EGIZIANI, BABILONESI, INDIANI Matematica dell’antica Grecia ruolo fondante della geometria Tutta la matematica (compresa l’aritmetica e l’algebra) era costruita utilizzando concetti, linguaggio e metodi geometrici «Non entri chi non sa di geometria» Platone, sul portone della sua scuola l’Accademia o Scuola di Atene

I Greci occupano un posto importante nella storia della matematica per il rigore, l’astrattezza e i risultati cui essi sono pervenuti, soprattutto in geometria, nel corso dei secoli. Egiziani, babilonesi, Indiani, cinesi avevano fatto importanti scoperte

3200 a.C a.C. EGIZIANI, BABILONESI, INDIANI In Egitto, Mesopotamia, India, Cina sono conosciuti il numero p, le quattro operazioni (anche sulle frazioni), le equazioni quadratiche, il calcolo dell'area di quasi tutte le figure geometriche

EGIZIANI abili agrimensori avevano scoperto ed utilizzato molti principi riguardanti le figure, gli angoli e le linee. la somma degli angoli di un triangolo è uguale a due retti l’area di un parallelogramma è uguale a quella di un rettangolo avente stessa base e stessa altezza arrivarono a calcolare con buona approssimazione il valore di  e il volume del tronco di piramide

- I primi geometri dell'antichità sono gli agrimensori dell'antico Egitto. arpedonapti, annodatori di corde (dai greci) "tirare una retta". L'uso delle corde per operazioni sul terreno permane inalterato per molti secoli, e si ritrova nel lavoro degli agrimensori anche in tempi relativamente recenti.

Erodoto (484 a.C a.C.) storico greco antico) Dicevano che questo re [Sesostri, ca a. C.] distribuì il territorio fra tutti gli egiziani, dando a ciascuno un lotto uguale di forma quadrata, e che in base a questa suddivisione si procurava le entrate, avendo imposto il pagamento di un tributo annuo. Se da un podere il fiume asportava una qualche parte, il proprietario, recatosi presso il re, gli segnalava l'accaduto: egli allora mandava funzionari che osservavano e misuravano di quanto il terreno era divenuto più piccolo, affinché per l'avvenire il proprietario pagasse in proporzione il tributo. Io ritengo che in seguito a ciò sia stata inventata la geometria e sia poi passata in Grecia. Se poi il fiume aveva semplicemente cancellato i confini dei campi, era compito degli stessi funzionari ristabilire le giuste divisioni.

TIRARE UNA RETTA – TRACCIARE UNA CIRCONFERENZA VS COSTRUZIONI RIGA E COMPASSO

I GRECI I Greci apprezzarono la geometria, non solo per l’utilità pratica, ma anche per l’interesse teorico. In Grecia la geometria acquistò quei caratteri di rigore, astrazione e generalità che sono tipici della matematica. enti geometrici indipendenti dalla realtà provare i risultati trovati mediante una forma di dimostrazione arrivando alla concezione della geometria come scienza deduttiva. (Padre di tale concezione fu Aristotele).

3100 a.C. – 1000 a.C.600 a.C a.C.300 a.C – 600 d.C. EGIZIANI, BABILONESI, INDIANI PERIODO GRECO CLASSICO Gli antichi Greci definiscono i due processi mentali che stanno alla base del processo matematico: l'astrazione (trarre un'idea generale dalla percezione di una o più qualità comuni a cose diverse) e la dimostrazione (giungere da certe premesse a una conclusione in modo che non si possano trovare pecche in nessuna parte dell'argomentazione) GRECI (periodo classico) Talete Pitagora Xanofane Platone Eudosso Aristotele GRECI (periodo Alessandrino)

Periodo classico

Scuola Ionica: Talete (  a.C.) distanza di una nave dalla costa l’altezza delle piramidi proprietà del cerchio (che viene dimezzato da un suo diametro) uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele. Talete rappresenta l’anello di congiunzione tra la materialità ed empiricità della geometria Egiziana e la immaterialità e razionalità della matematica Greca.

