numero nel Bambino (1941) nel 1970 L. Tornatore traduce: La formazione matematica di K. Lovell (1966) psicologo (NI) nel 1977 la SEI di Torino traduce il volume dell’UNESCO: Tendenze attuali dell’insegnamento della matematica

3. Riflessioni esplicite dei matematici 1971, Giovanni Prodi invita alla cautela La teoria degli Insiemi nella Introduzione alla Matematica di Base, Scuola Italiana Moderna, 2, 37-39 ristampato nel 1975 da L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, 6, 3, 4-18

1’. Riforme Il successivo intervento per la Suola Media è del 1979 per la Scuola Elementare è del 1985 riguardano i Programmi ed metodi didattici: ‘Nuovi Programmi’.

4. Monitoraggi Per la Scuola media dopo il 1979 editoria e aggiornamenti ‘locali’ Indagine VAMIO, 1988 e nel 1998 a cura del CEDE organo del MPI Per la Scuola Elementare dopo il 1985 Piano Pluriennale di Aggiornamento (PPA) 1992 dal CENSIS per conto del MPI

5. I Progetti di Ricerca nel periodo 1976-1981 Progetto RICME (Comitato per la Matematica del CNR) nel periodo 1979-1988 pubblicazione dei materiali del RICME (con diritti d’autore alla Mathesis) Armando Armando (e poi CETEM, Milano dal 1988)

6. L’ Aggiornamento PPA affidato agli IRRSAE per il Lazio sviluppato dal Dipartimento di Matematica di Roma1 nel 1990 e 1991, con materiali pubblicati da NI a partire dal 1991; modello di aggiornamento a ‘cascata’ mai monitorato

7. La matematica/la psicologia e loro ruoli istituzionali: all’estero nel 1950/1952 Gustave Choquet, Caleb Cattegno con Jean Piaget, Dieudonnè, Gonseth ed altri fondano la Commissione per Internazionale per lo Studio e il Miglioramento dell’Insegnamento della Matematica (CIEAEM) presa d’atto della convergenza dei risultati ottenuti in matematica dai bourbakisti nella prima metà del secolo e dei risultati della psicologia genetica dagli anni venti in poi

8. Le buone intenzioni Nel 1952 in una riunione in Francia emerse l’idea di una riforma radicale dell’insegnamento della matematica; prima trasformare l’insegnamento universitario poi quello secondario poi quello primario il modello matematico scelto fu quello bourbakista dagli insiemi alle strutture insistenza sul metodo didattico con sottolineatura del metodo per scoperta a partire dalle attività dei ragazzi procedere per esempi e contro esempi arrivare in un secondo momento alla definizione e sistemazione rigorosa

9. Le invettive e … lo ‘strapotere’ Nel 1959 a Royaumont , Deudonné … abbasso Euclide, abbasso la geometria intuitiva riempire il divario tra matematica secondaria e matematica universitaria scomparsa della metodologia della scoperta prevalere del metodo espositivo e ripetitivo

10. Ricerca di equilibrio 1962 a Budapest ‘International Symposium of Mathematics Learning’ sponsorizzato dall’UNESCO Scaturiscono due filoni: 1.‘Back to Basic’; 2. insegnamento della matematica visto in un sistema più complesso di problemi 1962 inizia una riforma sistematica dell’insegnamento della matematica in Ungheria progetto ‘Post-‘New Maths’, implementato a partire dal 1985 (in sintonia con UCSMP University of Chicago School Mathematics Project); persona più rappresentativa: Tamas Varga. (ESM, 9, 1978, 225-244)

11. Negli anni 60: gli attori matematici C. Gattegno Z. P. Dienes * Organizzazioni Speciali di Firenze R. B Davis * H. Freudenthal Ripensando l’Educazione Matematica, Editrice La Scuola, 1994 (ESM, …) S. Krygowska Cenni di didattica della matematica. (UMI) Pitagora 1979 G. Polya Come risolvere problemi: Feltrinelli 1976; La Scoperta Matematica 1979 W. W. Sawyer Guida all’insegnamento della matematica: vol1. Algebra Intuitiva e vol 2. Ricerca di un metodo, Boringhieri, 1978 W. Servais Il Materiale per l’Insegnamento della Matematica (CIEAEM), NI Didattica Viva, 1965 R. Skemp * * prima laurea in matematica e seconda laurea in psicologia

