LA TEORIA DEGLI INSIEMI

Il concetto di insieme è un concetto primitivo La parola insieme (o comunità, gregge, raccolta,...) la usiamo molto spesso: l’insieme degli amici, l’insieme degli oggetti contenuti nella cartella, la collezione di figurine.... pertanto il concetto che essa esprime è un concetto intuitivo. Non essendo possibile darne una definizione esplicita il concetto di insieme è un concetto primitivo. Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole dell'alfabeto. Alcune lettere assumo in insiemistica e matematica un significato particolare e sono pertanto da ritenersi riservate (N = insieme dei numeri naturali; Q = insieme dei numeri razionali; ecc.). Gli elementi di un insieme sono indicati con lettere minuscole. In matematica, però, dobbiamo essere più precisi. Parliamo di insieme solo se possiamo dire esattamente quali “cose” appartengono all’insieme e quali no. Le “cose” che appartengono a un certo insieme si chiamano elementi di quell’insieme.

Esistono insiemi matematici finiti, infiniti e vuoti Un insieme si dice finito quando contiene un numero limitato di elementi. A={x|x è una lettera della parola “scuola”} Un insieme si dice infinito quando contiene un numero illimitato di elementi. B={x|x è un numero pari} Un insieme si dice vuoto quando non contiene alcun elemento. C={x|x è una montagna alta più di 20 metri}

L’insieme dei pesci che volano L’insieme delle Province dell’Umbria L’insieme dei numeri interi i suoi elementi si possono contare gli elementi che vi appartengono sono talmente tanti che non è possibile contarli non è possibile trovare un elemento che appartiene all’insieme VUOTO FINITO INFINITO

Per rappresentare un insieme abbiamo tre possibilità: A = {a, l, u, n} 2) Rappresentazione intensiva o per caratteristica A = {x  x è una lettera della parola “alunna”} 3) Rappresentazione grafica con diagramma di Eulero-Venn aa uu ll nn 1) Rappresentazione estensiva o per elencazione Significa fare l’elenco degli elementi appartenenti all’insieme Si intende dare una regola verbale, che permetta a tutti di individuare gli elementi che appartengono all’insieme Significa disegnare un ovale in cui inserire gli elementi appartenenti all’insieme A L’insieme delle lettere della parola alunna

Quando tutti gli elementi di B appartengono anche ad A... allora B è un sottoinsieme di A: B  A A = {7,8,9,10,11} B = {8,10}

Ø  A Un sottoinsieme proprio (  ) contiene elementi che sono gli stessi (ma in numero minore) di un altro insieme dato Ogni insieme da origine a due sottoinsiemi detti impropri (  ) perché non rispettano la regola precedente in quanto: uno è VUOTO e l’altro è l’insieme SE STESSO Sottoinsiemi propri ed impropri A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } A’ = { 1, 2 } A’  A A’’ = { 4, 6, 9 } A’’  A A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }  A

{ U };{ V };{ A };{ U;V }; { V;A} { U;A }; { Ø};{U;V;A} IIIIII PARTIZIONE DI UN INSIEME A A Significa scomporlo in due o più sottoinsiemi tali che: 1) nessuno di questi sia vuoto; 2) non si abbiano elementi in comune tra loro; 3) una volta riuniti riformino l’insieme di partenza A = {a/a è una lettera della parola UVA} INSIEME DELLE PARTI

Intersezione Unione Differenza Complementare OPERAZIONI TRA INSIEMI

Intersezione L’insieme INTERSEZIONE è formato da tutti quegli elementi che sono comuni agli insiemi dati, ripetuti una sola volta Il simbolo  è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A intersecato B oppure “A e B” AB AB A B A  B = { c ; d } A  B = Ø a b c d e f g A  B = { 3 ; 2 } = B

Esempi A  B = { } A  B = {x  x  A e x  B} per elencazione per caratteristica graficamente A = {a,b,c,d,e} e B = {a,d,f}, A = {1,2} e B = {7,9}, A = {m,c,d,e} e B = {m,d}, A  B = {a, d} A  B = {m, d} = B A  B = {x  x  A e x  B}

Unione L’insieme UNIONE è formato da tutti gli elementi che sono definiti dagli insiemi dati, ripetuti una sola volta Il simbolo  è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A unito B” oppure “A o B”. A B A A B B A  B = { … ; … ; … ; … } A  B = { … ; … ; … ; … } = A

Esempi A  B = {1, 2, 7, 9 } A  B = {x  x  A o x  B} per elencazione per caratteristica graficamente A = {a,b,c,d,e} e B = {a,d,f}, A = {1,2} e B = {7,9}, A = {m,c,d,e} e B = {m,d}, A  B = {a, b, c, d, e, f} A  B = {m, c, d, e} = A A  B = {x  x  A o x  B}

Differenza L’insieme DIFFERENZA è formato da tutti quegli elementi di un insieme che non sono presenti in un altro insieme dato. Si parla anche di insieme complementare Il simbolo – (o /) è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A meno B” A B AB A B B  A = { c } A B A  B = A B  A = B ab c A  B = { a } a b c d A  B = { a; b } B  A = B

Esempi A / B = {1, 2} B / A = {7, 9 } A / B = {x  A | x  B} B / A = {x  B | x  A} per elencazione per caratteristica graficamente A = {a,b,c,d,e} e B = {a,d,f}, A = {1,2} e B = {7,9}, A = {m,c,d,e} e B = {m,d}, A / B = {b, c, e} B / A = {f} A / B = {c, e} B / A = { } A / B = {x  A | x  B} B / A = {x  B | x  A} A / B = {x  A | x  B} B / A = {x  B | x  A}

Si definisce differenza complementare fra l’insieme U e il suo sottoinsieme A, l’insieme degli elementi che stanno in U ma non in A il complementare di A rispetto ad U è la parte colorata

Dati ad esempio i due insiemi U = {a,b,c,e} e A = {b,c}, il complementare di A è dato dal seguente insieme: C A B = U - A = {a,e} C A B = U – A = {x  x  U e x  A} A  U per elencazione per caratteristica graficamente Il simbolo C A B (o U-A) è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “C è l’insieme complementare di B rispetto ad A” C A B (U – A)