Zenone di Elea

La vita Anche per Zenone l'unica immagine che possediamo è quella contenuta nel racconto platonico del Parmenide (127 a), nel quale un quarantenne Zenone, «ben fatto e gradevole a vedersi» accompagna Parmenide ad Atene. In base a questo racconto la nascita di Zenone andrebbe collocata nel 490 o subito dopo. Non conosciamo nessuna vicenda della sua vita, a meno che si voglia dare valore storico alla narrazione del Parmenide platonico e alla notizia in esso contenuta che Zenone era l'amante di Parmenide.  Apollodoro ne faceva invece il figlio adottivo di Parmenide e Ateneo protestava contro quella che considerava un'interpretazione maligna e gratuita di Platone.

I paradossi di Zenone ci sono stati tramandati attraverso la citazione che ne fa Aristotele nella sua Fisica. Zenone di Elea, discepolo ed amico di Parmenide, per sostenere l'idea del maestro, che la realtà è costituita da un Essere unico e immutabile, propose alcuni paradossi che dimostrano, a rigor di logica, l'impossibilità della molteplicità e del moto, nonostante le apparenze della vita quotidiana.

Paradosso Un paradosso, dal greco parà (contro) e doxa (opinione), è una conclusione che appare inaccettabile perché sfida un'opinione comune: si tratta, infatti (secondo la definizione che ne dà Mark Sainsbury) di "una conclusione apparentemente inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili per mezzo di un ragionamento apparentemente accettabile".

Le argomentazioni di Zenone costituiscono forse i primi esempi del metodo di dimostrazione noto come reductio ad absurdum o dimostrazione per assurdo. Sono anche considerate un primo esempio del metodo dialettico, usato in seguito dai sofisti e da Socrate.

Dimostrazione per assurdo La dimostrazione per assurdo (per cui si usa anche la locuzione latina reductio ad absurdum) è un tipo di argomentazione logica in cui si assume temporaneamente un'ipotesi, si giunge a un risultato assurdo, e quindi si conclude che l'assunzione originale deve essere errata, dato che ha condotto a tale risultato assurdo. È nota anche come ragionamento per assurdo. Fa uso del principio del terzo escluso: un enunciato che non può essere falso, deve essere vero.

In matematica Supponiamo di dover dimostrare la proposizione p. Il procedimento consiste nel mostrare che assumere "non p" (cioè che p sia falso) conduce una contraddizione logica. Perciò p non può essere falsa, e perciò, secondo la legge del terzo escluso, deve essere vera.

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Una valutazione Oggi non si attribuisce valore fisico alle argomentazioni di Zenone, ma la loro influenza è stata molto importante nella storia del pensiero filosofico e matematico. I paradossi di Zenone restano anche un utile esercizio di logica, per riflettere sulla modalità di costruzione dei ragionamenti umani. 

Paradossi contro il pluralismo Si ricordano due paradossi contro il pluralismo e quattro contro il movimento. Primo paradosso  Il primo paradosso, contro la pluralità delle cose, sostiene che se le cose sono molte esse sono allo stesso tempo un numero finito e un numero infinito: sono finite in quanto esse sono né più né meno di quante sono, e infinite poiché tra la prima e la seconda ce n'è una terza e così via. Secondo paradosso  Il secondo paradosso invece sostiene che se queste unità non hanno grandezza, le cose da esse composte non avranno grandezza, mentre se le unità hanno una certa grandezza, le cose composte da infinite unità avranno una grandezza infinita.

Primo paradosso (lo stadio) Il primo argomento contro il movimento è quello sullo stadio. Esso afferma che non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso, ma prima di raggiungerla si dovrà raggiungere la metà della metà e così via senza quindi mai riuscire a raggiungere l'estremità dello stadio.

A. Dato il percorso A-B, prima di giungere in B, il mobile deve percorrere ½(A-B), raggiungendo A1, ma prima di raggiungere A1, deve percorrere 3/2(A-A1) e così via.  B. Supposto che il mobile abbia raggiunto il punto A1, a metà del percorso A-B, esso dovrà percorrere ½ (A2-B) prima di raggiungere B, e poi 1/2(A2-B) e così via.  Aristotele spiegava la difficoltà posta da questo argomento dicendo che in esso una traiettoria infinita doveva essere percorsa in un tempo finito. In entrambe le interpretazioni il mobile dovrà percorrere infiniti intervalli decrescenti di 1/2, 1/4, 1/8,..., dove il denominatore potrà crescere all'infinito. 

Achille e la tartaruga Il secondo argomento contro il moto è quello detto di Achille o di Achille e la tartaruga. Si supponga che Achille insegua una tartaruga, che ha su di lui un vantaggio iniziale; pur muovendosi con una velocità maggiore di quella della tartaruga, Achille non la raggiungerà mai, perché, se si suppone che AB sia il vantaggio della tartaruga su Achille, questi deve giungere in B, per raggiungere la tartaruga. Nel frattempo però la tartaruga sarà passata in A1 e, quando Achille sarà giunto in A1, essa sarà ìn A2 e così via. Secondo Aristotele questo argomento era identico al precedente, con la sola differenza che qui non si ha una serie di dimezzamenti, ma gli spazi che dividono Achille dalla tartaruga diventano sempre più piccoli secondo la serie 1/n, 1/n2 , 1/n3...

Terzo paradosso (la freccia) l terzo argomento è quello della freccia, che appare in movimento ma, in realtà, è immobile. In ogni istante difatti essa occuperà solo uno spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatto di singoli istanti, essa sarà immobile in ognuno di essi. Il concetto di questo terzo paradosso è in fondo opposto a quello del secondo: l'esistenza di punti e istanti indivisibili. Ma anche in questo caso il movimento risulta impossibile, in quanto dalla somma di istanti immobili non può risultare un movimento.

Quarto paradosso (due masse nello stadio) Zenone afferma che se due masse in uno stadio si vengono incontro, risulterà l'assurdo logico che la metà del tempo equivale al doppio. Supponiamo tre treni disposti su binari paralleli, di cui i primi due corrano (B e C) in direzioni opposte ad una velocità di 100 km/h e il terzo stia immobile (A). Ora la velocità del treno B apparirà di 100 km/ nei confronti del treno A e di 200/km nei confronti del treno C