Euclide d’Alessandria

“Euclide raccolse gli Elementi, ne ordinò in sistema molti di Eudosso, ne perfezionò molti di Teeteto e ridusse a dimostrazioni inconfutabili quelli che i suoi predecessori avevano poco rigorosamente dimostrato. Visse al tempo del primo Tolomeo, perché Archimede,che visse subito dopo Tolomeo primo, cita Euclide. […] Euclide era dunque più giovane dei discepoli di Platone, ma più anziano di Eratostene e di Archimede, che erano fra loro contemporanei, come afferma in qualche luogo Eratostene.” (Proclo, Commento al I libro degli Elementi di Euclide, introduzione, trad. e note a cura di Maria Timpanaro Cardini, Pisa, Giardini editori e stampatori, 1978, pagg. 73 e 74)

“E anche si racconta che Tolomeo gli chiese una volta se non ci fosse una via più breve degli Elementi per apprendere la geometria; ed egli rispose che per la geometria non esistono vie fatte per i re. […] Per le idee Euclide era platonico e aveva molto familiare questa filosofia, tanto che si propose come scopo finale di tutta la raccolta degli Elementi la costruzione delle figure chiamate platoniche.” (Proclo, Commento al I libro degli Elementi di Euclide, introduzione, trad. e note a cura di Maria Timpanaro Cardini, Pisa, Giardini editori e stampatori, 1978, pagg. 73 e 74)

INDICE DEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE Libro primo Definizioni Postulati Nozioni comuni Proposizioni Libro secondo Libro terzo Libro quarto Definizioni Proposizioni Libro quinto Libro sesto (continua)

Libro settimo Definizioni Proposizioni Libro ottavo Libro nono (continua) Libro settimo Definizioni Proposizioni Libro ottavo Libro nono Libro decimo Libro undicesimo Definizioni Proposizioni Libro dodicesimo Libro tredicesimo

DEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE STRUTTURA TEMATICA DEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE libri I - VI: geometria piana; libri VII - IX: teoria dei numeri; libro X: le grandezze incommensurabili; libri XI - XIII: geometria solida.

Libro primo Termini I. Punto è ciò che non ha parti. II Linea è lunghezza senza larghezza. III. Estremi di una linea sono punti. IV. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su essa. […] VIII. Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non giacciano in linea retta. X. Quando una retta innalzata su una [altra] retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata.

Postulati I. Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto. II. E che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta. III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza. IV. E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro. V. E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.

Libro undicesimo Definizioni I. È un solido ciò che ha lunghezza, larghezza e profondità. II. Limite di un solido è la superficie. III. Una retta è perpendicolare ad un piano, quando forma angoli retti con tutte le rette che la incontrano e che siano su quel piano. IV. Un piano è perpendicolare ad un altro piano, quando le rette condotte, in uno dei piani, perpendicolarmente alla intersezione comune dei piani, sono perpendicolari all’altro piano. […]

VII. Piramide è una figura solida compresa da piani che, partendo da un piano, concorrano in un punto. […] XXV. Cubo è una figura solida compresa da sei quadrati uguali. XXVI. Ottaedro è una figura solida compresa da otto triangoli uguali ed equilateri. XXVII. Icosaedro è una figura solida compresa da venti triangoli uguali ed equilateri. XXVIII. Dodecaedro è una figura solida compresa da dodici pentagoni uguali, equilateri ed equiangoli.

I SOLIDI PLATONICI

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE Sono le geometrie che si fondano sulla negazione del quinto postulato enunciato negli Elementi di Euclide. I dettagli di questi due tipi di geometria non-euclidea sono piuttosto complessi, ma in entrambi i casi i concetti fondamentali possono essere compresi per mezzo di semplici modelli.

Geometria iperbolica La geometria di Bolyai-Lobacevskij, spesso chiamata geometria non-euclidea o iperbolica, ambienta la geometria piana all'interno di una circonferenza, in cui tutte le possibili linee 'rette' sono rappresentate dalle infinite corde. Come si può osservare, tracciato un 'punto' P ed una 'retta' r, si possono trovare due 'rette' s e t, passanti per P e per gli estremi della corda r.

Geometria ellittica La geometria di Riemann, detta anche geometria ellittica o semplicemente geometria non-euclidea, è costruita sulla superficie di una sfera, in cui tutte le linee rette sono rappresentate dai cerchi massimi. Come si può osservare, fissato un punto di Riemann e una retta di Riemann, ossia una coppia (A, B) di punti diametralmente opposti e una circonferenza massima r, allora ogni altra retta di Riemann passante per (A, B) interseca sempre la circonferenza massima, r, in due punti diametralmente opposti (C, D) ossia in un punto di Riemann.

David Hilbert

I FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA “Gli elementi della geometria ed i cinque gruppi di assiomi. Spiegazione - Consideriamo tre diversi sistemi di oggetti: chiamiamo punti gli oggetti del primo sistema e li indichiamo con A, B, C, …; chiamiamo rette gli oggetti del secondo sistema e li indichiamo con a, b, c, …; chiamiamo piani gli oggetti del terzo sistema e li indichiamo con , , , … [...] Noi consideriamo punti, rette e piani in certe relazioni reciproche ed indichiamo queste relazioni con parole come “giacere”, “fra”, “congruente”; la descrizione esatta e completa ai fini matematici di queste relazioni segue dagli assiomi della geometria,

I 1 - 8. Assiomi di collegamento. II 1 - 4. Assiomi di ordinamento. Noi possiamo suddividere gli assiomi della geometria in cinque gruppi; ciascuno di questi gruppi esprime certi fatti fondamentali omogenei della nostra intuizione. Indicheremo questi gruppi di assiomi nel seguente modo: I 1 - 8. Assiomi di collegamento. II 1 - 4. Assiomi di ordinamento. III 1 - 5. Assiomi di congruenza. IV. Assioma delle parallele. V. 1 - 2. Assiomi di continuità.” (David Hilbert, Fomdamenti della geometria con i suppliementi di Paul Bernays, Milano, Feltrinell, 1970,, pag. 3)