DAI NUMERI NATURALI AI RAZIONALI E OLTRE La misura

L'aspetto di misura dei numeri naturali Un numero (naturale) può esprimere la quantità dei campioni di unità di misura in cui è stata suddivisa o può essere suddivisa, fisicamente o idealmente, una data grandezza. Nelle scienze sperimentali il risultato della misura non è un numero, ma un numero dimensionato, cioè accompagnato dall'indicazione dell'unità di misura utilizzata. In matematica l’unità è sottintesa e la misura è un numero puro, inteso come rapporto tra la grandezza da misurare e l’unità di misura

Dal punto di vista applicativo (es. esperienza quotidiana) La misura è importante Dal punto di vista applicativo (es. esperienza quotidiana) MATEMATICA COME LINGUAGGIO DELLE SCIENZE (in questo caso spesso si parla di Misurazione) Dal punto di vista teorico (es. esperimenti mentali) DISCIPLINA AUTONOMA

Strumenti (misura indiretta) La misura è importante Dal punto di vista applicativo MATEMATICA COME LINGUAGGIO DELLE SCIENZE Dal punto di vista teorico DISCIPLINA AUTONOMA Campioni (misura diretta)

Nella scuola si possono (si devono) intrecciare i due percorsi MISURA Strumenti (misura indiretta) Nella scuola si possono (si devono) intrecciare i due percorsi MISURA INDIRETTA (lettura di strumenti) DIRETTA (didatticamente: premisura) Campioni (misura diretta)

Nella scuola si possono (si devono) intrecciare i due percorsi MISURA Strumenti (misura indiretta) Nella scuola si possono (si devono) intrecciare i due percorsi MISURA INDIRETTA (lettura di strumenti) DIRETTA (didatticamente: premisura) Campioni (misura diretta)

Individuaz. di proprietà oggetto di misura Osservaz e uso di strum. Campioni (misura diretta) Strumenti (misura indiretta) Osservazione di Oggetti e/o eventi Individuaz. di proprietà oggetto di misura Osservaz e uso di strum. di misura del quotidiano Individuazione di unità Individuazione delle propr. riferite agli strum. Descrizione dei procedim.: congiunz. dei campioni replicaz. dei gesti Descrizione dei procedim. di uso degli strumenti Conteggio dei campioni o dei gesti Lettura dei risultati Scrittura del risultato

Antiche unità – Ruolo del corpo Uso degli strumenti scientifici Approfondimenti: [BB 1992]

con multipli e sottomultipli) Campioni (misura diretta) Strumenti (misura indiretta) Costruz. del Risultato Conteggio dei campioni / gesti (unità di misura con multipli e sottomultipli) Lettura del Risultato numero che dipende dalla sensibilità dello strumento

con multipli e sottomultipli) Campioni (misura diretta) Strumenti (misura indiretta) Costruz. del Risultato Conteggio dei campioni / gesti (unità di misura con multipli e sottomultipli) Lettura del Risultato numero che dipende dalla sensibilità dello strumento

ma loro proprietà ovvero grandezze associate agli oggetti Campioni (misura diretta) Strumenti (misura indiretta) Che cosa si misura? NON gli oggetti ma loro proprietà ovvero grandezze associate agli oggetti (es. lunghezza, peso, …)

Replicando il campione (multipli e sottomultipli) Campioni (misura diretta) Strumenti (misura indiretta) Data una grandezza Replicando il campione (multipli e sottomultipli) si trova uno e un solo Numero (Che tipo di numero?) Lo strumento associa uno e un solo numero razionale dimensionato (espresso in forma decimale) 1,5 kg ; 2,8 m; 1°

nelle scienze sperimentali (es. Fisica) Strumenti (misura indiretta) Oggetto di indagine soprattutto nelle scienze sperimentali (es. Fisica) Per approfondimenti epistemologici, vedi Carnap F., I fondamenti filosofici della fisica, Il Saggiatore

(fino dai tempi di Euclide) Campioni (misura diretta) Oggetto di indagine anche in Geometria (fino dai tempi di Euclide)

Campioni (misura diretta) Due problemi Grandezze: come si definiscono le grandezze? Numeri: che numeri si ottengono?

come si definiscono le grandezze? Partiamo dal caso classico: LUNGHEZZE Consideriamo l’insieme dei segmenti del piano (o dello spazio)

Partiamo dal caso classico: LUNGHEZZE Consideriamo l’insieme dei segmenti del piano (o dello spazio)

LUNGHEZZE Uguaglianza (o congruenza) di segmenti. Due segmenti a e b sono Uguali (o congruenti) a = b quando sono sovrapponibili, cioè tali che trasportando il primo sul secondo sia possibile farli coincidere, punto per punto, esattamente.

