Introduzione alla LOGICA MATEMATICA Corso di Matematica Discreta. Corso di laurea in Informatica. Prof. Luigi Borzacchini IV. Introduzione elementare alla teoria degli insiemi.

L’insieme: introduzione intuitiva Un insieme è una molteplicità (anche nulla) di elementi. Se un elemento a appartiene all’insieme A, scriviamo a  A Un insieme (finito) è dato elencandole gli elementi. L’insieme delle cifre: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Un insieme è dato tramite una proprietà. L’insieme dei numeri pari: {n| n è pari} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ….} Un insieme è generato da regole. L’insieme delle proposizioni dato dalla grammatica generativa del capitolo 2.

Insiemi e proposizioni In una prima introduzione intuitiva la corrispondenza insieme/concetto (o proprietà) coincide con la corrispondenza estensione/intensione di una parola: la parola ha come intensione ‘la bianchezza’ e come estensione l’insieme degli oggetti bianchi. Rimanendo nella logica delle proposizioni, la corrispondenza insieme/proposizione fa corrispondere l’insieme A con la proposizione oppure.  indica l’insieme vuoto

Rappresentare gli insiemi I diagrammi di Venn e gli intervalli. L’insieme P : P Sia P la proprietà ‘è umano’, P l’insieme degli esseri umani, Q sia ‘è alto’, Q l’insieme degli oggetti alti. P (complemento di P) è l’insieme degli «esseri non umani», corrispondente alla proprietà  P. P  Q (intersezione di P e Q) è l’insieme degli «umani alti», corrispondente alla proprietà P  Q P  Q (unione di P e Q) è l’insieme degli «esseri umani o alti», corrispondente alla proprietà P  Q P  Q se ogni elemento di P è anche elemento di Q.

Con diagrammi di Venn e intervalli:

Sillogismi: «tutti gli umani sono mortali», «tutti i greci sono umani» e quindi «tutti i greci sono mortali». Oppure «alcuni ateniesi sono biondi» e «tutti i biondi sono robusti» e quindi «alcuni ateniesi sono robusti». mortali robusti umani G  U U  M B  R A  B  Ø greci G  M ateniesi biondi A  R  Ø «nessun umano è immortale», «tutti gli dei sono immortali», e quindi «nessun umano è un dio», umani dei U  I=Ø D  I U  D=Ø immortali

«alcuni ateniesi sono robusti», «alcuni ateniesi sono biondi», …..? ateniesi A  R  Ø A  B  Ø ateniesi ? robusti biondi robusti biondi «nessun umano è immortale», «qualche immortale è biondo», …..? immortali U  I=Ø I  B  Ø biondi umani ? immortali biondi umani

La tavola di verità dell’  Possiamo ora comprendere la ragione iniziale della tavola di verità del “se…. allora…” alle origini della logica: nella Grecia antica la logica si sviluppò in gran parte per la costruzione delle scienze naturali, spesso proprio sulle tassonomie di generi e specie (non apparvero mai gli esempi ‘strani’ da noi usati con la luna di formaggio mischiata ai numeri pari), così che fu quasi ovvio dargli la struttura corrispondente alla inclusione insiemistica. significa che P  Q equivale a P Q e quindi P  Q L’unico caso escluso è che qualcuno sia P ma non Q.

Il prodotto cartesiano Il prodotto cartesiano P  Q di due insiemi P e Q è l’insieme delle coppie ordinate (a,b) formate da un elemento a di P ed un elemento b di Q. Se P = Q, indicheremo il prodotto cartesiano con P 2. Esempio: le carte napoletane, P={i dieci punti}, Q={i quattro pali}, P  Q={le 40 carte del mazzo} Più in generale: dati gli insiemi M 1, M 2, …, M n, si dice prodotto cartesiano M 1  M 2  …  M n, l’insieme delle n-uple, (a 1, a 2,…. a n ), in cui a 1  M 1, a 2  M 2 ….., a n  M n, Gli M i possono essere tutti uguali ad M, ed in tal caso il prodotto cartesiano viene indicato con M n