12. Negli anni 60: gli attori non matematici Montessori (Pestalozzi/Frenet/Decroly) G. Cuisenaire J. Piaget L. S. Vygotsky J. S. Bruner

13. Eredità Per la matematica: Concezione costruttiva, concezione descrittiva, concezione formale, concezione sostanziale Per l’apprendimento della matematica: apprendimento per ricezione, apprendimento per scoperta, apprendimento significativo, apprendimento meccanico Due movimenti: ‘Back to basic’ e Post-‘New Maths’ Entrambi alimentano il sorgere del IGPME a partire dal 1976

14. Dienes (1916- ..e complimenti!) Matematico di formazione (in Inghilterra) con una seconda laurea in psicologia 1975 in un Symposium on Mathematics Laboratories sviluppa materiali per scuola secondaria: esempi di geometrie finite Traduce in inglese: Rotza Peter, Giocando con l’infinito (1943 copyright 1957) tradotto in italiano per Feltrinelli nel1973 a cura di Giulio Giorello

Dienes parla direttamente agli insegnanti pubblica (con Golding E. W.) molti testi per insegnanti, pubblicati per O.C.D.L. alla metà degli anni 60 (tradotti in italiano dalla OS Firenze (alla fine degli anni 60)

Building up Mathematics, 1960, London, Hutchinson Tradotto in Italiano nel 1964 sei Stadi dell’apprendimento della matematica gioco libero, trial and error activity (play) giochi strutturati (games ovvero rule bound play) ricerca di elementi comuni molti giochi diversi con la stessa struttura, ricerca di isomorfismo rappresentazione (dettagli irrilevanti di molti giochi sono accantonati) simbolizzazione formalizzazione

1966 il rapporto UNESCO: Mathematics in primary education: learning of mathematics by young children (tradotto dalla SEI di Torino 1977)

… e poi …… Nel 1974: Learning Logic and Logical Games Learning Logic and Logical Games The Rational Number Project (NSF 1979-1992) Nel 1995: Contributo in English. L. D. 6 Halford, G. S., Mathematics Education: Models and Process, Hillsdale, NJ Lawrence Erlbaum nel 2000 Mathematics in School Nel 2002: contributo in onore di R. Skemp nel 2005 con Scott R. e nel 2006 e 2007 con Ziori E. contributi su ‘measures of unconscious knowledge’ in Psychological Research and Mind and Society e Quartely Journal of Experimental Psychology nel 2006 Intervista nel sito

15. Dienes e l’Italia Traduzione, alla fine degli anni 60, di diversi libri per insegnanti a cura di OS Firenze Traduzione (curata da A. Pescarini), per Feltrinelli 1968, del volume di Dienes del 1963: Uno studio sperimentale sull’apprendimento della matematica, con prefazione di Bruner Visite ripetute nelle scuole elementari dell’Emilia

16. Dienes e la Didattica della Matematica 16.a. Principio di costruttività 16.b. Principio di variabilità percettiva 16.c. Principio di varietà matematica di molteplicità di embodiment 16.d. Principio dinamico

16.a. Principio di costruttività Il pensiero costruttivo precede il pensiero logico Comprensione costruttiva precede la costruzione analitica Cinquecento è diverso da cinque centinaia *

Le idee matematiche sono costruibili La struttura di una idea matematica non può essere ‘estratta’ da oggetti concreti ma può/deve essere ‘estratta’ da sistemi di relazioni, sistemi operatori, sistemi di organizzazioni imposti a collezioni di oggetti.