LUNGHEZZE L’uguaglianza dei segmenti gode delle proprietà Riflessiva a = a

LUNGHEZZE L’uguaglianza dei segmenti gode delle proprietà Riflessiva a = a Simmetrica Se a = b allora b = a

LUNGHEZZE L’uguaglianza dei segmenti gode delle proprietà Riflessiva a = a Simmetrica Se a = b allora b = a Transitiva Se a = b e b = c Allora a = c (in breve) E’ una relazione di equivalenza

LUNGHEZZE Si può quindi ripartire l’insieme dei segmenti del piano (spazio) in classi di equivalenza (congruenza) Ogni classe contiene tutti e soli i segmenti uguali (congruenti) a un segmento dato Una rappresentazione (ideale) di tutte le classi è data su una semiretta di origine O: ogni punto X della semiretta individua un segmento OX e quindi una classe di equivalenza.

LUNGHEZZE Le lunghezze sono le classi di equivalenza Espressioni linguistiche Un segmento a ha lunghezza A. Un segmento a sta nella classe di lunghezze A. La lunghezza A è rappresentata dal segmento a Due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza Due segmenti non congruenti non hanno la stessa lunghezza e simili ……. Nel seguito indicheremo (senza più dirlo) con la stessa lettera (minuscola o MAIUSCOLA) il segmento a e la sua lunghezza A. Quando servirà indicheremo gli estremi del segmento: a = AB

LUNGHEZZE Ordinamento di segmenti (di lunghezze) Dati due segmenti diversi a e b si dice che a è minore di b o che b è maggiore di a scrivendo a < b o b > a quando a è uguale ad una parte di b. Si usano le stesse espressioni per le lunghezze A < B o B > A a b

LUNGHEZZE Addizione di segmenti (di lunghezze) Dati due segmenti a e b a = AB b = BC (con A, B, C allineati e consecutivi, cioè con B compreso tra A e C) diciamo che AB + BC = AC (il segmento AC è somma dei segmenti AB e BC)

LUNGHEZZE Addizione di segmenti (di lunghezze) La somma di due lunghezze A B è la lunghezza C del segmento AC ottenuto sommando due segmenti allineati e consecutivi AB con lunghezza A e BC con lunghezza B.

Date A e B vale una e una sola delle relazioni: LUNGHEZZE Alcune proprietà delle lunghezze ADDIZIONE Proprietà commutativa: A + B = B + A Proprietà associativa A + (B + C) = (A + B) + C ORDINAMENTO Proprietà transitiva se A < B e B < C allora A < C Proprietà di tricotomia: Date A e B vale una e una sola delle relazioni: A = B A < B B < A

Consideriamo un insieme di oggetti ed una bilancia a due piatti Vediamo un altro caso: PESI Consideriamo un insieme di oggetti ed una bilancia a due piatti

PESI Equivalenza per peso. Due oggetti a e b sono equipesanti a  b quando, posti sui piatti di una bilancia la mettono in equilibrio.

PESI L’equivalenza per peso degli oggetti gode delle proprietà Riflessiva a  a

PESI L’equivalenza per peso degli oggetti gode delle proprietà Riflessiva a  a Simmetrica Se a  b allora b  a

PESI L’equivalenza per peso degli oggetti gode delle proprietà Riflessiva a  a Simmetrica Se a  b allora b  a Transitiva Se a  b e b  c Allora a  c

PESI Si può quindi ripartire un insieme di oggetti in classi di equivalenza (pesi) e poi procedere come nel caso delle lunghezze …. … definendo operativamente il confronto (ordinamento) e l’addizione per mezzo della bilancia. Ad esempio:

PESI Nella situazione rappresentata dalla figura a lato diremo che il peso di a è minore del peso di b anche che il peso di b è maggiore del peso di a a b

