Reti di TLC Esercitazione 3 Ing. Mauro Femminella femminella@diei.unipg.it http://conan.diei.unipg.it/Corso Reti/

Sistemi di servizio sorgenti di traffico 1 2 n . servizio fila d’attesa m L Il sistema viene descritto attraverso variabili aleatorie quali: k = numero di utenti nel sistema l = numero di utenti nella sola fila d’attesa h = numero di serventi contemporaneamente occupati x = tempo di servizio s = tempo di permanenza nel sistema (tempo di coda o di ritardo) w = tempo di permanenza nella fila d’attesa

Sistemi di servizio La variabile aleatoria k viene caratterizzata attraverso la sua probabilità limite pk= pk=probabilità che in un generico istante di osservazione in regime permanente siano presenti k utenti all’interno del sistema

Parametri prestazionali Probabilità di sistema bloccato (m serventi) Probabilità di rifiuto r.s.o.  richiesta di servizio offerto Probabilità di servizio bloccato (m serventi) Probabilità di ritardo r.s.a.  richiesta di servizio attesa

Sistemi a coda monoserverte (L=) La richiesta in arrivo è servita se trova il servente disponibile, altrimenti viene inserita in fila d’attesa. Tali sistemi hanno rilevante interesse nello studio delle reti a pacchetto. 1 2 n . servizio sorgenti di traffico fila d’attesa

Sistema a coda M/M/1// Ipotesi: tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa di parametro l (ingresso di Poisson); tempi di servizio i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa di parametro m; processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti. singolo servente; un numero comunque elevato di utenti possono trovare posto nella fila d’attesa. Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,1,…} Il processo di coda K(t) è ergodico se l/µ<1

Evoluzione temporale nascite morti 1 t 2 3 k(t) ingresso servizio 4

Frequenze di transizione di stato per k 0 frequenza di nascita per k 1 frequenza di morte l l l l l l 1 2 . . . k k+1 m m m m m m

Probabilità limite di stato (1) Per l’equilibrio dei flussi si ha: per k0 posto r=l/m per r<1 si ha l’equazione di congruenza Già noto dal Teorema di Little

Probabilità limite di stato (2) Quindi la probabilità di avere k utenti nel sistema è per k=0, 1, ...

Probabilità limite di stato (3) Il numero medio di utenti nel sistema è Il tempo di permanenza medio è (Teorema di Little)

Probabilità limite di stato (3) k 0.12 Probabilità limite di stato pk 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 r=0.9 La distribuzione è di tipo geometrico con parametro r

Parametri prestazionali In condizioni di equilibrio statistico l’intensità media di traffico smaltito As coincide con l’intensità di traffico offerto Ao La probabilità di servizio bloccato Sr coincide con la probabilità di ritardo Pr r = prob. che il servente sia occupato = la percentuale temporale di occupazione del servente = la prob. che una richiesta in arrivo sia costretta ad attendere in coda

Distribuzioni in equilibrio statistico l= lunghezza della fila d’attesa=numero di utenti nella fila d’attesa h=numero di serventi impegnati il numero medio di utenti all’interno del sistema è quindi

Tempi di attesa Si assume la disciplina di coda di tipo FIFO, la distribuzione del tempo di attesa e’: Detto inoltre wr l’ r-percentile del tempo di attesa (cioè quel valore che non è superato per una percentuale di tempo uguale a r)

Tempi di coda (1) La distribuzione del tempo di coda è detto inoltre sr il percentile r% del tempo di coda

Tempi di coda (2) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 4 6 8 10 12 14 16 Tempo Distribuzione del tempo di coda m=0.5 r=0.6

Tempi di coda (3) 10 20 30 40 50 60 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Intensità media di traffico (Erl) Tempo medio di coda m=0.2 1/m Al crescere dell’intensità di traffico il tempo di coda tende all’infinito

Modellizzazione di un multiplatore a pacchetto Ipotesi: I flussi di pacchetti prodotti dalle sorgenti sono rappresentabili mediante processi di Poisson I flussi di pacchetti emessi dalle sorgenti sono indipendenti tra loro; Le lunghezze dei pacchetti hanno distribuzione esponenziale negativa e sono indipendenti tra loro; Il processo di ingresso complessivo è indipendente dal processo di servizio Canale di uscita 1 2 k

