3. Forma Strategica e ricerca dell’equilibrio Teoria dei giochi 3. Forma Strategica e ricerca dell’equilibrio Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Incrocio di strategie Se A ha a disposizione le strategie A1, A2, A3 B ha a disposizione le strategie B1, B2, B3 Possiamo studiare il gioco costruendo la tavola dei payoff B1 B2 B3 A1 ? A2 A3 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Matrice dei pagamenti: giochi a somma zero B A B1 B2 A1 1 2 A2 -1 A sceglie la riga B la colonna Il valore indica quanto B deve pagare ad A Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Ricordiamo: Assioma di razionalità Un giocatore sceglie l’azione che gli consente di ottenere i risultati migliori, qualunque sia la mossa dell’avversario Che succede in questo caso ? Situazione di equilibrio oppure no ? B A B1 B2 A1 1 2 A2 -1 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Esempio 1 Che succede in questo caso ? Situazione di equilibrio oppure no ? B A B1 B2 B3 A1 2 4 6 A2 1 7 A3 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Esempio 2 Che succede in questo caso ? Situazione di equilibrio oppure no ? B A B1 B2 B3 A1 1 2 3 A2 5 A3 4 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Riduzione: esempio 1 Che succede in questo caso ? Ha senso per B scegliere B3 ? No, perché B1 è migliore in tutti i casi. B A B1 B2 B3 A1 2 3 4 A2 7 1 A3 5 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Riduzione: esempio 1, cont. Ha senso per A scegliere A3 ? No, perché A1 è migliore in tutti i casi. B A B1 B2 A1 2 3 A2 7 A3 1 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Riduzione: esempio 1, cont. Ha senso per B scegliere B2 ? No, perché B1 è migliore in tutti i casi. B A B1 B2 A1 2 3 A2 7 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Riduzione: esempio 1, cont. Ha questo punto B ha una sola strategia. Quindi A sceglie A1. ? No, perché B1 è migliore in tutti i casi. B A B1 A1 2 A2 Soluzione del gioco Equilibrio B A B1 A1 2 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Riduzione: esempio 1 Ricapitoliamo B A B1 B2 B3 A1 2 3 4 A2 7 1 A3 5 Max-min Min-max Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Equilibrio con max-min e min-max: esempio 1 Che succede in questo caso ? Studiamo il gioco B A B1 B2 B3 A1 2 4 6 A2 1 7 A3 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Equilibrio con max-min e min-max: esempio 2 Che succede in questo caso ? Studiamo il gioco B A B1 B2 B3 A1 1 2 3 A2 5 A3 4 7 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Esistenza dell’equilibrio Se Max-min= Min-Max Ricordiamo: Max-min = quanto A è in grado di garantirsi giocando contro B Min-max = quanto B è disposto a pagare giocando contro A Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Minimax Giocatori perfetti per giochi deterministici ad informazione perfetta Idea: scegli la mossa che porta alla posizione con il più alto minimax value = miglior risultato raggiungibile contro il miglior avversario Per esempio, gioco a 2 giocatori: 3 MAX A1 A3 A2 3 2 2 MIN A21 A31 A33 A11 A13 A23 A12 A22 A32 3 12 8 2 4 6 14 5 2 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Strategie miste: es. pari e dispari Utilità del gioco pari-dispari. A vince se esce pari. Nessun equilibrio. Nessuna informazione ulteriore. B A P D 1 -1 Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Strategie miste: es. pari e dispari Che succede se A sceglie pari il 30% delle volte e B sceglie dispari il 40% delle volte ? Strategia mista. Definizione di utilità attesa? B A P: q D: 1-q P: p 1 -1 D: 1-p Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Attenzione! Nel seguito dovremo usare un po’ di Matematica Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Lotterie e Preferenze Un giocatore sceglie tra premi (A, B, etc.) e lotterie, cioè, situazioni con premi incerti Lotteria L = [p, A; (1-p), B] A p L 1-p B Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Preferenze razionali Idea: le preferenze di un giocatore razionale devono obbedire a vincoli. Preferenze razionali  comportamento descrivibile come massimizzazione dell’utilità attesa Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Preferenze razionali (cont.) La violazione dei vincoli conduce a evidenti contraddizioni Per esempio: un giocatore