La radiazione di corpo nero ovvero: l’ingresso nel mondo quantistico breve storia dello sviluppo del modello teorico

energia, intensità, irraggiamento, radianza … Potere emissivo R e coefficiente di assorbimento a equilibrio termico flusso termico Indipendenza dal materiale: corpo nero (ideale) (Kirchoff) flusso termico per irraggiamento

il corpo nero indipendenza dal materiale del potere emissivo ed assorbente. radianza per unità di frequenza. densità di energia/radianza: leggi di Wien e di Stefan-Boltzmann.

radianza del corpo nero e pressione di radiazione forza media per unità di area esercitata dal campo con densità u dW  H quantità di moto (densità u/c) trasferita nell’urto speculare (per unità di area e tempo) quantità di moto totale trasferita nell’urto speculare

radianza del corpo nero e termodinamica classica

legge di Wien  Stefan-Boltzmann e legge dello spostamento legge di Wien dallo studio dell’effetto Doppler sulla radiazione incidente alle pareti soluzione (se esiste) in x=x0=c/lT, ovvero lT=cost=cW.

quale funzione f (v/T) ? Modello “storico” di Planck per il corpo irraggiante: OSCILLATORE ARMONICO (carico) Potenza emessa Potenza assorbita dal campo di radiazione uv all’equilibrio: per calcolare la densità di radiazione bisogna conoscere l’energia media degli oscillatori

quale energia media per gli oscillatori? equipartizione classica dell’energia: kBT per grado quadratico di libertà nell’hamiltoniano: calcolo statistico classico secondo Maxwell-Boltzmann: energia e con probabilità exp(e /kBT ) all’equilibrio termico

legge di Rayleigh-Jeans che catastrofe (ultravioletta) !

la proposta di Planck = 0, e0, 2e0, 3e0, … , ne0, … gli oscillatori possono scambiare solamente quantità di energia multiple intere di un “grano” e0: = 0, e0, 2e0, 3e0, … , ne0, … La probabilità di eccitazione di un modo di frequenza elevata tende a zero! nuovo calcolo dell’energia media degli oscillatori in termini non più di integrali ma di somme discrete: se

la curva di Planck (e le sue approssimazioni) Rayleigh-Jeans Wien

i problemi del modello Inadeguatezza (a posteriori) del modello di Planck: è semi-classico e non tratta correttamente gli oscillatori armonici ed gli scambi associati di energia con la radiazione della cavità. La radiazione in equilibrio termico va descritta in termini di un “gas” di fotoni secondo la statistica bosonica (Bose-Einstein) per particelle indistinguibili di spin intero e puramente quantistiche. densità di energia e radianza a partire da: energia della particella x densità degli stati x probabilità di occupazione Il tutto rispettoso del principio di indeterminazione di Heisenberg

il modello di Einstein energia dell’oscillatore probabilità di occupazione densità degli stati di energia (inclusi i due modi di polarizzazione)

la densità quantistica dei livelli Si risolve il problema dello spettro di energia in una buca tridimensionale a pareti infinite di potenziale con l’equazione di Schroedinger: Numero di livelli e loro densità in funzione dell’energia: In termini di quantità di moto e di frequenza di De Broglie:

la probabilità di occupazione numero di modi possibili di occupare livelli energetici (degeneri) Ei da parte di un numero non fisso di particelle identiche ed indistinguibili: Partizionamento in gruppi di ni particelle nei livelli con degenerazione gi Si massimizza W per trovare la partizione più probabile I parametri a e b sono legati ai dettagli della distribuzione. In particolare a=0 per il gas di fotoni e b=1/kBT. Nel limite di densità elevata di livelli si passa al limite continuo e si ottiene la distribuzione di probabilità di Bose-Einstein:

(ancora) la legge di Planck

Riferimenti Bibliografici Born – Fisica Atomica Alonso, Finn – Fundamental University Physics, Vol.3 Zemanski – Termodinamica Matthews – Introduzione alla meccanica quantistica Materiale selezionato da Hyperphysics (http://hyperphysics.phy- astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html)