Sistemi a coda multiservente La richiesta in arrivo è servita subito se trova almeno una risorsa (servente) disponibile, altrimenti è rifiutata. Tali sistemi hanno rilevante interesse nello studio delle reti telefoniche. 1 2 n . S sorgenti di traffico

Modelli per sistemi di commutazione telefonici Le sorgenti di traffico telefonico presentano richieste di connessione (tentativi di chiamata). Il servente del sistema di commutazione (indicato con il termine generico di giunzione) esplica le funzioni necessarie a supportare la chiamata. Si indica con il termine congestione la condizione in cui si trova il sistema di commutazione quando, al presentarsi di un tentativo di chiamata, non è in grado di effettuare la connessione. sorgenti di traffico telefonico risorse del sistema di commutazione

Sistema a coda M/M/m/0/ Ipotesi: tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa (l); tempi di servizio i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa (m); processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti. m serventi, statisticamente identici ed indipendenti; capacità nulla della fila d’attesa. Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,…, m}. Il processo di coda K(t) è ergodico per ogni valore positivo di l e µ (coda a perdita)

Evoluzione temporale Il numero di utenti nel sistema coincide con il numero di serventi contemporaneamente occupati ingresso 3 2 servizio 1 K(t) nascite morti 3 2 1 t

Frequenze di transizione di stato lk=l per 0k  m-1 frequenza di nascita mk=km per 1  k  m frequenza di morte l l l l l 1 2 . . . m-1 m m 2m 3m (m-1)m mm

Probabilità limite di stato Per l’ equilibrio dei flussi si ha (come nel caso M/M/1): per 1  k  m inoltre da cui posto A0=l/m: traffico offerto al sistema, risulta

Probabilità di congestione di chiamata Nel caso di processo di ingresso di Poisson, dato che la probabilità di r.s.o. é indipendente dallo stato, si ha: Nel caso di sistema a coda M/M/m/ FORMULA B DI ERLANG

Formula B di Erlang L’espressione della probabilità di sistema bloccato e di rifiuto per un sistema a coda M/M/m a perdita in senso stretto é denominata anche funzione di Erlang del 1° tipo di ordine m e di argomento Ao Gode inoltre della proprietà di calcolo di tipo ricorsivo, infatti: con il primo elemento pari a:

Formula B di Erlang La grande importanza della formula B di Erlang risiede anche nel fatto che essa risulta valida qualsiasi sia la distribuzione dei tempi di servizio (ferma restando l’ipotesi di i.i.d). In condizioni di equilibrio statistico la distribuzione del numero di utenti nel sistema è funzione del solo tempo medio di servizio 1/m e non della distribuzione del tempo di servizio stesso

Parametri prestazionali Intensità media di traffico smaltito As, che rappresenta il numero medio di serventi contemporaneamente occupati, dipende da Ao e dal numero di serventi m: Intensità media di traffico rifiutato: Coefficiente di utilizzazione del servente:

Probabilità di rifiuto in funzione di m La probabilità di rifiuto, a parità di A0, decresce al crescere del numero di serventi m 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Ao=1 Ao=10 Ao=20 Ao=30 Ao=40 Ao=50 Numero di serventi m Probabilità di rifiuto

Dimensionamento di m in funzione di Pp La probabilità di rifiuto è, a parità di m, una funzione monotona crescente di A0 Intensità media di traffico offerto A0 (Erl) Numero di serventi m 5 10 15 20 25 30 Pp=0.01 Pp=0. 1

Probabilità di rifiuto in funzione di A0 2 4 6 8 10 12 14 16 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=7 m=8 m=9 Numero serventi Probabilità di rifiuto Intensità media di traffico offerto A0 (Erl)

r in funzione di A0 (1) Probabilità di rifiuto P p = 0.1 0.1 0.2 0.3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 5 10 15 20 25 30 Intensità media di traffico offerto Ao (Erl) Coefficiente di utilizzazione 1 100 Numero di serventi (scala logaritmica)

r in funzione di A0 (2) A parità di congestione di chiamata, sistemi con elevato numero di serventi presentano, in condizioni di equilibrio statistico, un rendimento MIGLIORE rispetto a sistemi con pochi serventi. Probabilità di rifiuto P p=0.01 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 5 10 15 20 25 Intensità media di traffico offerto Ao (Erl) Coefficiente di utilizzazione 1 100 Numero serventi (scala logaritmica) 16

