Elementi di Topologia in R Analisi matematica Elementi di Topologia in R

Simboli x = y, x uguale a y, identità , x diverso da y             , x è uguale a y per definizione x < y, x minore di y, esempio 3 < 5            , x minore o uguale a y x > y, x maggiore di y, esempio 5>3            , x maggiore o uguale a y      in geometria relazione di congruenza, congruente a ...; in aritmetica simbolo di approssimazione, circa uguale a ...      più o meno,        modo sintetico per indicare contemporaneamente i due numeri +3 e -3           , somma di xi con i da m a n, esempio                                               , prodotto di xi con i da m a n, esempio                                                                            , a congruente a b modulo m, esempio 5 congruente a 3 modulo 2, 5:3 ha per resto 2      , pi greco, rapporto tra circonferenza e diametro, numero irrazionale il cui valore è circa 3,141592653589... e, numero di Nepero, base dei logaritmi naturali, numero trascendente il cui valore è circa 2,718281828459...       infinito n!, n fattoriale, definito per n intero maggiore o uguale a 1,                                                      , 5!=120          , n su k, coefficiente binomiale,                             

Altri simboli , valore assoluto di x oppure modulo di x, , f funzione dall'insieme A all'insieme B , x corrisponde a y mediante la funzione y f(x)=y, f di x uguale a y, f fa corrispondere al valore x il valore y i, unità immaginaria, i2=-1 N, insieme dei numeri naturali, insieme dei numeri interi non negativi, Z, insieme dei numeri relativi, Q, insieme dei numeri razionali, R, insieme dei numeri reali, dato dall'unione dei numeri razionali e di quelli irrazionali                     ,

Corrispondenza tra numeri reali e punti di una retta Sia R l'insieme dei numeri reali e P l'insieme dei punti di una retta orientata. R e P sono due insiemi in corrispondenza biunivoca. Per stabilire questa corrispondenza si fissa sulla retta un punto O, origine, un verso di percorrenza della retta (solitamente da sinistra verso destra) e una unità di misura u. Ad ogni punto P della retta possiamo far corrispondere uno e uno solo numero reale x (naturale, relativo, razionale o irrazionale). Se P segue O, x sarà la misura del segmento OP rispetto all'unità di misura u; se P precede O, x sarà il valore opposto della misura precedente. Se P coincide con O, x varrà zero.                                                                                                                                                                                            La corrispondenza inversa, ossia, ad ogni numero reale assegnare un determinato P è assicurata dal postulato di continuità della retta o postulato di Dedekind. La corrispondenza stabilita permette di parlare indifferentemente di insiemi di numeri o di insiemi di punti Si può parlare indifferentemente di numero 10 o di punto 10.

Intervalli e intorni Insieme “numerico” Viene così chiamato un insieme i cui elementi siano numeri reali; in altre parole: un sottoinsieme di R.        Punto Poiché su di una retta dotata di: a.       orientamento;     b.    origine;       c.   unità di misura (brevemente, all’inglese: su di una “number line”) ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto geometrico, e viceversa, il termine “punto” è spesso usato come sinonimo di “numero, pensato rappresentato su di una number line”       Intervalli Si chiamano “intervalli” particolari insiemi numerici. Gli intervalli possono essere: chiusi, aperti, semiaperti; possono essere limitati o illimitati.

Intervallo chiuso di estremi a e b: Intervallo aperto di estremi a e b: Int. di estr. a e b, chiuso a sin. e aperto a destra Int. di estr. a e b, aperto a sin. E chiuso a destra Intervallo chiuso illimitato superiormente Intervallo aperto illimitato superiormente: Intervallo chiuso illimitato inferiormente: Intervallo aperto illimitato inferiormente:

Anche l’intero insieme R è un intervallo illimitato, superiormente e inferiormente.        Si dice “intorno” di un punto x0, un qualsiasi intervallo aperto contenente x0. ................... _____x0_________.................... Quindi possiamo dire che un intorno di x0 è un intervallo della forma dove e sono due numeri strettamente positivi. La distanza viene detta ampiezza dell’intorno dato. Un intorno di x0 viene di norma indicato con Ix0 o con I(x0).