16.b. Principio di variabilità percettiva Modelli hanno caratteristiche che il sistema modellizzato non ha e viceversa mancano di caratteristiche che il sistema ha quindi criteri di riduzione dei distruttori e di selezione di caratteristiche pregnanti fare variare il maggior numero di variabili per favorire l’optimum di esperienza necessaria allo sviluppo dei concetti

Blocchi Aritmetici Multibase (BAM) PRIMA fondare un sistema appropriato di relazioni e di operazioni attraverso il gioco e solo DOPO usare i BAM come modello che incorpora la struttura del sistema di scrittura in base dieci PRIMA il sistema di relazioni deve essere letto nel materiale attraverso l’espletarsi di attività concrete DOPO la struttura può essere letto fuori, astratta come rete di relazioni ed operazioni

.. Cerchiamo informazioni tra le illustrazioni dei testi ……

17. Verso alcune precisazioni Piaget: i primi sistemi relazionali/operatori/organizzativi che il bambino usa scaturiscono da azioni quali l’ordinare, il combinare, il separare eseguite su oggetti concreti Dienes: non azioni isolate ma azioni considerate come parte di un disegno, di una organizzazione di attività così lo studente passa dal gioco con i blocchi al giocare con la struttura matematica

In Dienes: precisazioni 1. spesso le azioni sono ‘pensate’ o partono da rappresentazioni o diagrammi più che da oggetti concreti, spesso sono accompagnate dal linguaggio più che da azioni esplicite 2. talvolta se i bambini sono troppo coinvolti da dettagli di una manipolazione concreta perdono l’essenza sulla quale dovrebbero lavorare

In Dienes: precisazioni 3. l’uso di materiale concreto non garantisce l’espletarsi di attività concrete 4. può ritardare lo sviluppo concettuale se l’attenzione non riesce a scivolare dalla singola azione al sistema si azioni

In Dienes: precisazioni 5. più che sulla concretezza del materiale concreto l’accento va posto sulla attivazione dell’attività 6. l’astrazione non è estrazione dal materiale ma estrazione dalla struttura che va imposta al materiale

In Dienes: precisazioni 7. il ruolo del materiale è quello di essere un supporto per l’attività mentale non quello di essere la base diretta dell’astrazione. 8. i sistemi di attività devono essere costruiti prima che ad essi sia dato la status di struttura matematica

In Dienes: precisazioni 9. i processi di generalizzazione e di astrazione attraverso i quali si costruiscono i concetti si attuano sulle percezioni degli oggetti concreti o sulle loro immagini … ma …… 10. È importante anche il passaggio inverso

Prendiamo fiato e vediamo sul materiale … Prendiamo fiato e vediamo sul materiale ….ma meglio sarebbe se fossimo in un laboratorio …… ad esempio …. Con i numeri in colore Con l’uso delle dita Con uso allargato dei BAM Con il mondo delle banconote Con i domino e le carte

16. c. Principio di varietà matematica, molteplicità di embodiment Astrazioni semplici, elementari e povere possono essere fatte da singoli accadimenti, fatti, modelli L’astrazione matematica avviene, o viene costruita quando il bambino riconosce analogie di struttura comuni, condivise da vari modelli

Laboratorio è: scoprire analogie BAM, abaci, bacchette RICME e NP 1985: materiale concreto: materiale comune e materiale strutturato; l’uso delle mani nel calcolo, l’uso di calcolatrici per il calcolo Varietà di sistemi rappresentativi che interagiscono includendo linguaggio parlato, simboli scritti, diagrammi, materiali manipolabili, storie basate su metafore costruite su esperienze personali

18.a. Dienes, nel il suo tempo: presa di distanza dalla psicologia genetica lo sviluppo spontaneo non è centrale o il solo centrale si integra con la Activity Theory; interessa anche l’attività di interazione attiva, le attività verbali servono a concettualizzarle, i materiali e le rappresentazioni sono elementi essenziali per lo sviluppo cognitivo perché sostengono il processo di ‘outsideness’ di contatto con l’esterno; fondamentale è l’azione e l’azione orientata

18.b. Dienes precursore: di paradigmi elaborati da alcuni cognitivisti in anni successivi : 1. immagini mentali sono legate ad aspetti concreti delle situazioni ed aspetti verbali sono evocatori di esperienze concrete percorsi mentali e schemi intorno ai quali si trovano organizzati (Images giocano ruolo determinante nella soluzione dei problemi Paivio 1971, schemi come ‘metafore’);

2. teoria dell’embodied knowledge e delle situated cognition: conoscenze ed abilità sono organizzate intorno ad esperienze tanto quanto sono organizzate intorno a processi di astrazione (Lakoff-Nunez, Da dove viene la matematica. Come la mente embodied dà origine alla matematica, Bollati Boringhieri, 2005 (2000))

Esempio in Dienes:

16.d. Principio dinamico Un sistema estratto da più modelli correlati per struttura è dinamico: le trasformazioni di un modello corrispondono alle trasformazioni in un altro modello Deve emergere un isomorfismo omeomorfismo ……. STRUTTURALISMO RIEMERGE Questo ‘dinamicità’ si struttura per cicli successivi Infiltrazione del pensiero pragmatico inglese che in campo di educazione matematica ha prodotto e dato vita al Progetto Nuffield (Zanichelli 1969-1970) e per SMP (1970s- per la scuola media Zanichelli-UMI 1972)

19. ?? Cosa rimane nella didattica quotidiana ?? Perché i principi di Dienes per la fondazione di laboratori matematici hanno avuto così poco effetto nella costruzione delle attività di classe anche in presenza di uso del BAM per esempio? Riflettiamo su alcuni esempi:

Da Dienes Golding, Primi passi in matematica, vol II, OS, 1966, pp

Da I numeri in colore nella pratica didattica, Editrice La Scuola, 1994, pag 25

Idem pag 35

Idem pag 67

Idem pag 67

20. Freudenthal spinge a superare gli estremismi auspica una appropriazione attiva di idee, strutture e procedure, e questo comporta la messa in atto di due categorie correlate e integrate del pensiero matematico: intuizione e rigore.. quelle che seguono sono citazioni integrali di Freudenthal:

“Problem solving e imparare per scoperta sono ormai diventate delle espressioni accattivanti. Non mi sono mai piaciute quando erano pronunciate come slogans, e mi piacciono ancora meno da quando ne ho visto degli esempi per la prima volta. Problem solving: cioè risolvere il problema proposto dall’insegnante o dall’autore del libro di testo o dal ricercatore di didattica, col metodo che costoro hanno in testa, piuttosto che con la procedura del discente, che affronta qualche cosa come un problema.

Una parentesi ….. Segnalo come particolarmente interessante per la pratica didattica il volume: The art of problem posing, Bruno S. I. – Walter M. I. (edizioni inglesi: 1983, 1990, 2005) Tradotto da SEI 1988

ancora Freudenthal: Imparare per scoperta, cioè scoprire ciò che qualcun altro ha nascosto Con riferimento ai contenuti da organizzare io preferirei il termine scoperta; tuttavia, nel contesto dell’insegnamento, ho scelto da molto tempo il termine invenzione, che abbraccia contemporaneamente forma e contenuto, scoperta di cose nuove e invenzione.

… la costruzione della matematica parte da contesti molto ricchi; che sono poi quelli che suscitano l’interesse di chi apprende, e stimolano la costruzione di procedure conoscitive e di algoritmi di calcolo; questi oggetti mentali vengono re-inventati e quindi interiorizzati consapevolmente, diventano patrimonio intellettuale del discente e vengono facilmente ricostruiti laddove fossero stati dimenticati

21. Tentativo di sintesi: Perché così poco ….?? Uso dimostrativo in classe; i ragazzi osservano, non fanno (violazione del principio di cotruttività) I BAM spesso sono stati il solo materiale usato (violazione del principio di multiplo/varietà di realizzazione e violazione del principio di dinamicità) Perché???. Chi???

Visione della matematica degli insegnanti che pensano alla matematica come collezione di regole isolate per manipolare simboli ed il lavoro con oggetti è visto come ‘troppo infantile’ Emergono meglio le misconcezioni degli allievi nascoste dietro gli aspetti ripetitivi degli algoritmi e sono attribuite al materiale invece che rilevate dal materiale Perché ??? Chi???

gli attori, i progetti, le riforme, ……… .. se Dienes non avesse -…. se gli insegnanti non avessero se gli insegnanti avessero ….. se la preparazione di base degli insegnati … se gli universitari non avessero ….. se gli insegnati universitari facessero …..

Una ulteriore trama e una richiesta di ammenda, una linea di tendenza Cento anni di ICMI nel volume della Enciclopedia Italiana del 2008 Chiedo ammenda per un ostracismo attuato: non ho citato George Papy, perché ….. ’ …. in educazione processo di rinnovamento è lungo e lento e non lineare.’ da J. Howson, VIII ICME