Scuola Militare Nunziatella COMPLETEZZA e COERENZA della Matematica 4 giugno Luigi Taddeo

Quanti figli ebbero Renzo e Lucia? P.ODIFREDDI-Lezioni di Logica Matematica

Parigi, 8 Agosto Conferenza internazionale dei Matematici (ICM) David HILBERT ( ) 23 PROBLEMI : da 1 a 6 i FONDAMENTI della Matematica da 7 a 14 l’Algebra e la Geometria da 15 a 23 la Topologia e l’Analisi

I Primi due 1) L’ipotesi del Continuo 2) Completezza e Coerenza dell’Aritmetica (della Matematica)

INSIEMI INFINITI Cardinalità di un insieme

L’insieme dei numeri naturali è equipotente all’insieme delle frazioni

L’INFINITO (della Matematica) Tu, che contieni te stesso Tu, che sottratto rimani te stesso Tu, che sommato rimani te stesso Tu, sei infinito

Georg Cantor

IPOTESI DEL CONTINUO Esistono insiemi che hanno cardinalità compresa tra quella di N (numeri naturali) e quella di R (numeri reali)?

Ritorniamo al problema da cui siamo partiti Quanti figli ebbero Renzo e Lucia? Non lo sappiamo nel senso che Manzoni non ce lo dice esplicitamente né lo si deduce dal romanzo

Testo Letterario -Teoria Matematica TESTO CRITICA ASPETTI IMPLICITI ASSIOMI ANALISI (DIMOSTRAZIONI) TEOREMI

Nessun testo letterario descrive una realtà sufficientemente complessa in modo completo Manzoni “Ne vennero poi col tempo non so quant’altri, dell’uno e dell’altro sesso….”

Ipotesi del continuo Primo problema di Hilbert Gli assiomi della Teoria degli insiemi non sono sufficienti né ad assicurare l’esistenza di insiemi aventi la cardinalità compresa tra quella di N e quella di R, né ad escluderne l’esistenza. Dunque: Esistono insiemi che hanno cardinalità compresa tra N ed R? Risposta: Non è possibile rispondere

Teorema di INCOMPLETEZZA (1931) Kurt Gödel In ogni teoria matematica è possibile costruire proposizioni sintatticamente corrette che non possono essere né dimostrate né confutate all'interno della teoria stessa

INCOMPLETEZZA Nessun testo letterario è completo Nessuna teoria matematica è completa

COERENZA (consistenza) La coerenza è l’impossibilità di dimostrare una proposizione e il suo contrario, detto in altro modo: Se riesco a dimostrare che A è vera non potrò mai dimostrare che A è falsa e viceversa

UN’ULTERIORE CONSEGUENZA del Teorema di Gödel La consistenza della teoria stessa NON è dimostrabile

CONCLUSIONI Dio esiste perché la Matematica è coerente, il Diavolo esiste perché non lo possiamo dimostrare