Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto di un telaio piano in c.a.: Analisi delle Sollecitazioni secondo il Metodo dei vincoli ausiliari. Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI Predimensionamento degli elementi dell’intera struttura. Analisi delle sollecitazioni di uno dei telai trasversali Metodo degli Spostamenti Metodo di Hardy-Cross (con vincoli ausiliari) Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI Analisi dei carichi Predimensionamento Definizione delle combinazioni di carico Metodo degli Spostamenti (MdS) Analisi delle sollecitazioni Metodo dei vincoli ausiliari Progetto e verifica degli elementi strutturali Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Esempio: Combinazione di carico n.2 Soluzione Vincoli ausiliari (carrelli ad asse orizz.) (S) R3(0) Cedimento di imposto al carrello i-esimo R3(2) R2(0) R2(2) a1 a2 a3 R1(0) R1(2) (S0) (S1) (S2) (S3) Ri(j): reazione del vincolo ausiliare i-esimo sullo schema j-esimo La soluzione dello schema S può essere ottenuta per sovrapposizione delle soluzioni Si imponendo che le reazioni dei vincoli ausiliari siano nulli: Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Si ottiene, dunque, un sistema di tre equazioni (ognuna relativa ad uno dei vincoli ausiliari) da cui si possono trarre i valori dei coefficienti di combinazione aj: Con riferimento a questa terna di valori, noti i parametri della soluzione S0 e delle soluzioni degli schemi Si, è possibile valutare tutti i parametri della soluzione dello schema S. Ad esempio il generico momento Mij si valuta per combinazione come segue: Per attuare questo procedimento, ovviamente, è necessario risolvere gli schemi S0 e gli schemi Sj. Si tratta di schemi a “nodi fissi” nel senso che, per ognuno, si conoscono a priori i valori degli spostamenti di piano. Per lo Schema S0 (sul quale sono applicate le azioni che caratterizzano la combinazione di carico in oggetto) gli spostamenti sono nulli per effetto della presenza dei vincoli ausiliari; sullo schema Sj si impone al solo carrello j-esimo uno spostamento orizzontale. Su tutti gli schemi si valutano gli effetti delle azioni (carichi e cedimenti) dapprima in termini di momento e poi valutando i tagli (per equilibrio d’asta) e sforzi normali (per equilibrio di nodo). Dall’imposizione degli equilibri di nodo si desumono pure le reazioni dei vincoli ausiliari Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Alcune Osservazioni sul Procedimento Il calcolo delle caratteristiche della sollecitazione con il metodo di Hardy-Cross con i vincoli ausiliari prevede, per ogni combinazione di carico considerata, la soluzione dello schema a nodi fissi S0 ed un numero di schemi Sj a nodi traslati pari al numero di nodi spostabili che caratterizza la struttura. Si osserva che, volendo analizzare più combinazioni di carico, gli schemi a nodi traslati sarebbero gli stessi dal momento che essi attengono soltanto allo schema strutturale e non ai carichi applicati. Pertanto, andrebbe soltanto risolto lo schema a nodi fissi relativo alla combinazione di carico in oggetto le cui soluzioni in termini di reazioni dei vincoli ausiliari potrebbero essere utilizzate per il calcolo della terna di valori (a1, a2, a3) relativa alla combinazione in oggetto. E’ opportuno che il valore dello spostamento d da assegnare agli schemi Sj deve essere scelto in modo da generare momenti di incastro perfetto sui pilastri dello stesso ordine di grandezza di quelli che si trovano sulle travi nello schema S0 per effetto dei carichi. Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Applicazione al caso in esame Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Applicazione al caso in esame Momenti di incastro perfetto Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 - coefficienti di ripartizione nei vari nodi - coefficienti di trasporto per le varie aste - momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste

SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 Equilibrio del nodo 10 Trasporto sull’asta 10-11 SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 24.53 12.27 24.34 Trasporto sull’asta 10-7 12.17

SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 Equilibrio del nodo 11 Trasporto sull’asta 11-12 SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 -0.10 -0.21 -0.19 -0.09 Trasporto sull’asta 11-10 -0.41 Trasporto sull’asta 11-8 -0.21

SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 Equilibrio del nodo 12 Trasporto sull’asta 12-11 SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 -14.33 -28.65 -31.59 Trasporto sull’asta 12-9 -15.79

SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 Soluzione a convergenza Si procede con il “giro” senza tornare su un nodo prima che non siano stati equilibrati tutti gli altri. La convergenza è raggiunta quando gli squilibri nodali sono non maggiori di 0.01 kNm SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 Soluzione a convergenza

SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj - coefficienti di ripartizione nei vari nodi - coefficienti di trasporto per le varie aste - momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste

SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj: Calcolo dei momenti

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj A NODI TRASLATI Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari Bozza del 14/04/2004 a cura di Enzo Martinelli

SOLUZIONE CON IL METODO DEI VINCOLI AUSILIARI Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 SOLUZIONE CON IL METODO DEI VINCOLI AUSILIARI A questo punto, note le reazioni dei vincoli ausiliari calcolate sullo schema S0 (e dovute ai carichi agenti su S) e sui tre schemi Sj, si possono determinare i valori numerici dei coefficienti aj che rendono nulle le reazioni dei vincoli ausiliari: Reazioni sullo schema S2 Reazioni sullo schema S0 (cambiate di segno) Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

Soluzione secondo il Metodo dei Vincoli Ausiliari Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Soluzione secondo il Metodo dei Vincoli Ausiliari Momenti in tm Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

DIAGRAMMI DEI MOMENTI PER LE TRE COMBINAZIONI DI CARICO Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 DIAGRAMMI DEI MOMENTI PER LE TRE COMBINAZIONI DI CARICO Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli