CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA

OGGETTO DELLA MATEMATICA FINANZIARIA 1-2 Formalizzazione dello scambio tra importi monetari disponibili in epoche diverse Calcoli connessi alla valutazione degli impegni relativi ad operazioni riguardanti un insieme di movimenti monetari Ambiente di lavoro Deterministico Stocastico (aleatorio) Condizioni di certezza (ambiente deterministico) Capitale – ammontare esprimibile in moneta Prestazione finanziaria (somma datata) Regole di comportamento economico: Possesso di un capitale è vantaggioso Disponibilità di un capitale altrui ha un prezzo Tra due prestazioni finanziarie ad una stessa epoca è preferita quella con importo maggiore con lo stesso importo >0 è preferita quella con la scadenza minore <0 è preferita quella con la scadenza maggiore

RELAZIONE DI PREFERENZA-INDIFFERENZA 2-7 Interesse – costo per la disponibilità di un capitale Lender Borrower Relazione di preferenza forte Relazione di preferenza debole Relazione di indifferenza Dominanza tra prestazioni finanziarie Confrontabilità incompleta

Principio di equivalenza finanziaria 7-8 Introducendo il comportamento individuale si ottiene la confrontabilità completa. Si procede in due fasi I fase – determinazione delle zone di non dominanza rispetto ad un punto II fase – costruzione della linea di indifferenza individuata dal punto di partenza Costruzione della curva di indifferenza (linea di indifferenza individuata da (X,A) A capitale impiegato, B montante, I interesse (operazione di prestito) A capitale a scadenza, B valore attuale, D sconto (operazione di sconto) Principio di equivalenza finanziaria Incasso oggi oppure Incasso posticipato con Incasso di interessi Esborso oggi oppure con Esborso posticipato con Pagamento di interessi

ASPETTO DIMENSIONALE 8-9 Grandezze fondamentali Importo monetario (misura della transazione con unità utilizzata) Tempo (periodo temporale durata e/o differimento ) Grandezze derivate Flusso (importo/tempo) reddito monetario (stipendio)=importo monetario che matura nell’unità di tempo Tasso (importo/importo) numero puro (interesse/capitale) Intensità (importo/[importo*tempo]) tempo occorrente alla formazione di un importo che consegue da un altro importo

RELAZIONI DI INDIFFERENZA E LEGGI DI SCAMBIO 11-14 Passaggio dal confronto tra prestazioni finanziarie a legge di scambio Operazione di prestito Funzione di capitalizzazione Operazione di sconto Funzione di attualizzazione Contratto Equo Favorevole Sfavorevole Montante Valore scontato Operazioni corrispondenti Leggi coniugate Legge di scambio (funzione di sconto e di capitalizzazione prese insieme) Proprietà: Riflessiva Simmetrica Proporzionalità degli importi (omogeneità di I grado rispetto agli importi)

LEGGI A DUE VARIABILI 15-16 Leggi coniugate con numero puro Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili Fattore di montante Fattore di sconto Riflessività Simmetria Leggi coniugate con numero puro Fattore di scambio Esemplificazione geometrica Relazioni con le funzioni implicite (Th Dini)

GRANDEZZE DERIVATE 17-18 Grandezze derivate iniziali Di capitalizzazione Fattore di montante Tasso di interesse periodale Intensità di interesse periodale Di attualizzazione Fattore di sconto Tasso di sconto periodale Intensità di sconto periodale Grandezze derivate di proseguimento Fattore di montante r(X;Y,Z)=m(X,Z)/m(X,Y) r(Y;Y,Z)

INTENSITA’ ISTANTANEA 18-20

SCINDIBILITA’ I 20-22 Definizione di scindibilità debole rispetto alla legge di montante Invarianza del risultato rispetto alle interruzioni Relazione col montante di proseguimento Definizione di scindibilità debole rispetto alla legge di sconto Relazione con lo sconto di proseguimento Definizione di scindibilità forte A mezzo della relazione di indifferenza A mezzo dei fattori di scambio Una legge di scambio è fortemente scindibile se e solo se la relazione di indifferenza è una relazione di equivalenza Z=X simm, Z=Y rifl Proprietà della relazione di equivalenza e sue conseguenze (classi di equivalenza)

