Sommario Si presenta un’analisi di flutter, sia nel dominio della frequenza che nel dominio del tempo, per non linearità presenti nelle linee di comando dei sistemi di controllo. Rappresentazione in stato vettore dell’equazione della dinamica in coordinate generalizzate e in presenza di non linearità strutturali Tecnica del bilancio armonico: consente di linearizzare il sistema, sostituendo la non linearità strutturale con una rigidezza equivalente, e di effettuare l’analisi di flutter con uno dei metodi di valutazione classici Applicazioni: Non linearità con gap Rigidezza bilineare Per ogni applicazione viene eseguita l’analisi di flutter pseudolineare e l’analisi nel tempo con la tecnica non lineare. Procedura per l’identificazione della funzione di trasferimento del sistema. Calcolo dei poli e delle caratteristiche del sistema (frequenze e smorzamenti)

Non linearità strutturali L’esperienza ha dimostrato che il processo di predizione del flutter è fortemente interessato da non linearità concentrate negli elementi di collegamento del meccanismo di controllo e nei collegamenti tra l’ala e i carichi esterni. La normativa, inoltre, impone di tener conto di tali non linearità nelle analisi delle instabilità aeroelastiche dinamiche, come è espresso nel paragrafo AC A: AC No A (4) Consideration of free play may be incorporated as a variation in stiffness to assure adequate limits are established for wear of components such as control surface actuators, hinge bearings, and engine mounts in order to maintain aeroelastic stability margins. Le non linearità strutturali possono essere suddivise in: NON LINEARITA’ CONCENTRATE: che agiscono localmente, specialmente nei meccanismi di controllo o nelle parti di collegamento tra l’ala e i carichi esterni NON LINEARITA’ DISTRIBUITE: che sono continuamente attivate in ogni parte dell’intera struttura dalle deformazioni elasto-dinamiche.

Non linearità concentrate Attrito secco negli elementi di collegamento del sistema di controllo Attrito solido nei cavi della linea di controllo e nelle aste della linea di controllo che vanno in instabilità euleriana, così come nei cuscinetti dei supporti dell’asse di cerniera intorno a cui ruota la superficie mobile o un’asta Limitazione cinematica della deflessione della superficie di controllo Applicazione dei sistemi spring tab I meccanismi di controllo dei velivoli sono caratterizzati da diversi tipi di non linearità concentrate, derivanti da: Le non linearità concentrate possono essere caratteristiche per esempio del meccanismo di controllo e quindi non volute, oppure può essere determinata, per esempio nelle parti di collegamento tra l’ala ed i carichi esterni, una certa non linearità, dettata da motivazioni economiche. Nel caso di giochi o nel caso in cui sono presenti carichi bellici sotto le ali, è infatti impossibile ottenere una tolleranza nulla. In tal caso, allora, l’obiettivo è valutare gli effetti sulle analisi delle instabilità aeroelastiche dinamiche delle non linearità strutturali dovute ai giochi, al fine di determinare quella tolleranza che comporta costi minori e nel contempo assicuri il mantenimento dei margini di stabilità aeroelastica.

Schema concettuale STRUTTURA NON LINEARITA’ STRUTTURALI DEFORMAZIONE AERODINAMICA DISTURBO Studio delle instabilità aeroelastiche dinamiche in presenza di non linearità strutturali

Lo studio è rivolto all’analisi di non linearità presenti nelle linee di comando dei sistemi di controllo. Per introdurre il meccanismo di non linearità in studio, è conveniente partire dalla simulazione lineare di un controllo meccanico. Dinamica sistema barra, linea di comando, superficie di controllo Le oscillazioni libere del sistema di controllo sono rette dalle equazioni: I β = momento d’inerzia della superficie di controllo rispetto all’asse di cerniera I γ = momento d’inerzia del comando rispetto al suo asse di rotazione C β = rigidezza della linea all’asse di cerniera della superficie di controllo per comando bloccato N = - β/γ = rapporto cinematico di asservimento fra la rotazione della superficie mobile e il comando in assenza di carico e di attrito β = rotazione della superficie di controllo γ = rotazione del comando Schema di un sistema di controllo meccanico

Dinamica sistema barra, linea di comando, superficie di controllo (cont.) Le equazioni: possono essere riscritte come: Posto:e ed applicando il principio dei lavori virtuali, si ottiene: Mentre nel caso non lineare si ha:

Equazione della dinamica in coordinate modali in presenza di non linearità Caratteristiche modali principali = matrice delle masse generalizzate principale (dei modi propri) = matrice degli smorzamenti generalizzati principale = matrice delle rigidezze generalizzate principale = coordinate lagrangiane modali relative ai modi propri = coordinate lagrangiane modali relative agli extra modi = matrice delle masse generalizzate relative agli extra modi = matrice delle masse generalizzate incrociate (vettore di accoppiamento inerziale fra i modi principali e quelli extra) = forze esterne generalizzate in cui = forze non lineari generalizzate

Espressione delle forze non lineari generalizzate Partendo dal lavoro virtuale della non linearità e sviluppando β e γ in serie dei modi della struttura lineare: δL = δβ*M β +δγ*M γ si ottiene: : con e

con: = vettore delle variabili di stato = = matrice di stato = = matrice di controllo lineare = = matrice di controllo non lineare Rappresentazione in stato vettore dell’equazione della dinamica in coordinate generalizzate in presenza di non linearità

Rappresentazione in stato vettore dell’equazione della dinamica in coordinate generalizzate in presenza di non linearità (cont.) Ricordiamo che: è possibile scrivere: Sviluppando β e γ in serie dei modi della struttura lineare e ponendo: = vettore che contiene gli spostamenti modali della non linearità con = vettore di osservazione per forza non lineare e Si nota, quindi, il feedback non lineare. La soluzione della (1), per la presenza della non linearità, è funzione dell’ingresso iniziale (1)

Rappresentazione in stato vettore dell’equazione della dinamica strutturale aeroelastica in presenza di non linearità mediante rappresentazione razionale delle forze aerodinamiche generalizzate alla Goggin Nel caso in cui ci sono forze aerodinamiche, esse dipendono dallo stato del sistema e, sfruttando la rappresentazione agli stati finiti dei coefficienti aerodinamici generalizzati proposta da Roger: si ottiene: in cui la matrice di stato del sistema è:

Tecnica del bilancio armonico Le non linearità in esame sono concentrate nel sistema di controllo. Poiché in condizione di flutter possiamo supporre la risposta monofrequenziale, assumendo che, in tale evenienza, risponda il modo di comando, allora rappresentiamo quel modo dal punto di vista strutturale come un sistema del tipo: Con la tecnica del Bilancio armonico possiamo sostituire la funzione non lineare con una rigidezza equivalente: La legge di variazione non lineare è data in forma tabellata Si sceglie un’ampiezza di oscillazione Δφ e si considera un segnale sinusoidale pari a x = Δφsen2πf n t Il valore nel tempo del momento corrispondente M(x) è ottenuto per interpolazione tra i valori noti del carico Con la tecnica del bilancio armonico si calcola la Keq pari a:

Applicazioni Vengono presentate due applicazioni eseguite considerando delle non linearità presenti nella linea di trasmissione del comando del piano di coda orizzontale. Per ogni applicazione è stata eseguita l’analisi di flutter pseudolineare e la verifica nel tempo con la tecnica non lineare. Prima applicazione: Non linearità con gap La legge di variazione non lineare simmetrica del sistema di controllo è caratterizzata da una rigidezza della linea all’asse di cerniera pari a zero per 0 1° Seconda applicazione: Rigidezza bilineare La legge di variazione non lineare simmetrica del sistema di controllo è caratterizzata da una rigidezza della linea all’asse di cerniera pari a K l = 2707,26 N*m/rad per β>1° e pari a 2K l per 0<β<1°

Descrizione del velivolo S w = 18.6 m 2 S t = m 2 b w = 12 m b t = m AR w = 7.74 AR t = M.A.C. w = 1.55 m M.A.C. t = m Velivolo dell’Aviazione Generale Il velivolo è un bimotore ad elica con peso massimo al decollo di circa 2000 Kg, ala di forma in pianta rettangolare (12 metri d'apertura e corda di 1.55 metri), comandi manuali. La sua massima velocità di affondata è pari a 215 nodi (110.6 m/s).

