LIMITI DI UNA FUNZIONE PRIMI CONCETTI ESEMPI INTRODUTTIVI DEFINIZIONI Prerequisiti : - funzioni - intorni

PRIMI CONCETTI Il limite di una funzione è un concetto matematico che consente di studiare l’andamento di una funzione nel suo dominio o in particolari punti non necessariamente appartenenti ad esso. LIMITI DI FUNZIONI 1/8

Osservazione 2 Il valore x=1 non fa parte del dominio della funzione ESEMPI INTRODUTTIVI ESEMPIO 1/3 ? 5 10 12,5 16,6 25 100 ... f(x) 1,2 1,1 1,08 1,06 1,04 1,01 ... x ESEMPIO 2/3 Assegnando alla x valori prossimi a 1, la funzione tende ad assumere valori sempre più grandi Assegnando alla x i valori 1, 2, 3, 4, 5, … osserviamo che i corrispondenti valori della funzione tendono al numero 1 senza mai oltrepassarlo x 1 2 3 4 5 ... f(x) 0 0,5 0,66 0,75 0.8 ... ? Osservazione 1 Possiamo dire intuitivamente che la funzione, per valori della x ≥ 1 , ha un LIMITE che non può oltrepassare Osservazione 2 Il valore x=1 non fa parte del dominio della funzione LIMITI DI FUNZIONI 2/8

Possiamo affermare che: ESEMPI INTRODUTTIVI ESEMPIO 3/3 4+ε ε 4 ε Assegnando alla x valori prossimi a c=2, la funzione tende ad assumere valori prossimi a 4 4-ε Cosa abbiamo ottenuto? 2 x ... 1,8 1,9 2 2,1 2,2 ... f(x) ... 3,24 3,61 4 4.41 4,84 ... Un intorno H del punto 2 ? Possiamo affermare che: Osservazione 3 Comunque si scelga il numero positivo ε, l’intorno di 4 ] 4 –ε, 4 +ε[ “determina” sempre un intorno H del punto c=2 LIMITI DI FUNZIONI 3/8

l – ε < f(x) < l + ε DEFINIZIONI Definizione 1 (limite finito in un punto finito) Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D. Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE il numero l, e si scrive quando, comunque si scelga un numero positivo ε, si può determinare un intorno completo H di c tale che, per tutti i valori della x appartenenti ad HD, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)- l|< ε cioè le disequazioni: l – ε < f(x) < l + ε l +ε l f(x) l -ε si legge: “limite per x che tende a c di f(x)” Notazione x c H LIMITI DI FUNZIONI 4/8

In particolare, se vale: f(x) > M allora f(x) < -M allora Definizione 2 (limite infinito in un punto finito) Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D. Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE l’infinto, e si scrive quando, comunque si scelga un numero positivo M, si può determinare un intorno completo H di c tale che, per tutti i valori della x appartenenti ad HD, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)| > M cioè le disequazioni: f(x) < -M f(x) > M f(x) In particolare, se vale: f(x) > M allora f(x) < -M allora M c x H -M LIMITI DI FUNZIONI 5/8

Definizione 3 (limite finito in un punto all’infinito) Sia f una funzione definita in D illimitato. Si dice che la funzione f, per x tendente all’infinito, ha per LIMITE l, e si scrive quando, comunque si scelga un numero positivo ε, è sempre possibile determinare un numero N>0 tale che, per tutti i valori della x tali che \x\>N ( ovvero x < -N o x > N ) risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)- l|< ε cioè le disequazioni: l – ε < f(x) < l + ε l +ε f(x) l Se la dis. è verificata da: x > N allora x < -N allora -N l -ε N x LIMITI DI FUNZIONI 6/8

risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)| > M Definizione 4 (limite infinito in un punto all’infinito) Sia f una funzione definita in D illimitato. Si dice che la funzione f, per x tendente a , ha per LIMITE l’infinto, e si scrive quando, comunque si scelga M > 0, si può determinare N > 0 tale che, per tutti i valori della x tali che \x\>N risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)| > M cioè le disequazioni: f(x) < -M f(x) > M f(x) M -N N x -M LIMITI DI FUNZIONI 7/8

x > N f(x) > M x > N f(x) < - M x < - N f(x) > M Definizione 5 (limite infinito in un punto all’infinito) Nelle condizioni della precedente definizione, possiamo considerare i seguenti casi particolari: se per ogni risulta allora grafico x > N f(x) > M x > N f(x) < - M x < - N f(x) > M x < -N f(x) < -N LIMITI DI FUNZIONI 8/8