SCINDIBILITA’ II 23-26 Relazioni tra scindibilità forte e scindibilità debole Classi di equivalenza tra le prestazioni finanziarie Valore finanziario intrinseco Ordinamento totale sull’insieme delle classi di equivalenza Una legge debolmente scindibile implica l’indipendenza dall’epoca di impiego Una legge è debolmente scindibile se e solo se l’intensità di interesse (di sconto) è indipendente dall’epoca iniziale. Una legge z(X,Y): z(X,Y) z(Y,X)=1 è fortemente scindibile se e solo se Suff. Intensità istantanea non vale la simmetria Fattori di scambio scindibili:

LEGGI FINANZIARIE OMOGENEE (UNIFORMI)28-29 Omogeneità rispetto al tempo (uniformità) Fattore di scambio per leggi omogenee rispetto al tempo ed all’importo Fattore di scambio ad una variabile Fattore di montante e fattore di sconto ad una variabile Curve di livello per fattori di scambio uniformi Simmetria per fattori di montante e di sconto Fattore iniziale Fattore di proseguimento

FATTORI TASSI INTENSITA’ 30

PROPRIETA’ FATTORI DI SCAMBIO UNIFORMI 34-35 Scindibilità per leggi uniformi regimi esponenziali di interesse e di sconto I regimi esponenziali di interesse e di sconto sono gli unici ad essere uniformi e scindibili Le leggi di scambio esponenziali, e solo esse, corrispondono a relazioni di indifferenza che sono equivalenze uniformi nel tempo e omogenee rispetto agli importi

DURATA, SCADENZA e TASSO MEDI Fattori di scambio funzioni continue e strettamente monotone della durata Scadenza media aritmetica ; Scadenza media Durata media tempo iniziale 0 Scadenza media aritmetica Fattore di scambio medio Sconto Montante

REGIMI E LEGGI UNIFORMI 37-38 Regimi finanziari uniformi leggi finanziarie uniformi Tassi periodali equivalenti di interesse (sconto) stessa legge finanziaria Intensità equivalenti Tassi periodali uno di interesse ed uno di sconto equivalenti Leggi coniugate

REGIME INTERESSE SEMPLICE POSTICIPATO 38-39 Proporzionalità interesse sia al tempo che al capitale I=Cit Tasso annuo di interesse (posticipato) Montante Fattore di montante Tasso periodale di interesse Intensità periodale di interesse Tassi equivalenti in regime di interesse semplice Intensità variabile Intensità istantanea Interesse calcolato sui giorni

REGIME DELLO SCONTO RAZIONALE 40-43 Leggi di sconto coniugate con leggi i.s.p. Fattore di sconto Tasso periodale di sconto Intensità periodale di sconto Tasso annuo di sconto e tasso annuo di interesse Ammontare sconto Ammontare valore scontato Intensità istantanea Grafici

REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE 43-44 Fattore di sconto Tasso periodale di sconto Intensità periodale di sconto Tassi di sconto periodali equivalenti Intensità istantanea

REGIME DELL’INTERESSE SEMPLICE ANTICIPATO 45-46 Fattore di montante Tasso periodale di interesse Intensità periodale di interesse Intensità istantanea

REGIME INTERESSE COMPOSTO 49-53 Il processo di conversione degli interessi Montante ottenuto con la conversione Regime interesse composto Conversione a tempi discreti Conversione nel continuo Conversione discreta generalizzata Capitalizzazione a tasso e numero di periodi fissati Capitalizzazione mista con conversione annua Capitalizzazione mista con conversione frazionata tasso annuo nominale convertibile m volte

TASSI ED INTENSITA’ EQUIVALENTI 54-56 Fattore di montante Tasso di interesse Intensità periodale di interesse Tasso annuo nominale convertibile m volte Capitalizzazione mista con conversione m volte l’anno Tassi periodali equivalenti in regime di interesse composto Intensità periodali equivalenti in regime di interesse composto Intensità fissata Tasso annuo fissato

