Definizione Classificazione Dominio e Codominio Proprietà FUNZIONI ANALITICHE Definizione Classificazione Dominio e Codominio Proprietà

COS’È UNA FUNZIONE FUNZIONE è una particolare corrispondenza tra gli elementi di due insiemi che ad ogni elemento del primo insieme fa corrispondere uno ed un solo elemento del secondo insieme. FUNZIONE è un procedimento che, in corrispondenza ad oggetti in entrata(input), produce oggetti in uscita (output) NB: ad ogni oggetto in entrata deve corrispondere un solo oggetto in uscita

Non ci possono essere elementi del primo insieme che non sono associati ad alcun elemento del secondo insieme NO! Da ogni elemento del primo insieme deve partire una freccia

Non ci possono essere elementi del primo insieme che sono associati a due o più elementi del secondo insieme NO! Da ogni elemento del primo insieme deve partire una sola freccia

Corrispondenze e funzioni Usiamo l’aggettivo “particolare” perché non tutte le corrispondenze tra due insiemi sono funzioni. Esempio: A = insieme di tutte le parole del vocabolario italiano B = insieme di tutti i siti presenti sulla rete Colleghiamo ad ogni elemento del primo insieme (parola) i siti che compaiono digitando quella parola come parola chiave in un motore di ricerca

Corrispondenze e funzioni A B Questa corrispondenza non è una funzione: ad ogni “parola chiave” corrispondono molti siti e non uno solo: non è rispettato il secondo vincolo

insieme di definizione Il primo insieme Il primo insieme, o insieme di partenza, è chiamato dominio o insieme di definizione della funzione Es Il Dominio della funzione y=√x è R+0

Il secondo insieme Il secondo insieme è l’insieme di arrivo della funzione Es: Se la funzione f (x) è la corrispondenza definita in N tra i numeri dispari e il loro successivo l’insieme dei numeri dispari sarà il D e N sarà l’insieme di arrivo L’insieme dei numeri Pari privato dello zero è l’insieme delle immagini di tutti gli elementi di D sarà chiamato Codominio N D 3 5 7 9 11 13… . 2 4 6 8 10 12 14….. C 2 è l’immagine di 1 4 è l’immagine di 3 6 è l’immagine di 5 …………………….

Immagine di una funzione Il Codominio è il sottoinsieme dell’insieme di arrivo ed è detto anche insieme immagine della funzione perché è formato dalle immagini degli elementi del dominio Simbologia : L’immagine dell’elemento a del Dominio D è f(a) il Codominio della funzione f di Dominio D è f(D)

Insieme immagine I Il codominio I contiene gli elementi collegati a qualche elemento del dominio è quello evidenziato in rosa (insieme immagine)

Rappresentare funzioni Le funzioni possono essere rappresentate in vari modi, ad esempio con: Diagrammi di Eulero – Venn e frecce Tabelle Grafici

Rappresentare funzioni diagrammi di Eulero –Venn e frecce In questo tipo di rappresentazione: Gli insiemi di partenza/oggetti in entrata e di arrivo / oggetti in uscita sono rappresentati attraverso diagrammi di E-V La corrispondenza/procedi- mento è rappresentata/o dal complesso delle frecce che partono da ogni elemento del primo insieme ed arrivano su di un elemento dell’altro

Rappresentare funzioni Tabelle In questo tipo di rappresentazione: Gli elementi degli insiemi di partenza/oggetti in entrata e di arrivo / oggetti in uscita sono elencati nelle colonne di una tabella La corrispondenza/procedi- mento è rappresentata/o da ciò che lega gli elementi delle due colonne Capitali europee Temperature max il 01/10/08 Roma 22 Parigi 15 Londra 13

Rappresentare funzioni con i grafici Fissato nel piano un sistema di riferimento XOY cartesiano ortogonale e data la y=f(x) definita in un certo intervallo di estremi (a;b), attribuendo alla x dei valori, di volta in volta, variabili tra a e b possiamo calcolare, in base al legame espresso nella funzione, la y corrispondente. Ogni coppia x e y individua nel piano un punto della curva. Per x= x1--------->f(x1)=y1-----------> P1(x1;y1) Per x= x2--------->f(x2)=y2-----------> P2(x2;y2) . . Per x= xn--------->f(xn)=yn-----------> Pn(xn;yn)   La curva passante per tutti i punti calcolati rappresenta il grafico della funzione espressa dalla legge y=f(x). y P1 1 P2 Pn x

Rappresentare funzioni grafici Gli elementi degli insiemi di partenza/oggetti in entrata sono tutti i numeri reali, rappresentati su di una retta orizzontale (asse delle x o asse delle ascisse) Gli elementi degli insiemi di arrivo/oggetti in uscita sono tutti i numeri reali, rappresentati su di una retta orizzontale (asse delle y o asse delle ordinate) La corrispondenza/procedimento è rappresentata/o da una linea nel piano cartesiano, che assume forme diverse in relazione alla formula matematica che definisce la funzione

Funzioni empiriche e analitiche Le funzioni empiriche sono tutte le funzioni che non si possono rappresentare con una formula matematica Le funzioni analitiche sono tutte le funzioni esprimibili mediante una formula matematica; sono esplicitabili nella forma Y = f(x) anche se definite a tratti Per indicare una funzione analitica si può scrivere: f: A  B che si legge: “f è una funzione di A in B f: x  y che si legge: “f fa corrispondere all’elemento x l’elemento y” y = f(x) che si legge: “y uguale a effe di x”

Funzioni reali di variabile reale L’oggetto del nostro studio sono le funzioni reali (cioè: le funzioni che assumono valori che fanno parte dell’insieme dei numeri reali, oppure: l’insieme di arrivo è l’insieme dei numeri reali, il Codominio è un sottoinsieme di R ) a variabili reali (cioè: gli elementi di partenza sono numeri reali, oppure: il dominio e il codominio sono sottoinsiemi dei numeri reali).

Classificare le funzioni empiriche analitiche trascendenti algebriche irrazionali razionali intere fratte intere fratte

Funzioni algebriche e trascendemti ALGEBRICHE : sono tutte le funzioni che, nella formula che le esprime, contengono solo operazioni di: addizione/ sottrazione/moltiplicazione/ divisione elevamento a potenza/ estrazione di radice e le loro combinazioni. Cioè espressa mediante espressioni algebriche Ad esempio : y = 2x4 – 3 TRASCENDENTI: sono tutte le funzioni che non sono algebriche Ad esempio: y = ex y = log x y = sen x

Funzioni algebriche F. Irrazionali : Sono tutte le funzioni in cui la variabile indipendente compare sotto il segno di radice (indice n) es y= √(x-1) F. Razionali : Sono tutte le funzioni in cui compaiono le operazioni di addizione/ sottrazione, moltiplicazione/divisione, elevamento a potenza ma non l’estrazione di radice Tra queste le F. Polinomiali Sono tutte le funzioni espresse mediante polinomi Esempio: y = 3x4-7x2-x+12 Le F Fratte Sono le funzioni espresse mediante il quoziente di due esptressioni es y=(x-2)/(x^2-3) , y= 1/(√x-1)

Funzioni: iniettive, suriettive biunivoche Per stabilire se una corrispondenza è una funzione, si osserva il dominio. Per stabilire se una funzione è: Iniettiva Suriettiva Biunivoca Si osserva il codominio

Funzione iniettiva Ogni elemento del codominio è immagine di, al massimo, un elemento del dominio (agli elementi del codominio arriva una freccia oppure nessuna) Non è iniettiva è iniettiva Il grafico di una funzione iniettiva si riconosce perché ad ogni ordinata corrisponde una sola ascissa ( quindi ogni retta // all’asse x che incontra il Grafico lo intercetta una sola volta )

Funzione suriettiva Ogni elemento dell’ insieme di arrivo fa parte del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio (ad ogni elemento del codominio arrivano frecce) f(D) =C =Insieme di arrivo E’ suriettiva Non è suriettiva Il grafico di una funzione suriettiva si riconosce perché ogni punto dell’asse y è l’ordinata di qualche ascissa; quindi ogni retta // all’asse x incontra il Grafico almeno una volta)

La Funzione inversa Accertata la biunivocità della funzione y = f(x) la funzione inversa si calcola così Scambiare nella formula la Variabile x con la Variabile y ( in modo che y diventi la variabile indipendente e x la dipendente della nuova funzione) Esplicitare la variabile y con le regole dell’algebra NB Spesso le funzioni non suriettive si invertono in un sottoinsieme opportuno di R nel quale la funzione è iniettività e suriettiva es y=x^2 non è iniettiva né suriettiva su R ma è invertibile in R+ e la sua inversa è y=√x NBB il grafico cartesiano della funzione inversa è ottenibile dal grafico della funzione y=f(x) per simmetria rispetto alla bisettrice del primo quadrante

Le proprietà analitiche delle funzioni Studiare in funzione significa determinare le sue proprietà analitiche , cioè le proprietà che valgono per tutte le coppie (x,y) che verificano la y=f(x) Ad ogni proprietà analitica corrisponde una proprietà geometrica del grafico della funzione Le principali proprietà analitiche che si possono dedurre facilmente dalla formula di una funzione con le conoscenze disponibili in questo momento dell’as sono: DOMINIO SIMMETRIE ZERI SEGNO Le principali proprietà analitiche che si possono dedurre dal grafico di una funzione sono: DOMINIO CODOMINIO INIETTIVITA SURIETTIVITA’ SIMMETRIE PERIODICITA’ ZERI SEGNO CRESCENZA CONCAVITA’

Le proprietà analitiche delle funzioni Le principali proprietà analitiche che si possono dedurre dal grafico di una funzione sono: DOMINIO sono le ascisse dei punti del grafico CODOMINIO sono le ordinate dei punti del grafico INIETTIVITA vedi indietro SURIETTIVITA’ vedi indietro SIMMETRIE Pari : grafico simmetrico rispetto a y Dispari : grafico simmetrico rispetto a O PERIODICITA’ : il grafico si ripete dopo un intervallo T chiamato periodo ZERI ascisse dei punti di incontro con l’asse x SEGNO Y>0 valori di x per cui il grafico sta sopra l’asse x Y<0 valori di x per cui il grafico sta sotto l’asse x Y>0 Y<0 Y cala Y cresce Y cresce CRESCENZA valori di x per cui il grafico ha le rette tangenti con pendenza positiva ( y aumenta al crescere di x) CONCAVITA’ il grafico sta sotto le rette tangenti CONVESSITA’ il grafico sta sotto le rette tangenti

DETERMINAZIONE DEL DOMINIO di una funzione espressa in forma analitica Funzioni razionali intere : Sono definite qualunque valore assume la x Es Y= 4x4-3x2+1 C.E.  x  R  D=R Funzioni razionali fratte: Sono definite qualunque valore assume la x tranne che per i valori che annullano il denominatore D= R-{-1,+1 } Funzioni irrazionali In questo caso bisogna vedere se l'indice del radicale è pari o dispari. Se è pari allora sono definite qualunque valore assume la x tranne che per i valori che rendono il radicando negativo; se è dispari sono definite qualunque valore assume la x. Quindi:   radicale con indice pari C.E. si ha risolvendo RADICANDO > 0 radicale con indice dispari C.E. si ha x R   Funzioni composte: Quando la funzione è composta, sarà necessario risolvere un sistema che includerà tutte le imposizioni fatte per ciascun tipo di funzione.

SIMMETRIE PARI O DISPARI Una funzione y = f(x) è pari se f(-x) = f(x) per ogni x Є D Una funzione y = f(x) è dispari se f(-x) = - f(x) per ogni x Є D Funzione dispari Funzione pari

ZERI o INTERSEZIONI CON GLI ASSI Le coordinate dei punti di intersezione del grafico di una funzione con gli assi cartesiani si determinano risolvendo l’equazione che si ottiene ponendo nella equazione y=f(x) x=0 (per l’intersezione con l’asse y) y=0 (per l’intersezione con l’asse x) y Y x (x2;0) (x1;0) (0;y1)

DETERMINAZIONE DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE Per determinare il segno di una funzione,ovvero per quali valori della x essa assume valori positivi o negativi all'interno del C.E., basta risolvere la disequazione f(x)>0.