Modello dinamico Schema strutturale Il modello strutturale è costituito da elementi trave, a rigidezza variabile, disposti lungo gli assi elastici delle superfici portanti. Le posizioni sono riportate in tabella Ala44.54 delle corde Piano Orizzontale % delle corde (Tubo di torsione) FusolieraCenter Line Modello inerziale: si è ipotizzato, per le superfici portanti, che le deformabilità in corda siano trascurabili rispetto a quelle lungo l’apertura e ciò giustifica il rappresentare l'effetto inerziale del tronco con un nodo posto nel centro di massa gravato dalla massa e dai momenti d'inerzia baricentrici del tronco stesso. Tale nodo è poi rigidamente collegato al corrispettivo sull'asse elastico. In figura i nodi di massa sono rappresentati da asterischi in blu

Modello aerodinamico Per il calcolo delle forze aerodinamiche, le forme modali sono interpolate sulla griglia aerodinamica. Schema del modello aerodinamico del semivelivolo La teoria, alla base della schematizzazione aerodinamica, è quella delle doppiette pulsanti "Doublet Lattice Method" (DLM). L’ala e il piano di coda sono suddivisi in pannelli, ogni pannello in strisce ed ogni striscia in sottopannelli detti “box”.

Analisi di flutter L’analisi è condotta con le associazioni dei modi simmetrici e in accordo al paragrafo CS (c), (f)(2), tramite quella che viene chiamata "Rational Analysis". La Vd è pari a m/s e pertanto, in accordo al paragrafo CS (c), la velocità di flutter dovrà essere maggiore di 133 m/s. Dal diagramma si notano due instabilità di flutter entrambe superiori ad 1.2Vd. Diagramma di stabilità

Consideriamo il nono modo (Flessione x deriva): riportiamo, in funzione della velocità, le ampiezze delle componenti dell'autovettore di flutter. Analisi di flutter (cont.) Partecipazione modale nel nono modo Dal diagramma delle componenti di tale autovettore si nota che alla prima instabilità partecipano essenzialmente i modi: fondamentale barra stabilatore armonica barra stabilatore Dalla denominazione dei modi partecipanti al flutter si può affermare che tale instabilità sia peculiare del piano orizzontale

Prima Applicazione: Non linearità con gap Applicazione della tecnica del bilancio armonico K eq =1854,3117 N*m/rad f = 4,44 Hz K eq =1862,5263 N*m/rad

Prima Applicazione: Non linearità con gap Analisi di flutter lineare equivalente Viene effettuata sostituendo alla rigidezza della linea di comando barra – stabilizzatore la rigidezza equivalente ottenuta dall’applicazione del bilancio armonico. Si calcolano quindi le velocità di flutter con uno dei metodi classici per la valutazione del flutter. In particolare, nell’applicazione eseguita è stato utilizzato il Metodo P (Rappresentazione in stato vettore)

Prima Applicazione: Non linearità con gap Diagramma di stabilità; V f = 144,517 m/s

Prima Applicazione: Non linearità con gap Diagramma di stabilità; V f = 141,445 m/s

Prima Applicazione: Non linearità con gap Analisi nel tempo Viene eseguita l’analisi non lineare nel tempo allo scopo di confermare i risultati ricavati dall’analisi pseudolineare. Nota questa deformazione nel tempo, il valore della forza non lineare è ottenuto per interpolazione tra i valori noti del carico (dati in forma tabellata). vettore che contiene gli spostamenti modali della non linearità deformazione non lineare Risolto il sistema, il valore della rigidezza equivalente è calcolato, per via numerica, dalla relazione: Nella simulazione non lineare viene risolta nel tempo (alla Runge Kutta) l’equazione della dinamica strutturale aeroelastica, che, nella sua rappresentazione in variabili di stato e in presenza di non linearità, è :

Prima Applicazione: Non linearità con gap Analisi nel tempo (cont.) Per una velocità prossima alla stima di flutter lineare, ad esempio V = m/s, viene riportato l’andamento nel tempo della rotazione del comando per tre valori dell’ampiezza di ingresso all’istante iniziale: Ampiezza equivalente = gradi; Keq = N*m/rad Ampiezza equivalente = gradi; Keq = N*m/rad Ampiezza equivalente = gradi; Keq = N*m/rad

