LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis1 Crisi della descrizione classica del mondo fisico Radiazione in cavità (Catastrofe UV) + Effetto fotoelettrico  Fotoni h (h=6.626 x J s =10 15 Hz) Radioattività Superconduttività a bassa temperatura Spettri atomici discreti  bande nei solidi

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis2 Spettri atomici Spettri atomici (assorb e emiss) raggruppati in serie di linee spettrali Per l’idrogeno le serie prendono il nome da Lyman, Balmer, Paschen ecc. Differenze tra livelli energetici discreti (L m=1  n, B m=2  n, P m=3  n e viceversa) {hkl} Rydberg Serie di Balmer per n>m=2

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis3 Ipotesi di de Broglie Dualismo onda particella. Elettrone è descritto anche da onda. Relazione tra lunghezza d’onda e impulso = h/p Dipende dalla scala dell’oggetto con cui interagisce l’onda/particella Se molto più grande descrizione particella altrimenti onda L’energia cinetica può allora essere scritta come In presenza di energia potenziale l’energia totale della particella sarà la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale E=K+U

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis4 Operatori quantistici In meccanica quantistica gli osservabili sono operatori che agiscono sulla funzione d'onda Calcoliamo la lunghezza d'onda associata ad una energia di 1 eV nel caso di: a) fotone; b) elettrone; c) neutrone a) b) c)

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis5 Equazione di Schrödinger Particella libera non soggetta a potenziale Onda piana Hamiltoniana nella forma più generale

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis6 Equazione di Schrödinger Particella libera non soggetta a potenziale Onda piana Eq. Schrödinger

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis7 Elettroni liberi Elettroni liberi di muoversi in un potenziale uniforme (zero). Gli elettroni in un solido possono essere considerati come se fossero “liberi” sotto alcune condizioni addizionali Normalizzazione Relazione di dispersione

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis8 Banda di energia Le energie permesse per l'elettrone libero formano una banda continua che parte da V 0 in su Relazione E-k o di dispersione k=  V0V0 Intervallo di energie proibito Intervallo di energie permesso

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis9 Densità degli stati DOS DOS nulla V0 E DOS (J-1 m-3) Densità degli stati N(E) è il numero di stati elettronici disponibile per unità di energia per unità di volume. Non è costante! Il numero di stati in un intervallo dE intorno al valore E è N(E)dE Condizioni periodiche al contorno, cubo di lato L L 3 Volume del solido m 0 massa dell'elettrone Densità degli stati N(k) è il numero di stati elettronici disponibile per unità di vettore d’onda per unità di volume. E’costante!

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis10 Densità degli stati DOS La periodicità impone che gli stati stazionari siano a valori di k discreti (L=N A a) I valori di k sono quindi equispaziati ed ogni stato elettronico occupa un volume nello spazio k pari a Il numero di stati in un intervallo d 3 k intorno a k per unità di volume è N(k) d 3 k duplicità di spin La relazione di dispersione è isotropa rispetto a tutte le direzioni e quindi ci interessa conoscere la densità degli stati in funzione del modulo |k|. Il numero di stati in un intervallo dE intorno al valore E è N(E)dE.

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis11 Densità degli stati DOS Calcoliamo la densità degli stati di elettroni che si muovono in un potenziale nullo con una energia di 0.1 eV. La densità degli stati in un sistema 3D è: Convertendo i valori di energia in eV otteniamo che per E=0.1 eV vale N(E)=2.15 x eV -1 cm -3 Valore indicativo, non ha vero senso. Bisognerebbe integrarlo su un intervallo di energie

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis12 Elettroni nell'atomo Gli elettroni in un atomo sono soggetti al potenziale coulombiano del nucleo ed eventualmente degli altri elettroni. Ci sono due intervalli di energie di interesse. Stati liberi Quando l'elettrone possiede un'energia cinetica sufficiente per superare l'attrazione del nucleo. Tutti i valori di energia sono permessi. Stati legati Sono gli stati stazionari dell'atomo che abbiamo visto danno origine alle transizioni atomiche caso dell'idrogeno Generalmente si assume l'energia del vuoto come zero dell'energia Gli stati legati hanno energia negativa, quelli liberi positiva

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 13 Elettroni in un solido cristallino Gli stati a energia più bassa, stati di core, rimangono abbastanza imperturbati e simili agli stati di core dell'atomo Gli elettroni di valenza sono quelli coinvolti nel legame molecolare. Nell’esempio del diamante ogni atomo di carbonio ha quattro legami covalenti con 4 altri posti ai vertici di un tetraedro equilatero A bassa temperatura gli elettroni sono legati nei loro legami tetraedrici. Aumentando la temperatura questi legami possono delocalizzarsi e gli elettroni contribuire alla conduzione.