Intorni “circolari” di un punto. Si tratta di quegli intorni per i quali . Quindi: si dice “intorno circolare” di x0, un intervallo aperto della forma .        Si parla di “intorno circolare di centro x0 e raggio d ”         Si può utilizzare il simbolo       L’ampiezza di tale intorno è Quindi è E si può scrivere (MOLTO importante!): x0

Punti particolari di un insieme   Un punto x0 si dice punto di accumulazione di E, quando in ogni intorno di x0 cadono infiniti punti di E, o, in modo equivalente, quando in ogni intorno di x0 cade almeno un punto di E diverso da x0 . Un punto x0 si dice punto interno all'insieme E se esiste un intorno di x0 interamente contenuto in E. Un punto x0  si dice punto esterno a E se esiste un intorno di x0  che non contiene nessun punto di E. Un punto x0  si dice punto di frontiera per E se un qualsiasi intorno di x0 contiene almeno un punto di E e almeno un punto che non sta in E. Un punto x0  di E si dice punto isolato per E se esiste un intorno di x0  che non contiene nessun punto di E, ad eccezione di x0. Si chiama frontiera di E l'insieme formato dai punti di frontiera di E.

Insiemi aperti e chiusi   Si chiama frontiera di E l'insieme formato dai punti di frontiera di E. Un insieme E si dice aperto se non contiene nessun punto della sua frontiera. Un insieme E si dice chiuso se contiene tutti i punti della sua frontiera. Si dimostra che un insieme chiuso contiene tutti i suoi punti di accumulazione, e viceversa, se un insieme contiene tutti i suoi punti di accumulazione è chiuso. Se un insieme non ha punti di accumulazione è chiuso. Si chiama insieme derivato di E, l'insieme dei punti di accumulazione di E. Si chiama chiusura di E, l'unione di E con il suo derivato.

Definizione di funzione reale di variabile reale   Siano X e Y due sottoinsiemi non vuoti dell'insieme dei numeri reali R Si chiama funzione di X in Y una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento x di X uno e uno solo elemento y di Y. Per indicare che f è una funzione di X in Y si scrive f : X                R oppure y = f(x). y si dice immagine del numero x dato dalla funzione f, cioè y è il valore assunto dalla funzione in corrispondenza al numero x . L'elemento x dell'insieme X si chiama variabile indipendente in X, o argomento della funzione. L'insieme X dei valori x, per i quali esiste il corrispondente valore della y, si dice insieme di esistenza, o insieme di definizione, o anche dominio della funzione. L'insieme delle immagini f(X) si chiama codominio; si ha f(X)            Y. L'insieme G delle coppie (x, f(x)) si chiama grafico o diagramma della funzione f.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Si chiama funzione di X in Y una qualsiasi legge che fa corrispondere un elemento x di X ad uno e un solo elemento y di Y. Questa non è una funzione perché da b partono due frecce verso l’insieme Y. Qual è, infatti, il valore di f(b)? 1 o 2? Una funzione si dice iniettiva se e solo se Oppure anche:

Cioè una funzione biiettiva è suriettiva e iniettiva. Una funzione si dice suriettiva se: Una funzione si dice funzione biettiva se: Cioè una funzione biiettiva è suriettiva e iniettiva.

Funzioni inverse Sia f una funzione biiettiva, definita in X e a valori in Y. E' possibile definire una nuova funzione, definita in Y e a valori in X, associando a ciascun elemento y di Y, l'unico elemento x di X, tale che f(x) = y. Questa funzione si chiama funzione inversa della funzione f e si indica con f-1. Quindi, sempre nell'ipotesi in cui f è biiettiva si ha: