CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO (Fibra Ottica)

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO E’ noto che in un classico canale stazionario, senza memoria che introduce un processo di rumore stazionario, ergodico, additivo, bianco, Gaussiano (canale AWGN, Additive White Gaussian Noise), in cui la relazione tra variabile d’uscita Y e variabile d’ingresso X è definita come Y = X + N, con N indipendente da X, a partire dalla definizione di capacità C (bit/simbolo), come il massimo valore dell’informazione mutua I(x,y), al variare della distribuzione p(x), ovvero è possibile determinare la capacità di canale C (bit/s) (Shannon) in cui B è la larghezza di banda del canale e S/N il rapporto segnale-rumore.

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Prima di “specializzare” la precedente espressione al canale ottico (fibra ottica) nelle diverse importanti condizioni operative (canale lineare “shot- noise limited”, canale lineare “thermal noise limited”, canale “quantum limited”, canale ottico amplificato, canale ottico non-lineare), deriviamo dall’espressione di C alcuni fondamentali risultati di carattere generale. Supponendo, in condizioni ideali, che il bit-rate R b sia uguale alla capacità C, e ricordando che S=E b. R b, N =N 0. B, essendo N 0 la densità spettrale di potenza del rumore, si può introdurre l’efficienza spettrale R b / B tale che che può essere esplicitata in modo da esprimere l’efficienza spettrale in funzione della rapporto E b / N 0 (energia di bit / densità spettrale di rumore)

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO La figura mostra l’andamento dell’efficienza spettrale in funzione di E b / N 0 e permette di individuare la regione in cui è possibile la trasmissione con un tasso d’errore arbitrariamente piccolo (R b < C ). All’aumentare della banda, s sss si ottiene che definisce il limite di Shannon mostrato in figura. Per quanto riguarda la capacità C, al crescere di B

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO L’andamento della curva R b / B - E b / N 0 permette di confrontare l’andamento limite della capacità con quello relativo a formati di modulazione usati in pratica. Nella figura seguente è mostrato il confronto con il formato multilivello M-PSK, con M=2, 4, 8, 16, 32 e 64, (formato multilivello efficiente in banda) per il quale l’efficienza spettrale dipende dal numero dei livelli M in base alla relazione Confronto tra sistema “ideale” e sistema M-PSK ( P e =10 -5 )

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO In figura è mostrato il confronto tra il caso ideale ed il formato multilivello M-FSK, con M=2, 4, 8, 16, 32 e 64, (formato multilivello efficiente in potenza) per il quale l’efficienza spettrale dipende dal numero dei livelli M in base alla relazione Confronto tra sistema “ideale” e sistema M-FSK ( P e =10 -5 )

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Un altro confronto con la capacità del canale classico ideale è mostrato nella figura seguente che riporta la sensibilità al limite quantico, espressa in fotoni/bit, per P e =10 -9, in funzione del numero di livelli N, per formati multilivello efficienti in banda (N-PSK, N-QAM e N-4QSK). log 2 N Sensibilità al limite quantico (fotoni/bit)

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Una diretta valutazione della capacità classica C a partire dalle precedenti espressioni è possibile nei casi di canale lineare con: - rivelazione diretta (DD, Direct Detection), nel limite di shot-noise “dominante” ; - rivelazione coerente omodina o eterodina. Si suppone che la banda occupata dal segnale nel “dominio ottico” sia pari a B=1/T b, essendo T b l’intervallo di bit. Nei casi esaminati si considera l’S/N a livello elettrico, pertanto la larghezza di banda nel “dominio elettrico” è pari a B /2 nei casi di rivelazione diretta e rivelazione omodina e pari a B nel caso di rivelazione eterodina. Nel caso di rivelazione diretta, indicata con P la potenza ottica media ricevuta, tenendo conto che il segnale rivelato è in banda base si ottiene essendo N s il numero di fotoni/bit.