REGIME INTERESSE COMPOSTO CONTINUO 57- 60 Linearità proporzionalità tra flusso di interessi ed importo che li genera Circolarità trasferimento degli interessi al fondo che li genera Uguaglianza tra l’incremento del montante e l’interesse infinitesimo Legge esponenziale Tassi periodali ed intensità periodali equivalenti Fattore di montante Tasso periodale di interesse Intensità periodale di interesse

REGIME DELLO SCONTO COMPOSTO 61 - 63

Interpretazione grafica regime composto 65 - 66

CORRISPONDENZE TRA FATTORI TASSI INTENSITA’ 67

CONFRONTO TRA RIC RSC E RISP I 72 - 74 I.S.P. vs I.C. I.S.P. vs I.S.A. I.C. vs I.S.A.

DETERMINAZIONE DI VALORI CAPITALI I 79 - 81 Operazione finanziaria Incassi Esborsi Progetto finanziario – importi datati che conseguono da un progetto realizzabile Scadenzario Flusso di cassa Operazioni Semplici Complesse Valutazione di un’operazione finanziaria Valore di un’operazione finanziaria Proprietà di additività

DETERMINAZIONE DI VALORI CAPITALI II 81-82 Operazione equa al tempo T Proprietà di invarianza scindibilità forte Valore capitale legge uniforme non scindibile Legge fortemente scindibile non uniforme Legge fortemente scindibile ed uniforme

DETERMINAZIONI DI VALORI CAPITALI Caso Continuo 84 Valutazione di un’operazione finanziaria Valore capitale legge uniforme non scindibile Legge fortemente scindibile non uniforme Legge fortemente scindibile ed uniforme

RISERVA PROSPETTIVA E RETROSPETTIVA 84 - 85 Riserva retrospettiva di O all’epoca T Riserva prospettiva di O all’epoca T Legge uniforme Legge fortemente scindibile e non uniforme Legge fortemente scindibile ed uniforme Equità in f.s.

RISERVA PROSPETTIVA RETROSPETTIVA Caso Continuo 86 - 87 Legge uniforme Legge fortemente scindibile e non uniforme Legge fortemente scindibile ed uniforme Equità

USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA’ 90 - 92 Scomposizione della riserva prospettiva Usufrutto v.a. delle quote di interesse successive a T Nuda proprietà v.a. delle quote di capitale successive a T Caso continuo

Tasso Interno di Rendimento 93 - 95 Parametri di rendimento implicito di un’operazione finanziaria Progetto finanziario – insieme dei fatti economici tecnici sottostanti all’insieme delle prestazioni TIR - IRR Legge di scambio i.c.c. Operazione equa Progetto puro (riserva retrospettiva sempre dello stesso segno) Progetto misto deve essere reciproco (tasso attivo=tasso passivo) Pagamenti periodici soluzione radice di un polinomio TIR operativo se esiste ed è unica la soluzione Valore Attuale Netto Risultato Economico Attualizzato – DCF (REA=Ris Econ Gen) GDCF (risultato economico attualizzato generalizzato) Internal Financial Law (legge finanziaria interna) Caso scindibilità forte (non dipende dall’epoca di valutazione)

CLASSIFICAZIONE DEI PROGETTI FINANZIARI 97 - 98 Operazione di investimento - Operazione di finanziamento In senso stretto (gli esborsi precedono gli incassi invest) In senso lato (scadenza media esborsi < scadenza media incassi a qualsiasi tasso di valutazione P.I.P.O. C.I.P.O. P.I.C.O. C.I.C.O. Media aritmetica esborsi<epoca I incasso (investimento) Progetto di investimento (di finanziamento) semplice Proprietà TIR Invariante per una modifica proporzionale degli importi Somma di due progetti ha un tasso interno intermedio condizione sufficiente per l’esistenza e l’unicità di una soluzione positiva per il TIR (punto di vista dell’investitore) Investimento decrescenza monotona di V(i) Finanziamento crescenza monotona di V(i)

CRITERI DI DECISIONE PER PROGETTI 99 - 102 Dato esterno (mercato e che comporta le valutazioni soggettive) Dato interno (relativo al progetto) Criterio soggettivo VAN Conveniente Indifferente Non conveniente Criterio oggettivo TIR Deve esistere il TIR Schematizzazione

ESEMPIO Cash Flow Date -120000 01/03/2000 0.040748 TIR 35000 02/04/2001 5447.569 0.03 27000 03/05/2003 -4382.78 0.05 36000 04/05/2004 45000 06/07/2008

SCELTA TRA PROGETTI IN ALTERNATIVA 107- 111 Confrontabilità tra i cash flows Alternativa completa Operazioni integrative in modo da ottenere un’alternativa completa VAN valore maggiore TIR - cash flows differenza Dominanza tra progetti non esiste il TIR nell’operazione di differenza Esistenza del TIR

Scelta tra progetti in alternativa 110

RENDITE CERTE A TASSO FISSO 135 - 138 Rendita – successione di importi datati con medesimo segno ad eguali intervalli di tempo Periodo: divario temporalecostante tra 2 rate Annuo Frazionato Poliennale Frequenza: numero di pagamenti in un anno Intervallo: arco temporale tra inizio e fine Durata: ampiezza intervallo Rata Anticipate – Posticipate – Continue Immediate - Differite Certe - Aleatorie Costanti – Variabili Temporanee – Perpetue Valore Finale (montante) Iniziale (valore attuale) Ammortamento – Costituzione di capitale

VALUTAZIONE DELLE RENDITE I.C. 138 - 148 Rendite annue temporanee Immediate Posticipate Anticipate Differite Rendite annue perpetue Rendite frazionate temporanee Rendite frazionate perpetue Rendite continue Temporanee, temporanee differite Perpetue, perpetue differite Rendite poliennali

CALCOLI INVERSI: DAL CAPITALE ALLA RATA ed ALTRO 141 - 142 Funzione crescente di n e decrescente di i Funzione decrescente di n e crescente di i Funzione crescente di n e decrescente di i Funzione decrescente di n e crescente di i Funzione decrescente di n e decrescente di i Funzione crescente di n e crescente di i Funzione decrescente di n e decrescente di i Funzione crescente di n e crescente di i

RENDITE A RATE VARIABILI I.C. 159 - 161 Valore finale Caso posticipato Valore iniziale Caso posticipato Valore finale Caso anticipato Valore iniziale Caso anticipato Valore finale Flusso continuo Valore iniziale Flusso continuo

RENDITE ANNUE IN PROGRESSIONE ARITMETICA 161 - 163 Increasing annuity

RENDITE ANNUE IN PROGRESSIONE GEOMETRICA 171 - 173 Posticipata temporanea Anticipata temporanea Perpetue

AMMORTAMENTO 189 - 191 Mutuante-Mutuatario Rimborso unico Pagamento finale degli interessi Pagamento periodico degli interessi Rimborso periodico del capitale e degli interessi

AMMORTAMENTO GRADUALE A RATE VARIABILI 191 - 197 Chiusura finanziaria Chiusura elementare Prospetto di ammortamento

USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA’, PREAMMORTAMENTO 193; 195; 192

TIPI DI AMMORTAMENTO: RATA COSTANTE 198 - 201 Ammortamento francese – rate costanti posticipate Le quote capitali evolvono in progressione geometrica di ragione (1+i) Riserva retrospettiva e prospettiva Usufrutto e Nuda proprietà

TIPI DI AMMORTAMENTO: QUOTE CAPITALI COSTANTI 202 - 203 Ammortamento italiano - quote capitali costanti Riserva retrospettiva e prospettiva Usufrutto; Nuda proprietà

AMMORTAMENTI CON ADEGUAMENTI 226 - 230 Ammortamenti con tasso variabile Immunizzazione dal rischio delle oscillazioni del mercato finanziario Ammortamento francese adeguato nel tasso Ammortamento a tasso variabile con quote di capitale prefissate Ammortamenti con adeguamento del debito residuo Indicizzazione del debito residuo in funzione di indici statistici Il caso dell’ammortamento francese serie storica degli indici statistici di adeguamento;

COSTITUZIONE DI CAPITALE, Vers. Post. 219 - 221 Vincolo di equivalenza finanziaria Versamenti posticipati costanti

COSTITUZIONE DI CAPITALE, Vers. Ant. 222 - 224 Vincolo di equivalenza finanziaria Versamenti anticipati costanti

VALUTAZIONE DI RISERVE 231-236 Valutazione delle riserve ad un tasso diverso dal tasso contrattuale Formula di Makeham Decrescenza del debito residuo rispetto ad i*

PRESTITI DIVISI: GENERALITA’ 240 - 241 Prestiti di rilevante importo Pluralità di finanziatori privati Intermediazione di terzi Garanzie pubbliche Titoli di credito a fronte di prestiti divisi Buoni a scadenza unica Obbligazioni Con rimborso a scadenza unica Con rimborso a scadenza differenziata Durata Entro un anno (sconto razionale) Pluriennale Valore di emissione p e di rimborso c Emissione sotto la pari Emissione alla pari Emissione sopra la pari

AMMORTAMENTO PER L’EMITTENTE 242 -243 Operazione finanziaria corrispondente Annua Semestrale Rimborso unico Rimborso a scadenza differenziata

AMMORTAMENTO PER GLI OBBLIGAZIONISTI 243 - 246 Rimborso unico Cedole annue Cedole semestrali Rimborso a scadenza differenziata Evoluzione tassi di mercato: continuo e variabile divario tra tasso di mercato e nominale Par condicio creditorum ammortamento mediante sorteggio Piano rimborsi = piano sorteggi Scadenza aleatoria Probabilità di estrazione, all’emissione , all’anno r di h anni Vita media all’emissione Vita media residua

ALTRI TIPI DI OBBLIGAZIONI 246 - 248 A tasso variabile Indicizzate Convertibili Capitale di credito capitale di rischio Con prezzo di rimborso superiore al valore nominale Secche con premi (no cedola diminuisce il valore di rimborso dell’importo della cedola) Con premi Con interessi incorporati (valore di rimborso crescente nel tempo) Con preammortamento Valutazione (solo caso con rimborso finale) TIR Emissioni sotto la pari Emissioni alla pari Emissioni sopra la pari

SECONDA PARTE 3 Crediti

IL MERCATO PERFETTO 259 - 261 Mercato mobiliare riformulazione dei modelli già presentati Collegamento di valori finanziari di mercato riferiti ad epoche diverse Approccio teorico Legge finanziaria Dinamica dei rendimenti Valore di un’operazione e quindi relativo prezzo Approccio empirico Si parte dal prezzo Si ottiene una struttura coerente delle dinamiche di rendimento che ad O fa corrispondere per equivalenza il prezzo Si fa riferimento ai titoli obbligazionari ed al loro mercato Mercato perfetto Non frizionalità Assenza di costi di transazione e di gravami fiscali Vendite allo scoperto (short sales) Assenza di rischio di insolvenza Omogeneità delle informazioni Continuità Infinita divisibilità Nessuna limitazione sulle quantità contrattate Competitività Massimizzazione del profitto Soggetto passivo sui prezzi (price taker) Coerenza (nessuna possibilità di arbitraggi Acquisto di importi non negativi con almeno uno positivo ad un prezzo non positivo Acquisto di importi non negativi ad un prezzo negativo

