Indice Introduzione I numeri immaginari I numeri complessi Applicazioni

Perché sono stati introdotti i numeri immaginari e i numeri complessi Notizie storiche Campi di applicazione

I numeri immaginari e i numeri complessi non sono altro che una estensione del concetto di numero che consente di eseguire operazioni e applicazioni in altro modo impossibili. Nell’insieme dei numeri reali relativi tutte e quattro le operazioni razionali di addizione sottrazione, moltiplicazione e divisione (con divisore non nullo ) sono sempre definite.Ciò non può dirsi per l’estrazione di radice.Ed è proprio questo fatto che ha indotto a generalizzare ulteriormente il concetto di numero,suggerendo l’introduzione di un insieme più vasto di quello dei numeri reali e precisamente quello dei numeri complessi. Perché sono stati introdotti i numeri immaginari e i numeri complessi

Reali Immaginari Complessi L’insieme dei numeri Reali e l’insieme dei numeri Immaginari sono dei sottoinsiemi dell’insieme dei numeri Complessi. R ed I hanno un elemento in comune,il numero 0.

Nel XVI secolo la ricerca delle soluzioni dell’equazioni algebriche polinomiali portò i matematici ad introdurre accanto ai numeri reali i numeri immaginari. L’insieme dei numeri complessi fu introdotto nel 1500 quando due matematici italiani Gerolamo Cardano e Raffaele Bombelli cominciarono ad occuparsi della ricerca della formula risolutiva dell’equazione di 3°grado,in tale formula,infatti entra in gioco,anche per le soluzioni reali,la radice quadrata di un numero negativo. Solo nel XVIII secolo con K.F.Gauss i numeri complessi acquistano la piena cittadinanza matematica.Con la loro rappresentazione geometrica nel piano di Gauss i numeri complessi diventano più concreti.

I numeri complessi trovano applicazione :  nell’algebra  nella fisica con la rappresentazione vettoriale di grandezze fisiche  nell’elettrotecnica  nell’elettronica

I numeri immaginari Definizione Operazioni con i numeri immaginari

E’ noto a tutti che,nel campo reale non vi è alcun numero il cui quadrato sia uguale a –1;nulla però ci impedisce di creare un nuovo numero,fuori dall’insieme R dei numeri reali il quale soddisfi a questa condizione. Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama unità immaginaria. Per la comunità dei matematici è stato difficile all’inizio accettare il concetto di unità immaginaria

Si ha dunque per definizione : Quindi: Come per i numeri reali,si pone: Se b è un numero reale, al prodotto bi diamo il nome di numero immaginario,mentre a b il nome di coefficiente del numero immaginario OSS. Continua a valere la proprietà commutativa bi=ib I numeri bi e –bi si dicono numeri immaginari opposti o contrari.

La somma di due numeri immaginari è il numero immaginario avente per coefficiente la somma dei due coefficienti: Esempio Operazioni con i numeri immaginari

La differenza di due numeri immaginari è il numero immaginario avente per coefficiente la differenza dei due coefficienti: Esempio

Il prodotto di un numero reale per un numero immaginario è il numero immaginario avente per coefficiente il prodotto del numero reale per il coefficiente del numero immaginario: Esempio

Il prodotto di due numeri immaginari è il numero reale opposto al prodotto dei due coefficienti: Esempio

Il quoziente di due numeri immaginari è il numero reale quoziente dei due coefficienti: Esempio

La potenza n-esima di un numero immaginario è uguale al prodotto delle potenze n-esime del coefficiente e dell’unità immaginaria: Esempio

I numeri complessi Forma algebrica Forma trigonometrica Forma esponenziale Forma polare

Forma algebrica dei numeri complessi Definizione Operazioni con i numeri complessi Rappresentazione geometrica Corrispondenza tra vettori e numeri complessiCorrispondenza tra vettori e numeri complessi

Forma algebrica Siano a e b due numeri reali. Le espressioni della forma a+ib somma di un numero reale e di un numero immaginario prendono il nome di numeri complessi. Il numero a si dice parte reale del numero complesso,ib è la parte immaginaria e b è il coefficiente dell’immaginario. I Numeri complessi

Se b=0,il numero complesso a+ib coincide con il numero reale a. Se a=0 il numero complesso a+ib coincide con il numero immaginario ib.