I Pitagorici (Crotone, Magna Grecia  a.C.) Si occuparono principalmente di numeri, che sostennero essere il principio di tutte le cose. Essi con il termine numero intendevano soltanto i numeri interi, concepiti come collezioni di più unità tutte uguali tra di loro (atomi).

I Pitagorici (  a.C.)

Scuola eleatica: si sviluppa ad Elea (area archeologica in prov. di Salerno) Zenone (~480 a.C.) Achille e la tartaruga Democrito i volumi di un cono e di una piramide sono 1/3 del volume del cilindro e del prisma che hanno la stessa base e la stessa altezza (dim. Eudosso)

Democrito cono è una serie finita di sottili strati indivisibili …

Scuola sofistica (~480 a.C.) (movimento filosofico affermatosi nella Grecia Antica e soprattutto ad Atene) tre problemi classici, cioè problemi elementari, che si risolvono con il solo uso della riga e del compasso: A partire dai dati geometrici del problema (punti, rette, segmenti, angoli, circonferenze) la soluzione (anch’essa espressa in termini geometrici di punti, rette, segmenti, angoli, circonferenze) si deve trovare mediante costruzioni geometriche effettuate esclusivamente con l’uso “idealizzato” della riga (non graduata) per tracciare linee rette e del compasso (collassante) per tracciare circonferenze.

Costruzioni basilari tracciare la retta per due punti dati; date due rette non parallele, determinare il loro punto di intersezione; tracciare la circonferenza con centro in un punto dato e passante per un altro punto dato; determinare gli eventuali punti di intersezione fra una circonferenza ed una retta (non tangente alla circonferenza); determinare gli eventuali punti di intersezione fra due circonferenze (non tangenti tra di loro). A partire da queste costruzioni basilari se ne possono costruire poi molte altre. Per esempio la costruzione del triangolo equilatero di dato lato era fatta facendo ricorso alle precedenti costruzioni basilari.

La duplicazione del cubo dato un segmento AB, costruire un segmento CD tale che il cubo di spigolo CD abbia volume doppio del cubo di spigolo AB

La trisezione dell’angolo “dato un angolo di ampiezza arbitraria α, costruire un angolo di ampiezza α/3”

La rettificazione della circonferenza La rettificazione della circonferenza: “data una circonferenza di diametro d, costruire un segmento di lunghezza c, uguale alla lunghezza della circonferenza”; La quadratura del cerchio: “dato un cerchio di raggio r, costruire un segmento di lunghezza s, tale che il quadrato di lato s abbia la stessa area del cerchio” (questo problema si dimostra non avere soluzione, perché nella soluzione compare il numero π che è trascendente).

L’Accademia di Platone Per Platone la matematica ha un ruolo importante, formativo (l’idea è quella di formare il filosofo), filosofico molto importante. Il mondo reale è espressione di in mondo perfetto che è il mondo delle idee. La matematica appartiene al mondo delle idee. Ma allora, un teorema è costruito o scoperto? Tutte le teorie matematiche che si sviluppano non sono cose che si inventano, ma esistono già. Platone si può indicare come il padre della logica e del metodo deduttivo: affermò con forza la necessità di una organizzazione deduttiva della conoscenza. Fu il primo a sistematizzare le regole della dimostrazione e si suppone che i suoi allievi abbiano disposto i teoremi secondo un ordine logico. Da punto di vista pratico i platonici hanno contribuito allo studio delle sezioni coniche.

Eudosso

Aristotele: il Liceo Aristotele è stato prima allievo e poi collega di Platone, poi è stato tutore di Alessandro Magno per tre anni. Poi fondò la propria scuola, il Liceo. Per quanto riguarda la matematica, chiarisce il concetto di definizione Distingue tra Nozioni Comuni e Postulati Discutendo l’infinito egli traccia la distinzione tra infinito potenziale ed infinito attuale. fondazione della scienza della logica. Egli derivò la logica dalla matematica, ma comunque indipendente da essa ed applicabile ad ogni scienza.

EUCLIDE

Gli Elementi La geometria viene fondata da Euclide come una scienza deduttiva secondo Aristotele Termini, postulati, assiomi, o nozioni comuni Nel 1° libro degli “Elementi” Euclide inizia elencando di 23 termini.