con preferenze intransitive può essere indotto a dare via tutto il suo denaro Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Massimizzando l’utilità attesa Teorema (Ramsey, 1931; von Neumann e Morgenstern, 1944): Date le preferenze soddisfacenti i vincoli esiste una funzione a valori reali U tale che Principio MEU: Scegliere l’azione che massimizza l’utilità attesa Nota: un giocatore può essere interamente razionale (consistente con MEU) senza mai rappresentare o manipolare utilità e probabilità Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Utilità L’utilità associa gli stati a numeri reali. Quali numeri ? Approccio standard per stabilire l’utilità umana: Comparare un dato stato A con una lotteria standard Lp che ha: “miglior premio possibile” u^ con probabilità p “peggiore catastrofe possibile” u^ con probabilità (1-p) Aggiustare la probabilità della lotteria p fino a quando A è indifferente rispetto a Lp Continua come prima 0.999999 Pagare 30 € è indifferente a L 0.000001 Morte istantanea Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Denaro Il denaro non si comporta come una funzione di utilità Data una lotteria L con valore monetario atteso di EMV(L), solitamente U(L) < U(EMV(L)), cioè, le persone sono avverse al rischio Curva di utilità: per quale probabilità p sono indifferente tra un premio fisso x e una lotteria [p, € 1M; (1-p), € 0] ? I dati si possono (o debbono estrapolare sperimentalmente) Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Paradosso di S. Pietroburgo Vi viene chiesto di partecipare ad un gioco in cui una moneta viene lanciata in aria sino a quando il risultato non è “testa”. Se “testa” compare al lancio “n” , il giocatore vince € 2n . Quanto paghereste per giocare ? EMV(S.P.)= Disposto a pagare qualunque cifra ? Assurdo. Bernoulli (1738) propose di misurare l’utilità del denaro su scala logaritmica: Quindi per giocare un giocatore razionale paga sino a € 4 ! Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Valore dell’informazione Problema calcolare il valore di acquisire nuovi elementi decisionali. Esempio: comperare dei diritti petroliferi n blocchi A1, …, An, solo in uno è presente il petrolio, valore stimato k Probabilità a priori 1/n ognuno, mutuamente esclusivi Il prezzo corrente di ogni blocco è allora k/n Il consulente offre una perizia sul blocco A1. Costo della consulenza ? Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Valore dell’informazione Soluzione: calcolare il valore atteso dell’informazione = valore atteso della miglior azione data l’informazione meno il valore atteso della miglior azione senza l’informazione Potremmo dire “petrolio in A1” o “niente petrolio in A1”, con probabilità rispettivamente 1/n e (n-1)/n, [1/n * valore di “comprare A1” dato “petrolio in A1” + (n-1)/n * valore di “comprare un altro lotto” dato “niente petrolio in A1” ] – 0 = Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Giochino probabilistico A tre amici condannati a morte, A, B, C è comunicata la decisione del re di graziare due di loro A questo punto A si rende conto di avere una probabilità su 3 di salvarsi. Quando arriva la guardia per portargli da mangiare (A è isolato dai suoi amici), A chiede di sapere il nome di uno dei suoi due amici che sicuramente sarà graziato. La guardia ci pensa su un attimo, capisce che non c’è niente di illegale e gli comunica che B sarà graziato. Qual è la probabilità che A sarà condannato ? (o se volete quanto vale questa informazione della guardia ?) Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello Giochino logico C’era una volta un isola lontana popolata da fanti e cavalieri I Fanti mentivano sempre I Cavalieri dicevano sempre la verità Aristotele arrivato nell’isola, vuole sapere se il suo allievo Alessandro si trova lì. Il capo delle guardie lo sa di sicuro Aristotele gli chiede se Alessandro è nell’isola. La risposta è solamente un “Si” oppure un “No” Aristotele gli chiede quindi se lui ha visto Alessandro nell’isola. La risposta è di nuovo solamente un “Si” oppure un “No”. Aristotele non sa se il capo delle guardie è un fante o un cavaliere. Però a questo punto Aristotele è in grado di dedurre se Alessandro si trova nell’isola. Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello