Approssimazione di derivate Data una funzione (teoricamente analitica) f: R  R campionata ad intervalli regolari di ampiezza h, si può approssimare la sua derivata in un punto di campionamento mediante le differenze finite fra i valori in punti di campionamento vicini: Approssimazione all’indietro: Approssimazione in avanti:

Approssimazione di derivate Approssimazioni centrali:

Approssimazione di derivate

Approssimazione di derivate Approssimazioni analoghe valgono per la derivata seconda:

Ancora rilevamento dei contorni Alcune delle approssimazioni viste prima sono utilizzate nel rilevamento dei contorni. Dopo (o assieme a) un filtraggio, si convolve l’immagine con una maschera che fornisce la derivata parziale fx rispetto a x. Con tali valori si costruisce una matrice (una immagine ausiliaria) di tipo appena più piccolo della immagine originaria (a causa dell’impossibilità di centrare la maschera su tutti gli elementi del bordo). Analogamente, si costruisce una terza matrice contenente i valori della derivata parziale fy rispetto ad y.

Ancora rilevamento dei contorni Si costruisce una quarta matrice in cui ogni elemento è la norma euclidea del gradiente di f relativo alla stessa coppia di indici: Gli elementi appartenenti al contorno sono quelli per cui tale norma risulta massima, o comunque superiore ad una soglia fissata.

Ancora rilevamento dei contorni Algoritmo di Canny: le derivate parziali si ottengono mediante convoluzione con le maschere o anche, con le dovute modifiche alla sommatoria,

Ancora rilevamento dei contorni Algoritmo di Sobel: la variante relativa al calcolo delle derivate parziali è rappresentata dalle maschere Algoritmo di Roberts: le derivate vengono calcolate rispetto ad altre direzioni

Rilevamento degli angoli Con opportuni accorgimenti, è possibile rilevare caratteristiche (features) più sofisticate. Come esempio, indichiamo un metodo per rilevare angoli. Per ogni elemento dell’immagine (sufficientemente discosto dal bordo) consideriamo i valori di fx ed fy relativi agli elementi di un suo intorno prefissato. Costruiamo la matrice 2x2, simmetrica e semidefinita non negativa

Rilevamento degli angoli Tale matrice ha autovalori a1 a20. Se nell’intorno prefissato dell’elemento considerato la funzione f è costante, gli autovalori sono entrambi nulli. Se l’elemento si trova su un contorno rettilineo (nell’ambito dell’intorno prefissato), allora a1 è positivo ma a2 è nullo. Gli angoli sono dunque individuati da quegli elementi per cui a2 è positivo (e sufficientemente lontano dallo zero).