Integrale definito Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Introduzione storica al concetto di integrale definito Per rintracciare le origini del calcolo integrale bisogna risalire fino ai geometri greci i quali, nella ricerca di aree e volumi, seppero ottenere risultati ammirevoli. Integrare, infatti, significa determinare un’area. In termini moderni si integra generalmente una funzione, ma in antichità le funzioni non esistevano e i problemi di integrazione erano di natura squisitamente geometrica. Il procedimento adottato nell’antichità parte da un sistema di analisi infinitesimale chiamato metodo di esaustione, inventato da Eudosso di Cnido (CNIDO, A.C.), filosofo seguace di Platone Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Il metodo di esaustione Il metodo di esaustione è il metodo delle classi contigue. Tale metodo (ancora oggi usato per determinare, per esempio, l'area del cerchio) è il seguente: si considerano l'insieme dei poligoni regolari F contenuti nel cerchio e l'insieme G dei poligoni regolari contenenti il cerchio. Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Si indicano con U e V le due classi di numeri reali così formate: nella classe U tutti i numeri reali che sono aree dei poligoni di F e nella classe V quelli che sono aree dei poligono di G e che sono approssimazioni rispettivamente per difetto e per eccesso dell’area del cerchio. Le due classi sono contigue infatti: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

1. ogni numero di U è minore di ogni numero di V 2. in corrispondenza ad un numero reale ε>0 arbitrariamente piccolo, è possibile trovare almeno un numero u di U e uno v di V tali da aversi: v – u < ε. Esiste allora un unico elemento separatore di tali classi e assumiamo per definizione tale numero come area del cerchio. Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Introduzione intuitiva al concetto di integrale definito: 1° esempio Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Problema: Un corpo fissato ad una molla si trova in posizione di equilibrio. Si vuole calcolare il lavoro necessario per spostare il corpo di 50 cm dalla posizione di equilibrio, sapendo che la molla esercita sul corpo una forza di richiamo in Newton F=-500x, essendo x la distanza in metri dalla posizione di equilibrio. 50 cm Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Sappiamo che il lavoro compiuto da una forza è uguale al prodotto dell’intensità della forza per lo spostamento del suo punto d’applicazione. La forza che si deve esercitare sul corpo per spostarlo dalla posizione di equilibrio è uguale e contraria alla forza di richiamo esercitata dalla molla: essa perciò varia nel corso dello spostamento 50 cm Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Suddividiamo i 50 cm di spostamento in 5 intervalli di ampiezza 10 cm ciascuno e facciamo l’ipotesi che la forza F, in tali intervalli, non vari in maniera sensibile rispetto al valore che ha nel primo estremo di ciascuno di essi 50 cm Prof.Giuseppe Frassanito a.s

F (newton) x (metri) 00,10,20,40,30,5 R2R2 R1R1 R3R3 R4R4 R5R5 F=-500x Forza per spostare il corpo nei vari intervalli Il lavoro compiuto nei vari intervalli è: forza · spostamento Lavoro totale = = 50Nm Prof.Giuseppe Frassanito a.s

F (newton) x (metri) 00,10,20,40,30,5 R2R2 R1R1 R3R3 R4R4 R5R5 F=500x Lavoro totale = = 50Nm Il lavoro totale è rappresentato dalla somma delle aree del plurirettangolo colorato. Il valore trovato è approssimato perché basato sull’ipotesi che in ciascuno dei cinque tratti la forza sia costante. Prof.Giuseppe Frassanito a.s

F (newton) x (metri) 00,5 F=500x Se vogliamo ottenere una approssimazione maggiore possiamo suddividere l’intervallo in 10 parti anziché in 5. In questo caso otterremmo un’area pari a 56,25Nm. Prof.Giuseppe Frassanito a.s

F (newton) x (metri) 00,5 F=500x Si potrebbero ottenere approssimazioni migliori considerando un numero sempre maggiore di intervalli di ampiezza Δx via via sempre più piccoli. Indicando con F 1, F 2, ….,F n la misura della forza iniziale di ciascun tratto, si ottiene la seguente approssimazione del lavoro totale che altro non è che l’area del plurirettangolo: 225 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

250 F (newton) x (metri) O0,5 F=500x E’ intuitivamente evidente che, al crescere di n, cioè al crescere del numero di suddivisioni operate, l’approssimazione si avvicina sempre di più alla misura esatta del lavoro compiuto che altro non è che l’area del triangolo OAH. A H Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Introduzione intuitiva al concetto di integrale definito: 2° esempio Prof.Giuseppe Frassanito a.s