Prima Applicazione: Non linearità con gap Confronto risultati tra analisi pseudolineare e analisi nel tempo con tecnica non lineare

Seconda Applicazione: Rigidezza bilineare Applicazione della tecnica del bilancio armonico K eq =3560,1 N*m/rad f = 6,2 Hz K eq =3545,3527 N*m/rad

Confronto applicazioni

Analisi di flutter lineare equivalente Seconda Applicazione: Rigidezza bilineare

Analisi nel tempo Seconda Applicazione: Rigidezza bilineare Scelta una velocità V = m/s, si riporta l’andamento nel tempo della rotazione del comando per tre valori dell’ampiezza di ingresso all’istante iniziale: Ampiezza equivalente = gradi; Keq = N*m/rad Ampiezza equivalente = gradi; Keq = N*m/rad Ampiezza equivalente = gradi; Keq = N*m/rad

Seconda Applicazione: Rigidezza bilineare Confronto risultati tra analisi pseudolineare e analisi nel tempo con tecnica non lineare

Identificazione del sistema Sistema originale: e V = vettore delle velocità Matrice di osservazione della velocità nei punti considerati Φ i,1 Φ i,2 … Φ i,N spostamenti modali del punto sul piano di coda Φ j,1 Φ j,2 … Φ j,N spostamenti modali del punto sull’ala con: e Accelerazione: Calcolata l’accelerazione nel tempo, ne effettuiamo la trasformata di Fourier. La risposta impulsiva così determinata coincide con la funzione di trasferimento del sistema. A questo punto, con la tecnica dei minimi quadrati non lineare, ne determiniamo la rappresentazione razionale e calcoliamo i poli, quindi le frequenze e gli smorzamenti del sistema. Lo scopo è quello di confrontare i valori così calcolati con quelli determinati dall’analisi pseudolineare.

Tecnica dei Minimi Quadrati Non Lineare Tecnica per la determinazione della rappresentazione razionale della funzione di trasferimento di un sistema Nel dominio della variabile complessa s, si definisce Funzione di trasferimento di un sistema il rapporto tra l’OUTPUT e l’INPUT: La funzione di trasferimento H(s) può essere approssimata attraverso un rapporto di polinomi F(s) nella forma: Supponiamo di conoscere H(s) per L valori della frequenza. Vogliamo determinare i coefficienti dei polinomi al numeratore e al denominatore.

Equazione non lineare nelle incognite a i e b i, la cui soluzione si determina con un procedimento iterativo: alla prima iterazione si determinano i coefficienti a i e b i ; si sostituiscono i coefficienti b i calcolati nel denominatore ; si divide ogni riga della matrice presente al 1° membro per il valore in modulo del denominatore; si ottiene così una nuova matrice e si ricalcolano i coefficienti; si ripete il procedimento finché l’errore tra due iterazioni successive è minore di quello accettato. Tecnica dei Minimi Quadrati Non Lineare (cont.)

Identificazione del sistema Consideriamo i risultati ottenuti dall’applicazione eseguita in presenza di una non linearità con gap nella linea di trasmissione del comando del piano di coda orizzontale. Con la tecnica non lineare nel tempo, per un’ampiezza di ingresso all’istante iniziale pari a 33 gradi, abbiamo determinato una velocità di flutter di m/s. Fissiamo l’ampiezza d’ingresso a 33 gradi e facciamo variare la velocità di volo.

Ampiezza di ingresso = 33 gradi; V = 130 m/s

Ampiezza di ingresso = 33 gradi; V = 142 m/s

Confronto risultati

Conclusioni Il lavoro svolto ha dimostrato che: la linearizzazione ottenuta con la Tecnica del Bilancio armonico fornisce risultati concordi con l’analisi nel tempo I vantaggi di tale linearizzazione sono rappresentati dalla sua semplicità e velocità dal punto di vista computazionale che la fanno preferire in una fase di progetto. I risultati, almeno per i casi più critici, dovranno comunque essere comprovati da un’analisi nel tempo. Inoltre la procedura proposta per l’identificazione della funzione di trasferimento risulta utile per la preparazione dei Flight Flutter Tests.