TITOLI OBBLIGAZIONARI 261 - 263 Titoli a scadenza certa Titoli a Cedola Nulla (TCN) (Zero Coupon Bond) Emittente Finanziatore Durata breve Titoli a Cedola Fissa (Coupon Bond) Reddito staccato (interessi dati dalla cedola) Reddito incorporato positivo negativo (capital gain, capital loss) Operazione finanziaria Durata investimento n-t P prezzo d’emissione, valore nominale C n scadenza del finanziamento Corso tel quel – corso secco + rateo dell’interesse maturato ma non ancora liquidato Corso ex-cedola – corso secco – rateo della cedola che maturerà al successivo pagamento della cedola Cedole a tasso variabile Cedole a tasso indicizzato

CONTRATTI, PREZZI, TASSI SPOT e YIELD I 263 - 265 TCNU (titolo a cedola nulla unitario) Prezzo a pronti (prezzo spot ,p.s.) Orizzonte di scambio Principio del rendimento del denaro Coerenza del mercato Decrescenza del prezzo rispetto alla scadenza 1 acquisto titolo ; 2 short sale 3 ho 1 in z’ ed acquisto 4 Tasso a pronti (spot rate) Intensità di rendimento a scadenza (r.s.) media delle intensità istantanee

CONTRATTI, PREZZI, TASSI SPOT e YIELD II 266 - 270 TCN non unitario acquisto in y di short sale di Titoli complessi si può supporre che si abbia un portafoglio S di TCNU con n scadenze Valore TCNU k Proprietà di linearità del prezzo Valore portafoglio Titoli a cedola fissa (coupon bond), a cedola variabile Tasso di rendimento (yield rate) tasso che rende il valore attuale di un titolo complesso uguale al prezzo di acquisizione (prezzo tel quel). P: prezzo di acquisizione n: durata residua Y: yeld Sk: incasso netto al tempo zk Yield è il TIR ed è il tasso spot se abbiamo un TCN di durata n Yeld curve titolo sottostimato - sovrastimato

CONTRATTI PREZZI E TASSI A TERMINE 270 - 272 Contratti a termine o forward – compravendite differite x epoca di contrattazione Tasso a termine Intensità di rendimento a scadenza L’intensità di rendimento a scadenza è la media delle intensità istantanee di interesse δ(x,u) fissate in x e variabili nell’intervallo (y,z)

STRUTTURE IMPLICITE PREZZI 273 - 274 Struttura implicita di collegamento dei prezzi spot con quelli forward Teorema dei prezzi impliciti implica che, nell’ipotesi di coerenza, i tassi a termine applicati siano quelli impliciti nella struttura a pronti. Proprietà dei tassi forward: Indipendenza dall’epoca di contratto (scindibilità) Aleatorietà del prezzo futuro A posteriori i prezzi forward possono non essere collegati ai prezzi spot Possibilità di arbitraggi

STRUTTURE IMPLICITE TASSI ED INTENSITA’ 275 - 277 Tassi impliciti a termine (forward rates) Intensità implicite a termine (forward intensities)

STRUTTURE CON PAGAMENTI NEL DISCRETO 277 - 280 Simbologia: Mercato completo e coerente (indipendenza dall’importo) Scadenzari discreti, prezzi a pronti

STRUTTURE FORWARD UNIPERIODALI 281 Struttura implicita dei prezzi Iterativamente si ottiene

TASSI IMPLICITI DI SCONTO UNIPERIODALI 282 - 283 Tassi impliciti di sconto o di interesse anticipato

STRUTTURE FORWARD MULTIPERIODALI 285 - 286 Prezzo a termine multi-periodale Tasso di interesse sull’orizzonte di scambio Tasso di sconto o di interesse anticipato

MATRICE DELLE STRUTTURE FORWARD MULTIPERIODALI

MATRICE DELLE STRUTTURE TASSI SPOT & FORWARD MULTI PERIODALI

MATRICE DELLE STRUTTURE FORWARD MULTIPERIODALI 284

MATRICE DELLE STRUTTURE TASSI SPOT & FORWARD MULTI PERIODALI

MATRICE DELLE STRUTTURE TASSI SPOT & FORWARD UNIPERIODALI

STRUTTURA PER SCADENZA SPOT PER LE OBBLIGAZIONI (BONDS) 287 Prezzo del titolo al tempo h quote interessi già pagate sul titolo valore del bond meno le quote interesse pagate fino ad h-1