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Nel caso di rivelazione coerente si ricorda che la componente utile del segnale rivelato può essere scritta nella forma in cui P s (t) è il valor medio della potenza ottica ricevuta e P LO la potenza del laser oscillatore locale. Ovviamente, nel caso omodina  IF =0. Dato che P LO >>P s il rumore di rivelazione, shot-noise, è dovuto essenzialmente all’OL. Essendo P LO sufficientemente elevata, è possibile trascurare l’effetto del rumore termico rispetto allo shot-noise. Si ottiene quindi: - rivelazione eterodina - rivelazione omodina

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Le precedenti considerazioni mostrano che nel caso di rivelazione coerente, sia omodina che eterodina, la capacità riferita all’S/N nel dominio elettrico sia confrontabile, a meno di fattori numerici, con quella del ricevitore ottico a rivelazione diretta (DD) nel caso “shot-noise limted”, che rappresenta una condizione ideale molto lontana dal caso reale, a meno di adottare soluzioni tecniche particolari (impiego di APD, di amplificatori ottici a basso rumore -ASE-). Al contrario, considerando i notevoli progressi tecnologici degli ultimi anni, i ricevitori ottici coerenti sono realizzabili in modo tale che le prestazioni dei sistemi reali non siano lontane da quelle previste dalla teoria. Nel caso di rivelazione diretta (DD) occorre, in pratica, tener conto dell’effetto del rumore termico nell’ S /N. Considerando la consueta relazione ingresso-uscita Y = X + N, con N processo aleatorio dovuto al rumore termico (N 0 = kT), si avrà

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Nel caso di rivelazione diretta nel limite di rumore termico dominante è più realistico considerare la relazione ingresso-uscita Y =  X  2 + N con  X  2 processo semidefinito positivo con media m  X  2 = E {  X  2 } e N processo aleatorio dovuto al rumore termico con media nulla e densità spettrale di potenza N 0 = kT. In questo caso la capacità C deve essere calcolata a partire dalla definizione avendo considerato l’entropia della variabile aleatoria d’uscita H(y) e l’entropia condizionale dell’uscita subordinata all’ingresso H(y/x).

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Essendo il rumore termico indipendente dal segnale, si ha che p(y/x)=p(x+n/x)=p(n/x)=p(n), per cui Per valori di S/N sufficientemente elevati, la variabile d’uscita Y ≥ -  N e la distribuzione che massimizza l’entropia d’uscita è la distribuzione esponenziale che può essere espressa nella forma da cui risulta

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Nel caso in cui si consideri un amplificatore ottico a basso rumore come, ad esempio, un EDFA con pompa a 980 nm, impiegato come preamplificatore ottico, è possibile confrontare l’espressione della capacità riferita all’S/N ottico, in uscita al preamplificatore, con l’S/N elettrico riferito alla corrente rivelata dal fotodiodo. Nel primo caso si ricorda che il numero di fotoni in uscita al preamplificatore è pari a N out = G N in + n sp (G-1), essendo G>>1 ed il coefficiente di emissione spontanea n sp = N 2 /(N 2 – N 1 ) con N 1 ed N 2 le popolazioni del livelli energetici 1 e 2 della transizione radiativa. La capacità del canale ottico risulta, in questo caso, essendo N 2 >>N 1 e quindi n sp  1 in condizioni di “forte” inversione di popolazione, verificata in pratica in EFDA con pompa a 980 nm (sistema a 3 livelli) con adeguata potenza di pompa.

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Se si considera il segnale elettrico rivelato, la capacità dipenderà dall’S/N elettrico e quindi, considerando l’effetto del rumore dovuto al battimento “segnale x ASE”, condizione ben verificata in pratica per G>>1 e basso rumore ottico (ASE), si ottiene essendo P in =N in h B e tenendo conto del fatto che la rivelazione diretta “riporta” il segnale in banda-base, così da “dimezzare” la banda ottica B. Un approccio alternativo, che porta a risultati equivalenti, considera il segnale rivelato come un processo aleatorio Y =  X + N  2 =  X  2 + X*N + XN* +  N  2   X  2 + X*N + XN*, essendo X il segnale utile, di varianza  x 2 ed N i processo di rumore, dovuto all’ASE, di varianza  n 2.