Esempio numerico 1 Traffico offerto ad una linea telefonica Ao=100 Erl Tale traffico viene offerto ad un unico fascio di circuiti in modo tale che la probabilità di rifiuto rimanga sotto l’1% Si supponga ora di ripartire tale traffico uniformemente su n fasci con n=2, 4, 10 ,25, 50, 100 Si può notare come all’aumentare di n aumenta il numero di fasci necessari e diminuisce il r di ogni singolo fascio m=117

B di Erlang: dimensionamento del sistema Dimensionamento del sistema: stimato il traffico offerto A0 e fissato il valore massimo per la probabilità di congestione di chiamata Pmax, determinare m: trovare il più piccolo valore di m tale per cui tale valore può essere facilmente determinato per tentativi a partire da m=1 il valore effettivo della congestione di chiamata potrà risultare inferiore a Pmax

B di Erlang: valutazione delle prestazioni Valutazione delle prestazioni: dato il numero dei serventi ed il traffico offerto, determinare la probabilità di di congestione di chiamata: Va notato che solitamente è noto il traffico smaltito As* e il numero di serventi m da cui si può stimare A0 attraverso la relazione seguente Una volta calcolato A0 si calcola la probabilità di congestione di chiamata

Esempio numerico 2 (1) Si consideri un centralino telefonico automatico (PABX) di una grande azienda. Il centralino è collegato alla rete telefonica nazionale (RTN) tramite un certo numero di linee bidirezionali. Si consideri inoltre che: nell’ora di punta gli utenti attestati al centralino formulano mediamente 140 chiamate dirette verso la RTN; nell’ora di punta il numero di chiamate provenienti dalla RTN e dirette verso gli utenti del PABX è mediamente 180; il flusso delle chiamate sia entranti che uscenti è Poissoniano; la distribuzione di probabilità delle durate delle conversazioni è di tipo esponenziale negativo con valor medio pari a 3 minuti; la modularità delle linee è pari a 4, ovvero si possono inserire linee solo a gruppi di 4; il PABX è del tipo a perdita pura. Si determini il numero di linee necessario a garantire un servizio con congestione di chiamata non superiore all’1%. Calcolare inoltre la frequenza massima delle chiamate consentita nell’ora di punta.

Esempio numerico 2 (2) Il PABX può essere modellato con un sistema a coda del tipo M/M/m in cui m è il numero di linee tra PABX e RTN Si calcola il traffico globale offerto. Questo è pari alla somma del traffico uscente e del traffico entrante quindi

Esempio numerico 2 (3) Per calcolare il numero di linee necessario a garantire una probabilità di congestione di chiamata minore dello 0.01 va calcolato il più piccolo m tale per cui Si ottiene in tal caso m=25 A causa del vincolo sulla modularità il numero di linee da inserire sarà pari quindi a m=28 Dato tale numero di linee la congestione di chiamata sarà notevolmente inferiore a quella richiesta infatti

Esempio numerico 2 (4) Per determinare la frequenza massima delle chiamate consentita nell’ora di punta si calcola prima il valore di A0,max tale per cui da cui si ricava A0,max = 18.64 per cui

Esempio numerico 3 (1) Si consideri il PABX dell’esempio 1 dimensionato con 28 linee bidirezionali che lo connettono alla Rete Telefonica Nazionale. A distanza di tempo dalla sua installazione si vuole valutare la qualità di servizio offerta sapendo che a seguito di una campagna di misure si è riscontrato, nell’ora di punta, un valore di intensità media di traffico smaltito pari a circa 20.42 Erl.

Esempio numerico 3 (2) Dato il traffico smaltito misurato si può ricavare il traffico offerto al sistema risolvendo l’equazione da cui si ha Per quanto riguarda il valore di congestione di chiamata, si ha Il PABX non è più in grado di rispettare il vincolo sul grado di servizio. Le prestazioni sono variate, ad esempio, per un leggero incremento dell’utenza. Bisognerà quindi ridimensionare il numero di linee per riportare la probabilità di rifiuto sotto la soglia dello 0.01