La derivata Docente Grazia Cotroni classi V A e V B

Un po’ di storia Uno dei problemi classici che portarono al concetto di derivata è quello della determinazione della retta tangente a una curva in un punto. In geometria analitica, quando si deve determinare la tangente ad una conica essa si definisce come quella retta che interseca la conica stessa soltanto nel punto P. Quando però le funzioni sono più complicate, questa definizione non è sempre corretta.

Definizione di tangente Per ottenere una definizione valida in generale, occorre richiamare il concetto di limite, pensando al procedimento secondo il quale si può approssimare la tangente mediante rette secanti che le si avvicinano sempre di più. Definizione di retta tangente: La retta tangente ad una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P.

Un’osservazione importante La retta tangente segue l’andamento della curva vediamolo

Significato geometrico

Definizione: funzione derivabile in un punto Una funzione si dice derivabile in un punto x 0 se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale della funzione quando l’incremento h della variabile tende a zero, cioè se esiste ed è finito il seguente limite: Il risultato del precedente limite lo diremo derivata della f(x) nel punto x 0 e lo indicheremo con il simbolo: Se il precedente limite non esiste (cioè il limite destro e sinistro sono diversi), oppure non dà come risultato un numero finito, allora diremo che la funzione f(x) non è derivabile nel punto x 0 DERIVATE 3/6

Punti di non derivabilità Punto angoloso: Il limite destro e sinistro del rapporto incrementale sono finiti ma non sono uguali. Punto di cuspide: Il limite del rapporto incrementale non esiste e non ha un valore finito. Punto a tangente verticale: Il limite destro e sinistro è lo stesso ma non è finito

Le notazioni La notazione df(x 0 )/dx è stata introdotta da Leibniz nel 1675 ca. e i simboli df(x 0 ) e dx indicano i rispettivi valori infinitesimi (cioè entità numeriche infinitamente piccole). La condizione di continuità di una funzione è necessaria ma non sufficiente per la derivabilità; ad esempio la funzione a valore assoluto f(x)=|x| è continua ma non derivabile nel punto x 0 =0 (poiché il limite calcolato per x>0 è diverso da quello calcolato per x<0).

La derivata di una funzione in un punto x 0, che indicheremo col simbolo f’(x 0 ), è un numero che misura la variazione della f(x) in un intorno del punto, ovvero la “rapidità” con cui cresce o decresce la f(x) in un intorno di x 0. La derivata risulta quindi essere legata alla pendenza del grafico della funzione in un intorno di x 0 : f(x) O x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x f ’(x 0 ) = 2.. f ’(x 2 ) = 0. f ’(x 3 ) = -1. f ’(x 4 ) = -2. f ’(x 5 ) = 0. f ’(x 6 ) = 4. f ’(x 1 ) = 1 DERIVATE 1/6

In particolare… si può notare che Quando la funzione è decrescente la derivata prima è negativa, quando è crescente la derivata prima è positiva, quando è uguale a zero è un punto stazionario

Punti stazionari Per trovare i punti stazionari Cioè i punti di massimo, di minimo o di flesso a tangente orizzontale occorre imporre la derivata prima uguale a zero N.B. si chiamano punti stazionari perché potrebbero essere visti come punti di equilibrio stabile (il minimo) o instabile (massimo o flesso a tangente orizzontale), quindi una pallina posizionata bene in quei punti potrebbe «stazionare», cioè rimanere ferma.

APPLICAZIONI DELLA DERIVATA IN GEOMETRIA ANALITICA  LA RETTA TANGENTE IN P Ricordando che l’equazione della retta passante per un punto è y – y 0 = m (x – x 0 ) allora sostituendo il coefficiente angolare e le coordinate del punto P l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x 0 è: y – f(x 0 ) = f ’ (x 0 )  ( x – x 0 )

APPLICAZIONI DELLA DERIVATA IN FISICA Quasi tutte le grandezze fisiche dipendono da altre grandezze o parametri, quindi il significato fisico della derivata è proprio quello di definire in che modo varia una grandezza fisica rispetto alla sua variabile correlata (ma ciò è vero solo se questa grandezza può essere espressa da una funzione continua e derivabile). Nota: naturalmente una grandezza fisica può dipendere da più variabili; il concetto di derivata si può in effetti estendere a più variabili.

La velocità

L’ACCELERAZIONE

La corrente elettrica