GC Consideriamo il circuito in figura. Il condensatore C è inizialmente scarico. All’stante t=0 viene chiuso l’interruttore e una corrente elettrica comincia a percorrere il circuito e il condensatore comincia a caricarsi. Se in un intervallo di tempo Δt la corrente elettrica fosse d’intensità i costante, la quantità di carica elettrica passante in una qualsiasi sezione del circuito, in tale intervallo di tempo, sarebbe i·Δt e tale carica si accumulerebbe nel condensatore. Ma la corrente nel circuito diminuisce con il tempo. Indichiamo con i(t) l’intensità di corrente in un generico istante t il cui grafico è rappresentato in figura i( ampere) t(secondi) Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Supponiamo di dividere l’intervallo di tempo [0;t 0 ] in n intervalli, ciascuno di ampiezza Δ(t)=t 0 /n. Supponiamo che in ciascuno di tali intervalli la corrente sia costante e indichiamo con i 1 ;i 2,…i n la sua intensità nell’istante iniziale di ciascuno di essi. Perciò la carica del condensatore, in ciascuno di tali intervalli di tempo, aumenterà di i 1 Δt, i 2 Δt;…; i n Δt. La carica totale approssimata, all’istante t 0, sarà data dall’area del plurirettangolo colorato cioè: i( ampere) t(secondi) ΔtΔtΔtΔtΔtΔtΔtΔtΔtΔt O I1I1 I2I2 I3I3 I4I4 I5I5 t0t0 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Svolgendo considerazioni analoghe a quelle dell’esempio precedente si giunge si giunge ad una conclusione del tutto simile: la misura della carica Q accumulata nel condensatore all’istante t=t 0 è rappresentata dall’area della regione sotto la curva t0t0 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Integrale definito di una funzione continua Dai due esempi precedenti si evince che nelle applicazioni di carattere scientifico e tecnico si presentano molto spesso situazioni in cui la misura dell’area delimitata dal grafico di una funzione e dall’asse delle ascisse, in un certo intervallo di valori della variabile indipendente, viene ad assumere un rilevante significato fisico. E’ perciò molto importante essere in grado di calcolare la misura di una tale area. Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Integrale definito di una funzione continua Consideriamo una funzione f(x), continua in un intervallo [a;b] chiuso e limitato. Ci proponiamo di valutare la misura dell’area S della regione di piano delimitata dalla curva, dall’asse x e dalle rette di equazione x=a e x=b. Tale regione di piano prende il nome di trapezoide. trapezoide Prof.Giuseppe Frassanito a.s

x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 In ognuno di tali intervalli la funzione è continua e perciò per il teorema di Weierstrass assume un valore massimo e un valore minimo che indicheremo rispettivamente con M i e m i nell’intervallo [x i-1 ;x i ] Prof.Giuseppe Frassanito a.s

x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Le somme integrali inferiori e superiori si possono considerare approssimazioni, rispettivamente per difetto e per eccesso, dell’area del trapezoide e tali approssimazioni migliorano al crescere del numero n di parti in cui si suddivide l’intervallo. I valori di s n e S n formano due successioni dette rispettivamente successione delle somme integrali inferiori e successione delle somme integrali superiori: Tali successioni convergono a un unico limite, chiamato integrale definito, che rappresenta l’area del trapezoide Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Nel caso in cui la funzione sia negativa nell’intervallo [a;b] risultano negative anche le somme integrali. Pertanto si conviene di considerare negative le misure delle aree situate al di sotto dell’asse delle ascisse ab Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Nel caso in cui la funzione assuma nell’intervallo [a;b] sia valori negativi che valori positivi si suddivide l’intervallo in intervalli parziali in modo che in ciascuno di essi la funzione non cambi di segno >0 <0 a b c1c1 c2c2 c3c3 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

>0 <0 a b c1c1 c2c2 c3c3 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Proprietà integrali definiti c c b Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Anche l’integrale definito è un operatore lineare cioè: l’integrale definito della combinazione lineare di due funzioni è la combinazione lineare dei loro integrali definiti Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Teorema della media Se la funzione f è continua nell’intervallo [a;b] chiuso e limitato, allora esiste un punto c di tale intervallo per cui si ha: Esiste sempre un punto c tra a e b tale che le due aree A e B siano uguali. Questo significa che l’area del rettangolo è equivalente all’area del trapezoide. Il valore f(c) si chiama valor medio della funzione Prof.Giuseppe Frassanito a.s

m M Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Osservazione L’integrale definito è un numero dipendente dalla funzione e dall’intervallo d’integrazione ed è indipendente dalla variabile x, detta variabile d’integrazione, che viene detta muta o apparente. Possiamo, quindi, scrivere in luogo di x una qualsiasi lettera, che indica sempre i punti dell’intervallo [a;b],cioè: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