Due numeri complessi si dicono uguali quando hanno rispettivamente uguali le parti reali e i coefficienti dell’immagi- nario. Due numeri complessi si dicono opposti quando sono opposte sia la parte reale sia quella immaginaria. Due numeri complessi che hanno la stessa parte reale ed opposti i coefficienti dell’immaginario si dicono complessi coniugati.

Operazioni con i numeri complessi Somma Differenza Prodotto Reciproco Quoziente Potenza

La somma di due o più numeri complessi si definisce come il numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali degli addendi e per coefficiente della parte immaginaria la somma dei coefficienti delle parti immaginarie: (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d) (2+i3)+(5-i7)=(2+5)+(3-7)i=7-i4 Esempio

Per differenza di due numeri complessi si intende la somma del primo e dell’opposto del secondo: (a+ib)-(c+id)=(a+ib)+(-c-id)=(a-c)+i(b-d) OSS. La differenza di due numeri complessi coniugati è un numero immaginario. (8-i4)-(4+i2)=(8-i4)+(-4-i2)=4-i6Esempio (2+i3)-(2-i3)=i6 Esempio

Il prodotto di due numeri complessi è il numero complesso che si ottiene moltiplicando termine a termine i due fattori mediante la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: Esempio

Oss. In particolare il prodotto di due numeri complessi coniugati è un numero reale: Esempio

Si chiama reciproco del numero complesso c+id il numero: moltiplicando numeratore e denominatore di questa frazione per il coniugato di c+id,cioè c-id,si ha:

Si può così affermare che il reciproco del numero complesso c+id è: Esempio

Per quoziente di due numeri complessi si intende il prodotto del primo per il reciproco del secondo: Esempio

La potenza di un numero complesso viene calcolata mediante le stesse regole che permettono di determinare le potenze dei binomi: Esempio

Così come i numeri reali si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, i numeri complessi si possono porre in corrispondenza biunivoca con i punti di un piano. Fissiamo sul piano un sistema di assi cartesiani di origine O. Il numero complesso a+ib è caratterizzato dalla coppia di numeri reali (a;b).Sia P il punto del piano di ascissa a e di ordinata b, conveniamo di rappresentare il numero complesso con il punto P. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi

P M Q O a b x y Il punto P costituisce l’immagine geometrica del numero complesso dato,e viceversa,ad ogni punto del piano corrisponde un numero complesso avente per parte reale l’ascissa del punto P e per coefficiente della parte immaginaria l’ordinata del punto P. Piano di Argand -Gauss

In tal modo resta stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti P del piano e le coppie di numeri reali cioè tra i punti P del piano e i numeri complessi. Se b=0 il numero complesso si riduce ad a che è reale e il punto P viene a trovarsi sull’asse x,che si dice perciò asse reale. Se a=0 si ha il numero immaginario e il punto P viene a trovarsi sull’asse y, che si chiama asse immaginario. L’origine O è l’immagine dello zero complesso

Il piano considerato come luogo dei punti immagini geometriche dei numeri complessi si dice piano di Argand-Gauss. OSS. In tale piano: due numeri complessi coniugati hanno per rispettive immagini due punti simmetrici rispetto all’asse reale (asse x ); due numeri opposti invece sono rappresentati da punti simmetrici rispetto all’origine O degli assi.

Al numero complesso a+ib possiamo associare il punto P del piano di Argand-Gauss di coordinate (a,b),ma il punto P individua il vettore OP, quindi possiamo dire che al numero complesso a+ib corrisponde il vettore avente a come sua componente secondo l’asse x e b come componente secondo l’asse y.

Viceversa,in un piano 0xy,ogni vettore può rappresentarsi con un numero complesso avente per parte reale e per coefficiente dell’immaginario le componenti del vettore rispettivamente secondo l’asse x e l’asse y. Esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i vettori del piano.

Forma trigonometrica dei numeri complessi Definizione Operazioni

P M Q O a b x y Forma trigonometrica dei numeri complessi Sia OP il vettore corrispondente al numero complesso a+ib e sia  il modulo del vettore,  l’angolo che il vettore forma con la direzione posi- tiva dell’asse x.  

Dal triangolo rettangolo OQP si ha: da cui e (1) I due numeri e si dicono rispettivamente modulo ed argomento del numero complesso ; si suol dire che a+ib è la forma algebrica del numero complesso,numero che si può mettere sotto la forma trigonometrica :

 è positivo (ed è nullo solo se a=b=0 ) mentre l’argomento è determinato a meno di un multiplo intero di (o di 360°) Se  è un angolo notevole,il suo valore può essere immediatamente ricavato dalle (1); altrimenti, sempre dalle (1) e per si deduce e,con una calcolatrice si determina arctg. Si ottiene così un angolo positivo del primo quadrante o un angolo negativo del quarto quadrante

Se a>0,ossia,poiché è un angolo del primo o quarto quadrante,si può assumere Se a<0,ossia, è un angolo del secondo o terzo quadrante e si assumerà quindi

Riassumendo si avrà:

I numeri reali hanno per argomento 0 o a secondo che siano positivi o negativi. Invece i numeri immaginari hanno per argomento oppure,secondo che il coefficiente di i sia positivo o negativo.

Operazioni con i numeri complessi in forma trigonometrica Prodotto Quoziente Potenza Radici n-esime

Siano dati due numeri complessi Eseguiamo il prodotto: Prodotto di due numeri complessi sotto forma trigonometrica

Possiamo quindi concludere che : il prodotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma degli argomenti Siano Z 1 =2(cos30°+isen30°), z 2 =3(cos15°+isen15°) due numeri complessi in forma trigonometrica, il loro prodotto è : z 1* z 2 =6(cos(30°+15°)+isen(30°+15°))= =6(cos45°+isen45°) Esempio

Procediamo analogamente per calcolare il quoziente: Quoziente di due numeri complessi sotto forma trigonometrica

Possiamo concludere che:il quoziente di due numeri complessi ha come modulo il quoziente dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti. Siano Z 1 =2(cos30°+isen30°), z 2 =3(cos15°+isen15°) due numeri complessi in forma trigonometrica, il loro quoziente è : = (cos(30°-15°)+isen(30°-15°))= = (cos15°+isen15°) Esempio

Potenza di un numero complesso Consideriamo un numero complesso posto in forma trigonometrica: vogliamo calcolare : basterà applicare la regola del prodotto di due numeri complessi per avere: che è la cosiddetta Formula di De Moivre

Sia dato il numero complesso in forma trigonometrica z 1 =2(cos25°+isen25°) la sua potenza quarta è: z 4 =2 4 (cos(4 · 25°)+isen(4 · 25°))= =16(cos100°+isen100°) Esempio

Radici _ dei numeri complessi Risolviamo ora il problema inverso del precedente:dato un numero complesso,in forma trigonometrica,vogliamo trovare i numeri che sono le radici di,tali cioè che sia dove n è un numero intero positivo. Dimostreremo che: nel campo dei numeri complessi l’estrazione di radice è un operazione sempre possibile ed inoltre ogni numero complesso ammette n radici diverse.

Dato il numero complesso cerchiamo di determinare le sue radici che indicheremo Per definizione risulta. Perché questa eguaglianza sia soddisfatta deve essere: da cui

La radice n-esima di è ovviamente intesa in R ed ha quindi un unico valore positivo o nullo; per ottenere n radici diverse,possiamo assegnare a k ad esempio i valori 0,1,2,…,(n-1). Concludendo si ha : = dove k assume i valori 0,1,2,…,(n-1).

Forma esponenziale dei numeri complessi Definizione Operazioni

I numeri complessi si possono anche rappresentare in forma esponenziale.Se si pone per definizione (1) allora si ha, per un generico numero complesso La (1) è detta formula di Eulero e definisce la potenza ad esponente immaginario del numero e=2,7182… (numero di Nepero). Forma esponenziale dei numeri complessi

Mostriamo che per le potenze ad esponente immaginario restano valide le proprietà formali delle potenze ad esponente reale. 1)Qualunque sia  R, è sempre diverso da zero. Infatti se fosse =0 per qualche valore di dovrebbe essere, per la (1), cioè il che è impossibile.

2) Infatti il secondo membro della (1) rappresenta un numero complesso in forma trigonometrica di modulo unitario e quindi ricordando come si esegue il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica si ha forma trigonometrica si ha

3) 4) 5) infatti

E’ evidente a questo punto come si possa operare con i numeri complessi dati in forma esponenziale. Siano ; allora si ha Operazioni con i numeri complessi in forma esponenziale

Dato poi il numero complesso si ha pure ; con

Forma polare dei numeri complessi Definizione Operazioni

P M Q O a b x y Forma polare dei numeri complessi  Un punto del piano può essere identificato oltre che con le sue coordinate cartesiane anche con le sue coordinate polari,defi- nendo come modulo del punto la sua distanza dall’origine e come suo argomento l’angolo che esso forma con l’asse x.

Abbiamo che :,, quindi il punto P ha coordinate cartesiane (x;y) e coordinate polari ( ). Un numero complesso viene individuato tramite le coordinate polari del punto P sua immagine nel piano di Gauss,e scriveremo: 

Pertanto e sono le formule che ci permettono di passare dalla forma polare di un numero complesso a quella algebrica. Viceversa per passare dalla forma algebrica a quella polare useremo le formule:

La moltiplicazione e la divisione sono generalmente meno complicate quando si usa la forma polare. In generale si ha:   =  ; Dati i due numeri complessi in forma polare °, ° il loro prodotto è: ° il loro quoziente è: ° Prodotto e quoziente in forma polare

Algebra Fisica Elettrotecnica Elettronica

I numeri complessi si incontrano nella risoluzione di equazioni algebriche;in particolare i numeri complessi coniugati si presentano come soluzioni di un’equazione algebrica di secondo grado a coefficienti reali,avente il discriminante negativo.

Si consideri l’equazione generica di secondo grado : ax 2 +bx+c=0 essa, moltiplicando ambo i membri per 4a ed aggiungendo ad ambo i membri b 2, può scriversi nella forma equivalente : (2ax+b) 2 =b 2 -4ac nell’insieme dei numeri reali si poteva procedere solo nei casi in cui il termine b 2 -4ac detto discriminante dell’equazione ed indicato con la lettera (delta) era maggiore o uguale a zero.

Nella formula risolutiva di un’equazione di secondo grado compare il delta sotto radice per cui non esistendo nel campo reale la radice quadrata di un numero negativo non era possibile trovare la soluzione. Nel campo dei numeri complessi come sappiamo esiste sempre la radice di un numero negativo,per cui un’equazione di secondo grado risulta sempre risolvibile in C.

Data l’equazione: x 2 +x+1=0,essa non ha radici reali essendo =-3<0. Applicando la formula risolutiva si ha: Come si può osservare le due soluzioni sono due numeri complessi coniugati. Esempio

Come sappiamo esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i vettori del piano,nel senso che ogni numero complesso a+ib individua nel piano un vettore di componenti (a;b) e viceversa ogni vettore individua un numero complesso a+ib. Se consideriamo allora due numeri complessi non nulli: z 1 =a+ib e z 2 =c+id indicati con P 1 (a;b) P 2 (c;d) i loro punti immagine nel piano di Gauss, OP 1 e OP 2 sono i rispettivi vettori rappresentativi.

Se calcoliamo la somma dei due vettori si ha: OP= OP 1 +OP 2 l ’ estremo P del vettore OP,ha coordinate (a+a ; b+b ’ ). Al vettore OP corrisponder à allora il numero complesso: z=z 1 +z 2 =(a+a ’ )+(b+b ’ )i b O a ’ a a+a ’ x O a’ a a+a’ x y b+b’ b’ b P

Al vettore v,somma dei due vettori v 1 e v 2,corrisponde il numero complesso z somma dei due numeri complessi z 1 e z 2 corrispondenti rispettivamente ai vettori v 1 e v 2. Analogamente al vettore d, differenza di due vettori v 1 e v 2,corrisponde il numero complesso differenza dei numeri complessi corrispondenti rispettivamente a v 1 e v 2. Risulta: d= v 1 - v 2= v 1 +(- v 2 ) cioè la differenza si riconduce al caso della somma

Quando si considera un circuito R-L in serie essendo un resistore ed un induttore collegati in serie essi sono attraversati dalla stessa corrente I; la tensione V è data dalla somma V=V L +V R dove V R =RI ; V L = e quindi V=V R +V L =I(R+ )

IL numero complesso R+ è un nuovo operatore vettoriale:viene detto impedenza, si misura in ohm e si indica con Z. Z=R+ = R+ X L L ’ espressione che lega la tensione e la corrente diventa: Oss. Il numero complesso che esprime l ’ impedenza ha un significato diverso dai numeri complessi che rappresentano I e V:esso non rappresenta una sinusoide (l ’ impedenza è costante nel tempo e non ha alcun andamento sinusoidale), ma costituisce un operatore vettoriale che,moltiplicato per la corrente I, permette di ottenere la corrispondente tensione V.

L’impedenza, oltre che da un numero complesso, può essere rappresentata da un vettore di componenti R e,avente come modulo : e fase : Quando si utilizza la notazione polare, il prodotto si sviluppa attraverso le seguenti operazioni: 1)modulo: 2) fase:

I numeri complessi vengono utilizzati nella rappresentazione grafica delle funzioni di trasferimento. La rappresentazione grafica dell ’ analisi del dominio della frequenza viene fatta mediante particolari diagrammi tra i quali i più usati sono quelli di Bode e Nyquist. Essi costituiscono, inoltre dei procedimenti grafici per l ’ analisi della stabilità dei sistemi che vengono studiati in maniera approfondita nell ’ Elettronica Industriale.

Sono dei diagrammi cartesiani che permettono di rappresentare rapidamente, anche se in modo approssimato, l ’ andamento del modulo e della fase della f.d.t. al variare della pulsazione tra zero ed infinito. L ’ asse delle ascisse è tarato in scala logaritmica in modo da poter facilmente rappresentare molte decadi di variazione di. L ’ asse delle ordinate del diagramma del modulo è tarato in decibel, dove, per definizione,il numero di decibel corrispondente ad una data f.d.t. è: n dB =20Log L ’ asse delle ordinate del diagramma delle fasi è tarato in gradi. Diagrammi di Bode

L ’ uso della scala logaritmica permette di tracciare i diagrammi di Bode di funzioni di ordine elevato mediante la somma di diagrammi parziali di f.d.t. elementari. Descriviamo alcuni procedimenti per tracciamento dei diagrammi di Bode delle f.d.t. fondamentali: a)La funzione di trasferimento è una costante reale positiva non nulla. Si ha: da cui = Un numero reale si può interpretare come un numero complesso avente parte immaginaria nulla,per cui: = +j0

b) la f.d.t. è caratterizzata da un polo nell ’ origine : = da cui = Un numero immaginario puro si può interpretare come un numero complesso avente parte reale nulla. Si ha: =

c)La f.d.t. è caratterizzata da uno zero nell ’ origine : = s da cui = per cui si opera come nel caso precedente. d)La f.d.t. è caratterizzata da un polo reale: ; il polo è

A O a b ImIm ReRe Il numero complesso A=a+jb è rappresentato nel piano di Gauss dal vettore OA dove :a è la parte reale del numero complesso; b è il coefficiente della parte immaginaria del numero complesso. Diagrammi di Nyquist

Il vettore OA,oltre che nella forma rettangolare a+jb, può essere espresso nella forma polare: dove è il modulo; è la fase misurata in senso antiorario. La f.d.t di un sistema è un numero complesso e quindi, per ogni valore di, individua nel piano di Gauss un vettore. Si chiama diagramma polare o di Nyquist il luogo dei punti descritti dagli estremi del vettore al variare di da zero ad infinito.

Per tracciare il diagramma di Nyquist d’una data è necessario determinare il modulo M e la fase della f.d.t. per un numero sufficiente di valori di compresi tra 0 ed infinito e successivamente congiungere gli estremi dei vettori. Spesso è possibile tracciare il luogo di Nyquist in modo qualitativo determinando il comportamento di per e.