Elementi di calcolo combinatorio e di probabilità. Prof. Ugo Morra Liceo scientifico V. Vecchi di Trani Lezione di potenziamento delle abilità in matematica Trani, 21 gennaio 2010

Chiamiamo le cose con il loro nome! Una permutazione di n oggetti distinti è un ordinamento in sequenza degli stessi. Ad esempio (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3) sono permutazioni dei numeri 1,2,3. Il numero di permutazioni di n oggetti distinti è dato da n·(n-1)·(n-2)· … ·3·2·1 = n! (fattoriale di n).

Dati n oggetti, essi si possono "mettere in fila" (o “mettere in coda”, o “mettere in colonna”) in n! (leggi: “n fattoriale”) modi diversi, dove il simbolo n! indica il numero n·(n-1)·(n-2)· … ·3·2·1. Infatti, per la scelta del primo oggetto della fila abbiamo n possibilità; a ciascuna di queste n possibilità sono abbinate (n-1) possibilità di scelta per il secondo oggetto della fila; ad ognuna delle n·(n-1) possibilità per i primi due oggetti corrispondono (n- 2) possibilità di scelta per il terzo oggetto della fila;... ; in totale, quindi, n oggetti possono essere ordinati (ovvero: messi in fila, o in coda, o in colonna) in n·(n-1)·(n-2)· … ·3·2·1 = n! modi diversi.

Applicazioni Abbiamo 4 palline colorate, ognuna di un colore diverso (bianco, nero, rosso, verde). Calcoliamo in quanti modi possono essere ordinate. Si tratta di calcolare le permutazioni di 4 elementi: P 4 =4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1= 24

Quanti numeri di 6 cifre distinte possiamo scrivere utilizzando gli elementi dell’insieme {2,3,4,7,8,9}? Risposta: P 6 =6!=6 ∙5 ∙4 ∙3 ∙2 ∙1=720

Altro esempio un po’ più interessante Quanti numeri di 6 cifre distinte possiamo scrivere utilizzando gli elementi dell’insieme A= {0,2,3,7,8,9}? Risposta. Dal numero totale di P 6 =6!=720 dobbiamo sottrarre tutte le permutazioni che hanno la cifra 0 nella prima posizione. Esse sono P 5 =5!=120. I numeri significativi di 6 cifre che possiamo scrivere sono: P 6 -P 5 = =600.

Ora un po’ d’attenzione! Cinque ragazzi hanno a disposizione 5 sedie. In quanti modi possono sedersi se le sedie sono disposte intorno a un tavolo rotondo? Risposta. Se le sedie fossero in fila i modi sarebbero P 5 =5!=120. Essendo disposte su una circonferenza occorre fare attenzione, perché vi sono permutazioni che poste in ordine circolare coincidono. Per esempio, indicando i ragazzi con le prime cinque lettere dell’alfabeto, gli ordinamenti a b c d e b c d e a c d e a b d e a b c e a b c d rappresentano uno stesso modo di disposizione. I modi che coincidono sono tanti quanti sono i ragazzi. Pertanto, se cinque ragazzi siedono attorno a un tavolo rotondo, i modi sono:

Gli anagrammi Per rispondere basta considerare le permutazioni di 5 elementi: P 5 =5!=120. Calcoliamo ora quanti anagrammi (anche privi di significato) si possono formare con le lettere della parola MENTO.

Ancora sugli anagrammi Calcoliamo ora gli anagrammi della parola TETTO. Stavolta al posto di cinque lettere distinte ne abbiamo tre, perché sono presenti tre T. Se con MENTO le parole che si ottengono permutando le tre consonanti tra di loro sono diverse, con TETTO sono invece uguali. Per esempio, lasciando ferme le vocali nella prima e seconda posizione, nell’anagramma di MENTO si ottengono le parole: EOMNT, EOMTN, EONMT, EONTM, EOTMN, EOTNM. Abbiamo 6 casi distinti corrispondenti alle permutazioni di 3 lettere: 3!=6 Tutti i casi precedenti sono invece indistinguibili se a M e N sostituiamo due T. In tutti i sei gruppi otteniamo infatti EOTTT. Se consideriamo le 120 permutazioni di 5 lettere, in questo caso troviamo ogni raggruppamento ripetuto 6 volte. Quindi per ottenere il numero degli anagrammi di TETTO dobbiamo dividere 120 per 6: 120/6=20.

Per indicare che dei cinque elementi tre corrispondono ad uno stesso elemento ripetuto usiamo il simbolo che si legge: “permutazioni di 5 elementi di cui 3 ripetuti”. Abbiamo che:

Raggruppamenti di questo tipo sono detti permutazioni con ripetizione. In generale: La formula si può anche generalizzare:

Applicazioni 1) Calcoliamo il numero di anagrammi della parola “Eureka”. 2) Calcoliamo il numero dei modi in cui possono essere occupate 5 sedie da tre persone (N.B.: gli elementi ripetuti sono le due sedie vuote). 3) Abbiamo cinque palline bianche e tre nere. In quanti modi possono essere messe in fila?

Raggruppamenti: quando conta l’ordine e quando invece non conta. Facciamo tre esempi: 1. In quanti modi si possono accostare sette palline di colore diverso in gruppi da quattro? 2. Calcola quanti numeri di quattro cifre diverse si possono formare con le nove cifre dell’insieme A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 3. Siano assegnati cinque punti del piano, a tre a tre non allineati. Determina quanti triangoli si possono costruire congiungendo tre punti.

In quale dei precedenti raggruppamenti conta l’ordine e in quale no?

La prima richiesta In quanti modi si possono accostare sette palline di colore diverso in gruppi da quattro? In questo caso l’ordine è fondamentale. Infatti l’accostamento è diverso dall’accostamento anche se i colori scelti sono gli stessi!

E’ evidente come anche nella seconda richiesta conti l’ordine con cui vengono raggruppati gli elementi. Calcola quanti numeri di quattro cifre diverse si possono formare con le nove cifre dell’insieme A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Il numero 1234 è diverso dal numero 2314 !

Nella terza richiesta invece… Siano assegnati cinque punti del piano, a tre a tre non allineati. Determina quanti triangoli si possono costruire congiungendo tre punti. In questo caso l’ordine non conta affatto, poiché, per esempio, il triangolo ABC e il triangolo BCA coincidono.

Nel calcolo combinatorio è importante distinguere i casi in cui nei raggruppamenti conta l’ordine da quelli in cui è irrilevante. Quando è importante l’ordine si parla di disposizioni, negli altri casi di combinazioni.

DISPOSIZIONI SEMPLICI Le disposizioni semplici di n oggetti distinti di classe k (con k  n) sono tutti i gruppi di k elementi scelti tra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l’ordine con cui gli elementi sono collocati. Il numero delle disposizioni semplici è dato da

Osservazione: per ricordare più facilmente la formula che dà le disposizioni di n elementi di classe k si può osservare che tale numero è costituito dal prodotto di k fattori consecutivi decrescenti che partono da n.

In quanti modi si possono accostare sette palline di colore diverso in gruppi da quattro? Si tratta di calcolare il numero delle disposizioni semplici di 7 oggetti (i colori diversi) di classe 4 (la dimensione dei gruppi). Pertanto

Calcola quanti numeri di quattro cifre diverse si possono formare con le nove cifre dell’insieme A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. ______________________________ Anche qui si tratta di calcolare il numero delle disposizioni semplici di 9 oggetti (le nove cifre) di classe 4 (la dimensione dei numeri che si vogliono scrivere):

LE COMBINAZIONI SEMPLICI Le combinazioni semplici di n elementi distinti di classe k (con k  n) sono tutti i gruppi di k elementi scelti tra gli n, che differiscono per almeno un elemento. Il loro numero è dato da

Osservazioni: 1. Il numero di combinazioni di n elementi di classe k è dato dal rapporto tra il numero di disposizioni di n elementi di classe k e dal numero di permutazioni di k elementi. Supponiamo infatti di aver costruito tutte le combinazioni semplici di n oggetti di classe k; sia C n,k il loro numero. Dalle combinazioni, permutando in tutti i modi possibili i k oggetti, si ottengono le disposizioni semplici di classe k. Ogni combinazione dà luogo a P k =k! disposizioni. Quindi D n,k =C n,k ∙ P k da cui

2. il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k è anche detto “n sopra k” o anche “n su k” e si indica con il simbolo Pertanto