Proprietà delle operazioni insiemistiche Un primo esempio di ‘algebra’: gli insiemi e le loro operazioni (, ,  ) e la relazione (inclusione:  ) Le equivalenze logiche corrispondono a proprietà di operazioni e relazioni. proprietà associativa: (A  B)  C  A  (B  C), (A  B)  C  A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C), (A  B)  C = A  (B  C), proprietà commutativa: A  B  B  A, A  B  B  A A  B = B  A, A  B = B  A,

proprietà distributiva A  (B  C)  (A  B )  (A  C), A  (B  C)  (A  B )  (A  C) A  (B  C)=(A  B)  (A  C), A  (B  C)=(A  B)  (A  C), leggi di de Morgan:  (A  B)  (  A  B),  (A  B)  (  A  B) A  B = A  B, A  B = A  B, Involuzione: A    A, A = A Assorbimento: A  (B  A)  A, A  (B  A)  A, A  (B  A) = A A  (B  A) = A che possono essere verificate con ragionamenti informali sulle rappresentazioni insiemistiche

Ad esempio per la prima proprietà distributiva: A  (B  C)=(A  B)  (A  C) B  C B C B C A A A  (B  C) B C B C A  B A  C A A (A  B)  (A  C) BCBC A  B A  C

Ad esempio per la prima legge di de Morgan: A A A  B A  B A  B B B A A A A B B B B A  B A  B B A A  B A  B = A  B

Per la relazione  vale la proprietà transitiva: (A  B  B  C)  (A  C), (l’insieme dei multipli di 4 è incluso nell’insieme dei numeri pari, l’insieme dei numeri pari è incluso nell’insieme dei numeri interi  l’insieme dei multipli di 4 è incluso nell’insieme dei numeri interi) ((A  B)  (B  C))  (A  C) (se un numero è multiplo di 4 allora è pari, se un numero è pari allora è un intero  se un numero è multiplo di 4 allora è un intero) quella riflessiva: A  A, A  A e quella antisimmetrica: ((A  B)  (B  A))  (A  B) (A  B  B  A)  A=B

Alla conversione della logica proposizionale: P  Q se e solo se  Q   P, corrisponde la proprietà P  Q se e solo se Q  P :, {4, 8, 12, …}  {2, 4, 6, 8, 10, …}, equivale a, {1, 3, 5, 7, 9, ….}  {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, …}. In matematica esistono alcuni insiemi numerici particolarmente importanti: l’insieme  di tutti i numeri interi, e analogamente l’insieme dei numeri relativi, dei razionali  (  + i razionali positivi), dei reali  (  + i reali positivi), dei complessi , con ovvie relazioni di inclusione tra di essi

Partizioni e tassonomie Dato un insieme S una sua partizione è una famiglia di insiemi M 1, M 2, …, M n, tali che due qualsiasi di essi M i, e M j sono disgiunti (esclusivi), M i  M j = Ø, e tali che la loro unione è uguale a tutto S (esaustivi). Se le parti di una partizione vengono ulteriormente partizionate si ottiene un ‘raffinamento’ della partizione. Iterando questo processo si ottiene una tassonomia: ad esempio quella zoologica o quella botanica. Essa può essere rappresentata tramite un albero in cui ogni arco rappresenta l’esistenza di una relazione di inclusione fra i suoi estremi.

scimmia leone cigno canidi felini pesci lupo uomo gatto oca orata primati uccelli pastore gorilla tigre papera trota leopardo La corrispondenza tra insiemi (con la relazione di inclusione) e proprietà (con la relazione di implicazione) implica la possibilità di scrivere l’albero della tassonomia come un albero di proprietà. Ogni parte P corrisponde ad un insieme di proprietà P, ed una sua parte Q corrisponde ad una proprietà Q, con Q  P, ove Q sono le caratteristiche della parte Q all’interno di P

animali canidi primati felini uccelli pesci lupo pastore scimmia uomo gorilla leone gatto tigre leopardo ………… p.abruzzese p.maremmano ……….. mangiano  si muovono  e si riproducono  abbaiano  bipedi  unghie retrattili  volano  nuotano  con la criniera  domestico  con le strisce  nero e l’arco rappresenta la relazione (implicazione) Q  P o (inclusione) Q  P

Alla relazione di inclusione insiemistica corrisponde quindi la relazione di implicazione logica e viceversa, aggiungendo caratteri aumenta l’informazione. Estensione ed intensione di comportano in maniera opposta: quando aumenta l’una diminuisce l’altra e viceversa. Aumentando gli assiomi diminuiscono i modelli e viceversa per specializzare i modelli occorre aggiungere assiomi. Un sistema di assiomi con un solo modello si dice categorico, e possiamo dire che con essi abbiamo ‘catturato la semantica’ e descritto in modo completamente sintattico il ‘modello’ che avevamo in mente.

La stessa relazione può essere usata sugli insiemi numerici visti poco sopra     +  +  Gli archi rappresentano la inclusione tra gli insiemi, ma anche l’esistenza di proprietà che distinguono i numeri di un insieme da quelli dell’insieme superiore, come quello di essere positivi.

Siano dati gli insiemi A={rosso, verde}, B={2,3,5}, C={5,7}. Quali sono gli insiemi A  B, A  C, B  C ? Verifica che A  ( B  C) = (A  B)  (A  C) Dimostralo graficamente per A, B, C qualsiasi. A  B = {(rosso,2), (rosso,3), (rosso,5), (verde,2), (verde,3), (verde,5)} A  C = {(rosso,5), (rosso,7), (verde,5), (verde,7)} B  C = {5} A  ( B  C) = { (rosso,5), (verde,5)} = (A  B)  (A  C) B C B  C A A  B A  C

Con la teoria degli insiemi verifica se: {[(x -1)]  [(x>0)  (x 3)] Tradotto in teoria degli insiemi, diventa: {[(x -1)]  [(x>0) ∩ (x 3)] [(-1<x<2)  (0<x<3)]  (x≤3) (-1<x<3)  (x ≤ 3) Graficamente: x<2 x>-1 x>0 x ≤ 3 x>3 x<5 x>3 -1<x<2 0<x<3 x ≤ 3 -1<x<3

La cardinalità e la combinatoria Il numero di elementi di un insieme M si chiama la sua cardinalità e si indica con |M|. La combinatoria si fonda sul calcolo delle cardinalità: i) Principio additivo. Se abbiamo due insiemi P e Q disgiunti (cioè tali che P  Q = Ø) allora |P  Q|=|P|+ |Q|. E più in generale |P  Q| =| P|+ |Q|- |P  Q| P P  Q Q Sommando la cardinalità dei due insiemi gli elementi della intersezione sono contati due volte, e quindi vanno sottratti per calcolare la cardinalità dell’unione

Il risultato può essere generalizzato alla unione di più insiemi (principio di inclusione-esclusione), ad esempio per tre insiemi: |P  Q  R|=|P|+ |Q|+ |R| P Q ‐|P  Q|‐ |P  R|‐ |R  Q| R +|P  Q  R|. Se S è l’insieme totale di tutti gli elementi, per ogni M  S, |M| = |S|- |M| ii) Principio moltiplicativo: dato il prodotto cartesiano P  Q, |P  Q| = |P|  |Q|. Esempio: 40 carte De. Co. Ba. Sp.

Esercizio. A briscola le carte valide sono quelle del palo di briscola e i ‘carichi’ (1, 2, 3). Sapendo che ho 6 carte valide, tra le quali il 2 e il 3 di briscola e quattro briscole, quanti carichi ho in totale? Poniamo P l’insieme delle mie carte di briscola e Q l’insieme dei carichi, da |P  Q| =| P|+ |Q|- |P  Q|, posso ottenere |P  Q| -| P|+ |P  Q| = |Q|, e quindi |Q| = 6 – = 4

Gli studenti maschi ma non alti sono uguali a: a) gli studenti maschi meno quelli sia maschi che alti b) gli studenti maschi o alti meno quelli maschi c) gli studenti maschi o alti meno quelli sia maschi che alti maschi alti Quanti sono i numeri non divisibili per 2 o 3, minori di 100? Divisibili per 2: 49 Divisibili per 3: 33 Divisibili per 6: 16 {Non divisibili per 2,3} = {i primi 99 numeri} – {quelli divisibili per 2} – {quelli divisibili per 3} + {quelli divisibili per 6} = – = 33 2| 6| 3|

Baresi Pugliesi non baresi Non Pugliesi StudentiABC StudentesseDEF Dei 200 studenti e studentesse di informatica (divisi tra baresi, pugliesi ma non baresi e non pugliesi), gli studenti in totale sono 130, le studentesse non baresi sono 40, e i baresi totali (studenti e studentesse) sono 70. Quanti sono gli studenti baresi? Basta considerare la partizione: Dai dati: A+B+C+D+E+F = 200 A+B+C= 130 E+F = 40 A+D = 70 Vogliamo calcolare A. E’ un semplice sistema, il modo più semplice di risolverlo si realizza sommando le ultime tre equazioni: 2A+B+C+E+F+D = 240, e sottraendo la prima equazione otteniamo A = 40.