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HOME home PRESENTAZIONE RAGRUPPAMENTI FRA GLI ELEMENTI DI DUE O PIU’ INSIEMI DISPOSIZIONI PERMUTAZIONI COMBINAZIONI PROPRIETA’ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI Credits

PRESENTAZIONE Home Avanti Il calcolo combinatorio ha come oggetto il calcolo dei modelli con i quali possono essere associati gli elementi di due o più insiemi o di uno stesso insieme. Nelle applicazioni può sorgere il problema di conoscere in quanti modi si può presentare un fenomeno. Il problema di conoscere le risposte alle domande può sembrare banale e in effetti lo è se il numero degli elementi è piccolo, ma quando il numero degli elementi è elevato la difficoltà consiste proprio nel formare tutti i raggruppamenti senza tralasciarne alcuno e senza cadere in ripetizioni. presentazione Home Avanti

Il calcolo combinatorio riveste notevole importanza nella matematica del <<discreto>>, dove il termine <<discreto>> contrapposto a <<continuo>> sta a indicare che gli elementi sono separati e i valori appartengono a N. I raggruppamenti possono essere fatti in vari modi. E' bene sottolineare che prima di applicare ai casi concreti le formule che otterremo, si dovranno esaminare attentamente i dati e gli scopi che ci si prefiggono. Poiché la matematica offre <<modelli>> che cercano di interpretare i fatti reali, occorre capire a quale modello bisogna riferirsi per le varie applicazioni. Home Indietro

Raggruppamenti fra + insiemi RAGRUPPAMENTI FRA GLI ELEMENTI DI DUE O PIU' INSIEMI La moltiplicazione costituisce un primo esempio di calcolo combinatoro. Il problema di formare sigle è una questione di attualita: è il problema della codificazione, ossia della individuazione di elementi di qualunque tipo mediante sigle numeriche o alfanumeriche. Raggruppamenti fra + insiemi Home

Sia dato l’insieme: A={a,b,c,d} Sia dato l’insieme: A={a,b,c,d}. Tutte le sigle di due elementi che si possono formare con gli elementi di A sono le seguenti: aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cc cd da db dc dd Questi raggruppamenti vengono detti disposizione con ripetizione di 4 elementi di classe 2 e sono in numero di 4*4=42=16 Home Avanti Indietro

DISPOSIZIONI Home Avanti I diagrammi ad albero sono particolari rappresentazioni grafiche che permettono di costruire le disposizioni semplici o con ripetizioni e di contarle facilmente. In generale: Dato un insieme A di n elementi, si definiscono disposizioni di classe k i raggruppamenti di k elementi scelti fra gli n dell'insieme A tali che ogni raggruppamento differisca dagli altri : o per la natura degli elementi o per l'ordine degli elementi. Disposizioni Home Avanti

Home Avanti Indietro Le disposizioni si dicono: a) Semplici, se ogni raggruppamento contiene elementi distinti fra loro; il loro numero si indica con Dn,c; b) Con ripetizione, se nei raggruppamenti gli elementi di A possono comparire più di una volta; il loro numero si indica con D'n,k. Per k qualsiasi si ha quindi: D'n,k = nk Perciò: il numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k è nk. Per k qualsiasi, purché k  n, si ha: Dn,k=n(n-1)(n-2)...[n-(k-1)] Home Avanti Indietro

Perciò: il numero delle disposizioni semplici di n elementi di classe k è uguale al prodotto di k fattori interi consecutivi decrescenti a partire da n. Osservazioni : La condizione k n per le disposizioni semplici è imposta dal fatto che si possono fare dei raggruppamenti formati con elementi tutti diversi solo se, al massimo, si prendono tutti gli elementi dell' insieme. Tale limitazione non esiste, ovviamente, per le disposizioni con ripetizione perché, in questo caso, gli elementi possono essere ripetuti quante volte si vuole. In generale, se l'insieme A contiene k elementi, e l'insieme B contiene n elementi (con k n),il numero delle funzioni iniettive da A in B è uguale al numero delle disposizioni semplici di n elementi di classe k, cioè: Dn,k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1). Home Indietro

PERMUTAZIONI Home Avanti Dato un insieme A di n elementi, si definiscono permutazioni di n elementi (diversi fra loro) i raggruppamenti formati dagli n elementi presi in un ordine qualsiasi. Una permutazione differisce da un'altra solo per l'ordine degli elementi. Le permutazioni coincidono con le disposizioni semplici di classe n, quindi il calcolo del numero delle permutazioni è uguale al calcolo del numero delle disposizioni semplici di n elementi di classe n, cioè: Pn=Dn,n=n(n-1)(n-2)...[n-(n-2)]*[n-(n-1)]=n(n-1)(n-2)…2*1 Il numero delle permutazioni di n elementi è allora: Pn=n! Permutazioni Home Avanti

Osserviamo che n! è funzione di n e cresce rapidamente al crescere di n. Osservazione: Le permutazioni di n elementi si possono collegare alle funzioni biettive fra due insiemi A e B di n elementi (ricordando che una funzione è detta biettiva se ogni elemento di B è corrispondente di uno e un solo elemento di A). Home Indietro

COMBINAZIONI Home Avanti Dato un insime A di n elementi, si definiscono combinazioni semplici degli n elementi di classe k (con k  n) i raggruppamenti di k elementi, scelti fra gli n dell'insieme A, tali che ogni raggruppamento differisca dagli altri per la natura degli elementi (senza considerare l'ordine degli elementi). Per determinare il numero delle combinazini di n elementi di classe k ricaviamo una formula che esprime un legame fra il numero delle combinazioni e quello dello disposizioni di n elementi a k. Combinazioni Home Avanti

Le disposizioni di n elementi di classe k si ottengono dalle combinazioni di n elementi di classe k, permutando fra loro i k elementi che costituiscono ciascun raggruppamento. Indicato con Cn,k il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k, si ha: Cn,k * Pk = Dn,k cioè: Cn,k=Dn,k/Pk=n(n-1)(n-2)...[n-(k-1)]/k! Il simbolo (n k) è detto coefficiente binomiale per il suo uso nello sviluppo delle potenze del binomio. Osservazione importante: In molti tesi stranieri (particolarmente in testi anglosassoni) non si introduce il termine <<disposizioni>>, ma si usa la locuzione <<permutazione di n elementi di classe k>> e invece di Dn,k, si scrive nPk; le combinazioni sono indicate con nCk, anzichè con Cn,k. Home Indietro

Proprietà coef binomiali PROPRIETA' DEI COEFFICIENTI BINOMIALI Il numero delle combinazioni di n elementi di classe k è eguale al numero delle combinazioni degli n elementi di classe(n-k). Proprietà coef binomiali Home

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