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Nella precedente espressione per Y, si è trascurato il termine  N  2, condizione verificata, in pratica, per S/N sufficientemente elevato. La variabile Y ≥0 ha valor medio m Y =  x  n 2 e la probabilità condizionale p(y/x) è una  2 non-centrale con due gradi di libertà e parametro di non-centralità che dipende dalle componenti x 1 ed x 2 di X. Il termine  X  2 è una variabile aleatoria  2 con due gradi di libertà e con varianza 2  x 2 mentre i termini X*N + XN* hanno varianza 4  x 2  n 2. Pertanto, anche in questo caso si ottiene valore che risulta equivalente al precedente.

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO I casi precedenti sono riconducibili a situazioni verificabili in pratica ma, prima di estendere la definizione di capacità di canale al caso di propagazione non-lineare in fibra ottica e calcolarne l’espressione a partire dall’equazione di Schrödinger non-lineare, è opportuno confrontare i risultati ottenuti con la capacità del canale fotonico “al limite quantico”, che può essere determinata considerando un semplice modello in cui il segnale risultante è dato dalla somma di m fotoni di segnale utile e n fotoni di rumore determinati da fluttuazioni termiche. Pertanto, ad una data frequenza ottica, indicato con m( ) il numero quantico medio relativo al segnale elettromagnetico utile e n( ) il numero quantico medio relativo al rumore si ha, per il segnale ricevuto f( ) = m( ) + n( ) in cui, relativamente ai livelli energetici di m(  si ha (oscillatore quantistico) E m =(1/2+m)hv  mh, avendo ovviamente trascurato l’“energia di punto zero”, 1/2 hv.

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Il numero medio di fotoni di rumore n( ) è dato dalla distribuzione di Planck (radiazione di corpo nero a temperatura T) da cui si ottengono due casi limite Si osservi che la condizione limite h /kT=1 si ottiene a temperatura ambiente (290 °K) per una frequenza  6 THz (h= J. s ; k= J / °K), pertanto la condizione h /kT>>1 è sicuramente verificata alle frequenze di interesse (  193 THz).

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Indicando con P f la potenza totale associata al campo e.m., si ha da cui deriva che la potenza di rumore complessiva è data da e quindi per l’entropia H n “trasferita” dalla radiazione termica per unità di tempo (si noti l’analogia con l’entropia termodinamica S riferita all’energia interna E di un sistema, dS = dE/T. In questo caso si è considerata la potenza di rumore termico P n (T) ).

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Ricordiamo, a questo punto, che la quantità d’informazione ottenuta dal sistema fisico è pari alla variazione di entropia  H definita da I =  H = H - H n in cui H = -  k w k log 2 w k, essendo w k la probabilità associata al microstato k-esimo del sistema fisico (riconducibile alle definizioni di termodinamica statistica) e definito dalla relazione w k =  i w ki p i essendo p i la probabilità relativa al macrostato i-esimo del sistema e w ki le probabilità dei microstati che lo costituiscono. Si osservi che, nel caso in esame, il macrostato A i, caratterizzato dalle probabilità p i, è costituito dall’insieme di segnali {a i } con probabilità p i. Essendo il macrostato A i costituito dai microstati w ik, la media di tali microstati, w k, riferita alle probabilità p i, relative a tutti i possibili macrostati, definisce in maniera completa l’entropia del sistema.

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Con le ipotesi assunte,  H rappresenta una misura media di quanto lo stato del sistema, che si evolve per l’ “azione” di segnali determinati, sia lontano dall’equilibrio termodinamico, condizione in cui l’entropia è massima e le probabilità dei microstati sono date dalla distribuzione di Gibbs. Essendo il segnale utile deterministico (i.e., i microstati corrispondenti al segnale utile sono perfettamente determinati), e statisticamente indipendente dal rumore, l’entropia del segnale utile è uguale a 0 e quindi I, ovvero  H, assume il massimo valore quando H = -  k w k log 2 w k = =  k w k 1 / log 2 w k, ovvero l’entropia del segnale elettromagnetico complessivo, è massima. Ciò si verifica quando l’ensemble di microstati del campo e.m. totale corrisponde alla condizione di equilibrio termodinamico (ensemble di Gibbs) e la distribuzione dei numeri quantici medi relativo al segnale elettromagnetico f( ) è la distribuzione di Planck per una data “temperatura efficace” T eff ≥T, cosicché

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO In base alle precedenti considerazioni, l’entropia (per unità di tempo) H relativa al segnale complessivo risulta espressa da da cui si ottiene, per la capacità di canale C, l’espressione Il valore di T eff può essere determinato considerando che da cui si ottiene

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO La capacità C del “canale elettromagnetico“ con potenza media del segnale utile P m e temperatura assoluta T è quindi data da Se il “rapporto segnale-rumore” è basso (ovvero, se h <<kT), ricordando che si ottiene il valore “classico” della capacità

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Se invece h >> kT, si ottiene il valore della capacità di canale limitata dalla statistica quantistica L’approccio precedentemente mostrato può essere utilmente applicato al caso importante di “canale fotonico” a banda stretta in cui cioè  <<. In questo caso si può assumere una distribuzione uniforme della potenza di rumore e di segnale utile entro la banda pertanto è opportuno considerare gli spettri di densità di potenza

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO Nella precedente espressione,  n ( ) è data da e il calcolo della capacità di canale C può essere effettuato mediante l’espressione precedente in cui, al posto della variabile P, si consideri la variabile , così da ottenere in cui

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO In conclusione si ottiene, per la capacità del canale fotonico “a banda stretta” (  << ), l’espressione generale da cui si ottiene nel limite “classico”, in cui h / kT <<1, con un’accuratezza dell’ordine di h / kT.

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO L’espressione della capacità “al limite quantico” si ottiene applicando, oltre alla condizione h / kT >>1, anche quella che rappresenta il fatto che il numero quantico medio degli stati associati al rumore termico risulta molto più piccolo rispetto a quello relativo agli stati occupati dal segnale utile, per cui P m [ exp(h /kT) -1 ] / h >> 1, equivalente a porre m( ) >> n( ) Le due condizioni precedenti portano alla seguente espressione per la capacità “al limite quantico” che vale per  << e non può ovviamente superare il valore asintotico ottenuto precedentemente

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO PROPAGAZIONE IN REGIME NON-LINEARE Per calcolare la capacità del canale ottico (fibra ottica) in regime di propagazione non-lineare, si considera l’equazione di Schrödinger non- lineare, relativa all’inviluppo complesso A k (z,t) associato al k-esimo canale, considerando N canali equispaziati (sistema ottico WDM) in cui si è considerata l’attenuazione della fibra ottica,  (dB/km). L’effetto del XPM è riferito alle coppie di canali k-esimo ed l-esimo  k, mentre nel termine di FWM si considerano tre canali che interagiscono (m, n e m+n-k). Ovviamente, il termine di FWM dipende dal mismatch dei vettori d’onda (wave vector mismatch) essendo  la spaziatura tra i canali e  2k il  2 relativo al k-esimo canale.

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO PROPAGAZIONE IN REGIME NON-LINEARE Nella precedente equazione, mentre il termine relativo alla SPM, dipendente da  A k  2, è deterministico poiché dipende solo dal canale k- esimo, i termini relativi a XPM e FWM rappresentano dei processi stocastici pertanto, se si assume come “canale di riferimento” quello con k=0 (canale centrale), la precedente equazione di Schrödinger non-lineare può essere riscritta nella forma

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO PROPAGAZIONE IN REGIME NON-LINEARE Nella precedente equazione, il processo V(z, t), associato al XPM, può essere assunto come un potenziale stocastico Gaussiano,  -correlato nello spazio e nel tempo, con valor medio e momento del secondo ordine calcolati a partire dai termini di XPM. Il processo stocastico F(z, t) è considerato come un processo di rumore additivo Gaussiano, con valor medio e momento del secondo ordine calcolabili a partire dai termini di FWM. La soluzione analitica del problema di propagazione in cui si tenga conto del potenziale stocastico V(z, t) è ottenuta mediante il metodo della funzione di Green, determinando la funzione di Green tale per cui in cui il termine di sorgente è una  di Dirac.

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO PROPAGAZIONE IN REGIME NON-LINEARE La soluzione generale è molto complessa ma la procedura introdotta rende possibile determinare la capacità del canale ovvero, in maniera più operativa, l’efficienza spettrale, fissati i parametri del sistema. Nel caso di un sistema WDM con N canali, con N s tratte di amplificazione + compensazione della dispersione cromatica, come mostrato in figura, essendo STD la fibra ottica standard e DCF la fibra ottica di compensazione della dispersione cromatica, è possibile calcolare la capacità e valutarne la dipendenza dagli effetti non-lineari XPM e FWM. Modello della generica tratta (N s tratte) di un sistema WDM (N canali): STD, fibra ottica standard; DCF, fibra ottica di compensazione della dispersione cromatica; Amp, amplificatore ottico di linea (o preamplificatore ottico).

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO - PROPAGAZIONE IN REGIME NON-LINEARE Adottando i parametri mostrati nella tabella, è possibile calcolare gli andamenti dell’efficienza spettrale in funzione della densità di potenza del segnale utile in base all’espressione riportata nella pagina successiva, che si riferisce al caso di rivelazione ottica coerente. Fibra ottica STDFibra ottica DCF Parametri di propagazione Attenuazione  (dB/km) Costante di dispersione  2 (ps 2 /km) Coefficiente di dispersione D (ps/km. nm) Coefficiente di non-linearità  (W -1. km -1 ) Parametri di sistema Lunghezza d’onda (  m) 1.55 Bit-Rate (Gbit/s)40 Potenza/canale P (mW)2.5 Numero canali N40 Numero di tratte N s 10 Spaziatura canali (  2  ) (GHz/nm)

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO PROPAGAZIONE IN REGIME NON-LINEARE Nel caso di rivelazione ottica coerente (CD, Coherent Detection), l’efficienza spettrale è espressa dalla relazione (lower bound) in cui P n =N s (G-1)n sp h B è la potenza di rumore associata agli amplificatori ottici (ASE), con G guadagno dell’amplificatore e n sp coefficiente di emissione spontanea, le potenze associate a XPM e FWM sono espresse da in cui L eff  N s /  è la lunghezza efficace, -(N-1)/2 ≤p, q ≤ (N-1)/2, D pq =3 per p=q, D pq =6 per p  q,  k pq =2  2 D(  /2  ) 2 pq/c, con c velocità della luce.

CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO PROPAGAZIONE IN REGIME NON-LINEARE Nel caso di rivelazione diretta (DD), in analoghe condizioni (sistema WDM con N canali, con N s tratte di amplificazione + compensazione della dispersione cromatica), l’efficienza spettrale risulta espressa dalla relazione L’andamento è analogo al caso di rivelazione ottica coerente ma con valori dell’efficienza spettrale inferiori, fissati i parametri di propagazione e quelli di sistema.

Canale ottico non-lineare (fibra ottica) - Efficienza spettrale (rivelazione ottica coerente) CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO PROPAGAZIONE IN REGIME NON-LINEARE La figura mostra un confronto tra l’andamento dell’efficienza spettrale, nel caso di rivelazione ottica coerente (CD, Coherent Detection), tra il canale lineare e quello affetto da fenomeni di non-linearità (solo XPM, solo FWM, XPM+FWM).

L’effetto dei fenomeni non-lineari sulla capacità del canale è indicato dai picchi nelle curve riportate nella figura precedente. Nei sistemi ad “altissima” capacità, l’impiego di fibre ottiche “non-zero dispersion” (NZDF, Non-Zero Dispersion Fibre) ed una adeguata “gestione” della dispersione cromatica (valori “locali” di dispersione  0 e valori “medi” sulla lunghezza del collegamento  0 ) rendono trascurabile l’effetto del FWM, pertanto il limite fondamentale rimane associato al XPM. Considerando quindi il XPM, il valore del picco corrisponde a da cui si ottiene Con i parametri riportati nella tabella precedente, un’efficienza spettrale di 2 bit/s/Hz è ottenibile con una potenza media /canale P = 1mW. Sistemi disponibili commercialmente basati su formati di modulazione binari raggiungono efficienze spettrali  0.4 bit/s/Hz. Ovviamente, valori più elevati sono ottenuti utilizzando tecniche di modulazione multilivello “efficienti in banda”. CAPACITA’ DEL CANALE OTTICO PROPAGAZIONE IN REGIME NON-LINEARE