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis14 Elettroni in un solido cristallino  I livelli energetici più alti, elettroni di valenza, si allargano in bande di energie permesse.  Le bande permesse possono essere separate da intervalli energetici proibiti. Gap di energia In un atomo, se applichiamo un campo elettrico l'elettrone non si muoverà perché soggetto al potenziale del nucleo. E' come se avesse una massa molto grande In un cristallo l'elettrone obbedirà ad una relazione di dispersione E-k anche se questa sarà più complicata. All'interno di ogni banda permessa l'elettrone si comporta come se fosse libero salvo che risponde con una massa inerziale differente. Massa efficace m *

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis15 Distribuzione degli elettroni negli stati Come si distribuiscono gli elettroni nei vari stati permessi? Gli elettroni si dispongono in accordo al principio di esclusione di Pauli (al massimo un elettrone in ogni stato disponibile) Funzione di distribuzione di Fermi-Dirac Probabilità che uno stato permesso a energia E sia occupato (all'equilibrio termico) f(E) ≤ 1 e monotono decrescente. E F è l'energia di Fermi e rappresenta l'energia del livello per cui si ha probabilità di occupazione ½. (E=E F → f(E)= ½ ) Il livello di Fermi è determinato conoscendo la densità degli stati N(E) e la densità degli elettroni. Quando (E-E F )»k B T si ricade nella distribuzione di Boltzmann

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis16 Metalli Semiconduttori Isolanti Quali stati permessi sono occupati da elettroni e quali no? Quali stati permessi sono occupati da elettroni e quali no? Gli elettroni si dispongono in accordo al principio di esclusione di Pauli (al massimo un elettrone in ogni stato disponibile) e seguendo la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac. A T=0 gli elettroni disporranno nelle bande via via a maggiore energia. L'energia che separa gli stati occupati da quelli non occupati è l'energia E F (T=0). Due casi sono possibili: Una banda permessa è completamente piena di elettroni mentre la seguente banda permessa è separata da un gap di energia E g ed è vuota. La più alta banda occupata è solo parzialmente occupata.

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis17 Conduzione Quando una banda è occupata completamente, gli elettroni nella banda non possono condurre alcuna corrente Gli elettroni sono fermioni e le bande sono simmetriche per inversione spaziale. Per ogni stato k (2  m 0 v=hk) ce ne è un altro a - k. In assenza di forza esterna, per un elettrone che si muove in un verso ce ne è un altro che si muove nel verso opposto. In presenza di una forza esterna, se non ci sono stati disponibili in cui un elettrone può spostarsi rompendo la simmetria tra +k e -k, non può esserci corrente netta. Questo spiega la distinzione tra metalli (banda semipiena) e isolanti (banda piena). Un semiconduttore è un isolante con energia di gap E g <3eV

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis18 Conduzione La banda che a 0 K normalmente è piena di elettroni nei semiconduttori è detta banda di valenza mentre la banda vuota superiore è detta banda di conduzione. I metalli hanno una conducibilità molto alta a causa del numero molto alto di elettroni che possono partecipare alla corrente di trasporto. E' difficile alterare la conducibilità dei metalli. I semiconduttori, invece, hanno conducibilità nulla a 0 K e cmq bassa a temperatura normale, ma è possibile alterare la loro conducibilità di ordini di grandezza. Per questo i semiconduttori possono essere usati come dispositivi attivi mentre i metalli sono relegati ad essere usati come componenti passivi come interconnessioni, contatti, etc.

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis19 Conduzione La differenza di energia tra il livello energetico di vuoto (quando l'elettrone è libero di uscire dal solido) e il livello di Fermi è detta Funzione di lavoro (Work Function e  e ) La differenza di energia tra il livello energetico di vuoto (quando l'elettrone è libero di uscire dal solido) e il fondo della banda di conduzione è detta Affinità elettronica (Electron Affinity e  e ) ee ee ee ee

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis20 Livello di Fermi Semiconduttore T=0 K Banda di valenza piena Banda di conduzione vuota Non c'è conduzione Semiconduttore T>0 K Banda di valenza con qualche vuoto Banda di conduzione con qualche elettrone Sia la banda di valenza che quella di conduzione possono concorrere al trasporto Quanti elettroni ci sono nella banda di conduzione ? N(E) densità degli stati n numero di elettroni nella banda per unità di volume A T=0 Valido solo per i metalli (E F >E 0 )

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis21 Livello di Fermi La situazione è più complicata Per i metalli dove il numero di portatori è alto l'espressione è ancora valida n è la densità di elettroni di conduzione calcolata precedentemente. Questo determina l'energia di Fermi T>0 Per i semiconduttori il numero di portatori è molto più basso f(E) può essere rappresentato dalla funzione di Boltzmann Caso non-degenere

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis22 Livello di Fermi Per i semiconduttori il numero di portatori in banda di conduzione è molto più basso (f c (E)<<1), la distribuzione può essere rappresentato dalla funzione di Boltzmann Caso non-degenere Caso degenere Se il numero di portatori è alto una buona approssimazione è quella di Joyce-Dixon