PESI Nella situazione rappresentata dalla figura a lato diremo che la somma del peso di a e del peso b è uguale al peso di c E così via …. c a b

che numeri si ottengono? Un caso storico Due grandezze G e H sono commensurabili se esiste una grandezza S che è sottomultipla di entrambe, cioè se si può scrivere: G = m S e H = n S (cioè 1/m G = 1/n H) In caso contrario, cioè se non esiste un sottomultiplo comune, G e H sono incommensurabili. Dire che G e H sono commensurabili equivale a dire che H = n / m G (n / m è una frazione – detta anche numero razionale)

che numeri si ottengono? Un caso storico Due grandezze G e H sono commensurabili se esiste una grandezza S che è sottomultipla di entrambe, cioè se si può scrivere: G = m S e H = n S (cioè 1/m G = 1/n H) In caso contrario, cioè se non esiste un sottomultiplo comune, G e H sono incommensurabili. Dire che G e H sono incommensurabili equivale a dire che non c’è nessuna frazione – numero razionale – n/m tale che: H = n / m G

Un esempio Date due grandezze G e H , rappresentate ad esempio da due segmenti g e h, esiste un sottomultiplo comune? Vediamo qualche caso: Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u . L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?

…. Nel senso comune Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u . L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC? Empiricamente: Riportando l’unità u su BC si verifica che BC = 5 u

C’è una argomentazione teorica Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u . L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC? Empiricamente: Riportando l’unità u su BC si verifica che BC = 5 u Teoricamente (Teorema di Pitagora): 32 + 42 = 52 Sono commensurabili!

Un secondo esempio Date due grandezze G e H , rappresentate ad esempio da due segmenti g e h, esiste un sottomultiplo comune? Vediamo un altro caso: Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?

…. Nel senso comune Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC? Empiricamente: supponiamo che u sia il metro; immaginiamo di avere un righello graduato in dm e cm. Otteniamo: AB = AC = 1,00 m e BC = 1,41 m

…. Nel senso comune Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC? Empiricamente: ciò significa che: AB = AC = 100 cm e BC = 141 cm e il centimetro (1/100 di metro) è il sottomultiplo comune

C’è una argomentazione teorica? Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC? Proviamo a ragionare come nel caso precedente, utilizzando il Teorema di Pitagora. Se AB (= AC) e BC hanno un sottomultiplo comune s AB = m s e BC = n s. Per il Teorema di Pitagora AB2 + AC2 = BC2 m2 + m2 = n2 2 m2 = n2 …………………… (continua).

C’è una argomentazione teorica? ……………………(segue). 2 m2 = n2 cioè n2 è divisibile per 2 (pari) e quindi: n è pure divisibile per 2 (pari) n = 2k e quindi: 2 m2 = 4k2 cioè: m2 = 2k2 cioè m2 è divisibile per 2 (pari) m = 2h. Allora sia m che n sono pari, quindi, nella scomposizione in fattori primi, il fattore 2 compare in m2 e in n2 con esponente pari. Dunque nell’uguaglianza: 2 m2 = n2 Il primo membro contiene il fattore 2 con esponente dispari, mentre il secondo membro contiene il fattore 2 con esponente pari. …. E questo non può accadere!

C’è una argomentazione teorica? Riassumendo Abbiamo dimostrato che Se AB e BC (cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele) hanno un sottomultiplo comune s c’è una contraddizione. Tutto il ragionamento si basa su presupposti solidi ed accettati: il Teorema di Pitagora e le proprietà della divisibilità nell’insieme dei numeri naturali. Dunque la contraddizione dipende dall’avere supposto che: AB e BC abbiano un sottomultiplo comune

Abbiamo trovato una coppia di grandezze G ed H (rappresentate da cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele) per le quali non c’è nessun numero razionale n / m che consente di scrivere: H = n/m G

Abbiamo trovato una coppia di grandezze G ed H (rappresentate da cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele) per le quali non c’è nessun numero razionale n / m che consente di scrivere: H = n/m G Possiamo costruire infiniti esempi di segmenti incommensurabili con un segmento dato OA1. Nella figura che segue sono costruiti dei triangoli rettangoli con: OA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = A5A6 = A6A7 = ….. Per esercizio si può trovare in quali casi l’ipotenusa è commensurabile con OA1.