La funzione integrale Consideriamo una funzione f(x) continua nell’intervallo [a;b] chiuso e limitato, e sia x un qualsiasi punto dell’intervallo considerato. Si chiama funzione integrale della funzione f(x) in [a;b] la funzione così definita: La funzione integrale rappresenta l’area della parte colorata del trapezoide che varia al variare di x. In particolare si ha: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Teorema di Torricelli-Barrow Se la funzione f(x) è continua nell’intervallo [a;b], la corrispondente funzione integrale F(x) è derivabile e, per ogni x appartenente ad [a;b], risulta: F’(x)=f(x) Prof.Giuseppe Frassanito a.s

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Relazione tra funzione integrale integrale definito Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Formula fondamentale del calcolo integrale L’integrale definito di una funzione è uguale alla differenza dei valori assunti da una qualsiasi primitiva calcolata negli estremi dell’intervallo di integrazione Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esercizio Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Integrali delle funzioni dispari Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine per cui: A1A1 A2A2 -aa Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Integrali delle funzioni pari Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’asse y per cui: A1A1 A2A2 -aa Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Calcolo integrali definiti con il metodo di sostituzione: 1° metodo Prof.Giuseppe Frassanito a.s

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Calcolo integrali definiti con il metodo di sostituzione: 2° metodo Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Area della parte di piano delimitata dal grafico di due funzioni Consideriamo due funzioni continue y=f(x) e y=g(x) e supponiamo che i loro grafici si intersechino in due punti A e B. Supponiamo inoltre che f(x)≥g(x) e che la parte di piano α delimitata dai due grafici appartenga al semipiano delle ordinate positive ab A B y=f(x) y=g(x) A’B’ α Prof.Giuseppe Frassanito a.s

L’area α è data dalla differenza tra l’area del trapezoide delimitato da f(x) e quella del trapezoide delimitato dal grafico di g(x). Pertanto la misura S dell’area α è data da: ab A B y=f(x) y=g(x) α Prof.Giuseppe Frassanito a.s

La formula è valida anche nel caso in cui l’area α sia tutta o in parte nel semipiano delle ordinate negative perché è sufficiente operare una traslazione verticale delle due funzioni per riportarle nel semipiano delle ordinate negative ab A B y=f(x) y=g(x) α ab A B y=f(x)+h y=g(x)+h α Prof.Giuseppe Frassanito a.s

ac y=f(x) y=g(x) α y=h(x) b Area delimitata da tre funzioni Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esercizio 1 Determinare l’area della parte di piano delimitata dalla curva di equazione: con l’asse x. Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esercizio 2 Determinare l’area della parte di piano delimitata dalla curva di equazione: con l’asse y. Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esercizio 3 Determinare l’area della parte di piano delimitata dalle di equazione: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esercizio 4 Determinare l’area della parte di piano delimitata dalla curva di equazione: e dalla retta x+y-1=0. 3 La parte di piano è normale rispetto all’asse y Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esercizio 5 Determinare l’area del segmento parabolico relativo alla parabola di equazione: AB A’ B’ m (m; am 2 ) -m Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esercizio 6 Determinare l’area della parte piano racchiusa da un’ellisse di semiassi a e b Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Volume di un solido di rotazione Sia y = f(x) una funzione continua in un intervallo [a;b] e supponiamo che sia. Consideriamo ora il trapezoide T delimitato dal grafico di funzione,dall’asse x e dalle rette di equazione x=a e x=b, e facciamo ruotare di un giro completo attorno all’asse x tale trapezoide. Si otterrà un solido di rotazione di cui vogliamo determinare la misura V del volume mineman.org Prof.Giuseppe Frassanito a.s

ΔxΔx x i-1 xixi Procediamo in modo analogo a quanto fatto con il calcolo dell’area: dividiamo l’intervallo [a;b] in n parti uguali di ampiezza Diciamo m i e M i il minimo e il massimo che la funzione assume nell’intervallo [x i-1 ;x i ]. Prof.Giuseppe Frassanito a.s

ΔxΔx x i-1 xixi Consideriamo il plurirettangolo inscritto e circoscritto al trapezoide. Questi plurirettangoli, nella rotazione di un giro completo attorno all’asse x, danno luogo a due solidi che chiameremo pluricilindro inscritto e pluricilindro circoscritto. Prof.Giuseppe Frassanito a.s

ΔxΔx x i-1 xixi I pluricilindri inscritti e circoscritti risultano come somma di n cilindri tutti di altezza Δx e raggi di base rispettivamente m i e M i nell’intervallo [x i-1 ;x i ]. Prof.Giuseppe Frassanito a.s

ΔxΔx x i-1 xixi Indicando con v n e V n le misure dei volumi del pluricilindro inscritto e circoscritto, si ha: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

v n e V n sono le somme integrali inferiori e superiore della funzione y = π[f(x)] 2. Le somme integrali inferiori e superiori sono convergenti e ammettono per n→∞ lo stesso limite finito: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esempio 1 Calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto facendo ruotare di 180° attorno all’asse x la parabola di equazione x=y 2 e dalla retta x=1 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esempio 2 Calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto facendo ruotare di 180° attorno all’asse y il triangolo mistilineo OAV generato dalla parabola di equazione y=(x-2) 2, essendo O l’origine, V il vertice della parabola ed A la sua intersezione con l’asse y V A O Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Poiché la rotazione avviene attorno all’asse delle y occorre ricavare dall’equazione della parabola x in funzione di y V A O x=2 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Lunghezza di un arco di curva Sia y=f(x) una funzione definita in [a;b] derivabile con derivata continua in tale intervallo. Siano A[a;f(a)] e B[b;f(b)] gli estremi dell’arco AB. Consideriamo sull’arco AB i punti: A≡P 1 B ≡ P n P2P2 P3P3 P n-1 a=x 1 x2x2 x n-1 b=x n x3x3 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Per il teorema di Lagrange applicato alla f(x) relativamente all’intervallo [x i-1 ;x i ]: A≡P 1 B ≡ P n P2P2 P3P3 P n-1 a=x 1 x2x2 x n-1 b=x n x3x3 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

La lunghezza della poligonale l n è data da: A≡P 1 B ≡ P n P2P2 P3P3 P n-1 a=x 1 x2x2 x n-1 b=x n x3x3 Le lunghezze ln rappresentano le somme integrali della funzione : Prof.Giuseppe Frassanito a.s

A≡P 1 B ≡ P n P2P2 P3P3 P n-1 a=x 1 x2x2 x n-1 b=x n x3x3 Essendo f’(x) continua, è continua anche la funzione: e quindi al tendere a zero delle lunghezze delle corde tendono a zero anche le lunghezze (x i ; x i-1 ). Pertanto le somme integrali l n convergono alla lunghezza dell’arco AB data dalla formula: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esempio 1 Calcolare la lunghezza della circonferenza: x 2 +y 2 = r 2 r 0 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esempio 2 Calcolare la lunghezza dell’arco della curva 1 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Funzione integrale: esercizi Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esercizio 1 (Esame di Stato di Liceo Scient., corso sperimentale, sessione ordinaria 2002) Trovare f(4), sapendo che f è continua e che: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esercizio 2 (Esame di Stato di Liceo Scient., corso di ordinamento, sessione ordinaria 2001) Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale,tale che f(0) = 2. Calcolare: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

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Esercizio 3 (Esame di Stato di Liceo Scient., corso di ordinamento, sessione ordinaria 2002) Calcolare la derivata, rispetto a x, della funzione f(x) tale che: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esercizio 4 (Esame di Stato di Liceo Scient., corso di ordinamento, sessione ordinaria 2003) Calcolare la derivata della funzione: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

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Esercizio 5 (Esame di Stato di Liceo Scient., corso sperimentale, sessione straordinaria 2005) Calcolare la derivata, rispetto ad x, della funzione: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

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Esercizio 6 (Esame di Stato di Liceo Scient., corso sperimentale, sessione supletiva 2005) Spiegare in maniera esauriente perché una funzione reale di variabile reale integrabile in un intervallo chiuso e limitato [a,b], non necessariamente ammette primitiva in [a, b]. Una funzione f, integrabile in un intervallo [a, b], ammette sempre funzioni integrali; basta considerare un punto qualunque c dell’intervallo e considerare la funzione: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

L’integrabilità di f assicura che la funzione F è ben definita in tutto [a,b]. Il teorema fondamentale del calcolo integrale assicura però la derivabilità di F(x) solo nei punti dove f è continua. Dunque se f ha, per esempio, una discontinuità a salto in corrispondenza di un solo punto, x 0, di [a, b], sarà integrabile in [a, b], ma ogni sua funzione integrale avrà, in corrispondenza di x 0, derivate sinistra e destra diverse, ovvero non sarà derivabile. Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Dire per quali valori di h la seguente funzione ammette funzioni integrali e per quali valori di h ammette primitive; per questi ultimi valori calcolare tutte le primitive. Esercizio 7 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Dunque essa ha funzioni integrali per qualunque valore di h, mentre ha primitive solo per h = −1 Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Per calcolare le primitive basta calcolarne una e poi aggiungere una costante additiva arbitraria. Una primitiva è, per esempio, la funzione integrale di punto iniziale 0: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Calcolare il limite: Esercizio 8 Il limite dell’integrale proposto vale chiaramente 0, per cui si ha la forma ∞ · 0; conviene riscrivere il limite dato nella forma: Prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esercizio 9 Calcolare la derivata della funzione: La x che compare come fattore nella funzione integranda è costante nell’integrale, e dunque si può scrivere: Prof.Giuseppe Frassanito a.s