STRUTTURA PER SCADENZA FORWARD PER LE OBBLIGAZIONI (BONDS) Prezzo del titolo di un bond contrattato al tempo 0, acquistato al tempo r con scadenza al tempo h quote interessi già pagate sul titolo valore del bond meno le quote interesse pagate fino ad h-1

STRUTTURE CON FLUSSI NEL CONTINUO 292

STRUTTURE PER SCADENZA SPOT (caso continuo) Prezzo spot Prezzo forward Strutture spot

STRUTTURE PER SCADENZA FORWARD (caso continuo) Strutture forward

ELEMENTI SPOT E FORWARD DELLA STRUTTURA DEL DISCRETO 295 - 297 Valore attuale spot Tasso spot di interesse posticipato intensità Tasso spot di interesse anticipato Valore attuale forward Tasso forward di interesse posticipato intensità

RENDITE CON STRUTTURE PER SCADENZA 297 - 300 Valore iniziale di una rendita immediata o differita Valore finale di una rendita immediata Valore iniziale di una rendita immediata a scadenze intere Valore iniziale di una rendita immediata differita a scadenze intere Valore finale di una rendita immediata posticipata a scadenze intere Valore finale di una rendita immediata anticipata a scadenze intere

AMMORTAMENTI con STRUTTURE PER SCADENZA 301 - 306 Vincolo di chiusura finanziaria Ammortamento posticipato, vincolo di chiusura finanziaria generalizzato Ammortamento anticipato, vincolo di chiusura finanziaria generalizzato

CASI PARTICOLARI DI AMMORTAMENTO 306 - 311 Ammortamento posticipato a rate costanti Ammortamento anticipato a rate costanti Ammortamento a quote capitali costanti posticipato Ammortamento a quote capitali costanti anticipato

COSTITUZIONE DI CAPITALE - STRUTTURA per SCAD. 316 - 318 Vincolo di equivalenza finanziaria Versamenti costanti

VITA A SCADENZA E SCADENZA MEDIA 324 - 326 Vita a scadenza (time to maturity) informazione precisa solo su ZCB si lavora su Scadenza media aritmetica Scadenza media epoca in cui se vengono concentrati tutti i pagamenti si ottiene lo stesso valore attuale che si avrebbe seguendo lo scadenzario

OPERAZIONE FINANZIARIA-SCADENZA MEDIA 325 - 326 Operazione finanziaria e sub-operazioni è equivalente al progetto P.I.P.O. Progetto di investimento Progetto di finanziamento

DURATION (DURATA MEDIA FINANZIARIA) 326 - 334 Duration – media aritmetica delle epoche (durate da 0) ponderata con i valori attuali degli importi. A mezzo delle proprietà delle medie si dimostra che La duration è invariante rispetto ad aumenti proporzionali degli importi Dati 2 investimenti con duration , posti i valori di la duration di è: E’ sempre possibile ottenere una duration compresa tra le due durations date La proprietà si può generalizzare ad n durations

INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE I 334 - 337 Duration di 2° ordine in 0 Struttura piatta funzione convessa Variazione relativa rapidità della variazione relativa di V rispetto a δ variazione di D rispetto a δ indice di volatilità (indice di dispersione) rapidità di variazione di D rispetto ad i Intensità derivata del logaritmo del valore rispetto al tempo, D derivata del logaritmo del valore rispetto all’intensità

INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE II 337 Elasticità flat yield duration del secondo ordine (convexity) convessità per unità di valore

INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE III 338 Volatility convexity: convessità per variazione di unità di valore

STIME DELLE VARIAZIONI DI PREZZO I Indicatore di sensibilità del I ordine: Valutazione approssimata del nuovo prezzo a seguito della variazione del tasso di mercato Indicatore di sensibilità del II ordine:

STIME DELLE VARIAZIONI DI PREZZO II Indicatore di sensibilità del I ordine: Indicatore di sensibilità del II ordine: