IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

INDICE ARGOMENTI PIANO CARTESIANO DISTANZA TRA DUE PUNTI PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO LA RETTA GRAFICO DI UNA RETTA RETTE PARTICOLARI COEFFICIENTE ANGOLARE APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI FASCI DI RETTE RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI INTERSEZIONE TRA RETTE DISTANZA PUNTO RETTA

IL PIANO CARTESIANO Asse delle y o asse delle ordinate I QUADRANTE II QUADRANTE O= origine Asse delle x o asse delle ascisse IV QUADRANTE III QUADRANTE IL PIANO è SUDDIVISO IN 4 QUADRANTI NUMERATI IN SENSO ANTIORARIO

PUNTI SUL PIANO CARTESIANO E’ POSSIBILE DEFINIRE LA POSIZIONE DI UN PUNTO SUL PIANO CARTESIANO FORNENDO LE SUE COORDINATE P(x,y) DOVE IL PRIMO NUMERO RAPPRESENTA L’ASCISSA ED IL SECONDO L’ORDINATA Ordinate y P(x,y) y Ascisse x SI DICE CHE ESISTE UNA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA COPPIE ORDINATE DI NUMERI REALI X,Y E PUNTI SUL PIANO CARTESIANO x

DISTANZA TRA DUE PUNTI DATE LE COORDINATE DI DUE PUNTI A(XA, YA) E B (XB,YB) SI VUOLE TROVARE LA DISTANZA TRA QUESTI Y B YB-YA A CI VIENE IN AIUTO IL TEOREMA DI PITAGORA SE FACCIAMO RIFERIMENTO ALLA FIGURA SULLA DESTRA SI VEDE COME LA DISTANZA AB SIA L’IPOTENUSA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO ED I DUE CATETI SIANO FACILMENTE RICAVABILI UTILIZZANDO LE COORDINATE DEI PUNTI XB-XA X

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO TUTTI GLI STUDENTI SANNO COME CALCOLARE LA MEDIA DEI LORO VOTI. SE LE VALUTAZIONI DELLO STUDENTE FILIPPO SONO 4 E 8 IN MATEMATICA, LA SUA MEDIA SARA’ (4+8 )/2 =6 ALLO STESSO MODO E’ POSSIBILE CALCOLARE LE COORDINATE DEL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO CONOSCENDO LE COORDINATE DEGLI ESTREMI P E P

LA RETTA ax+by+c = 0 y = m x + q 4x+y-5 = 0 y = -4x + 5 FORMA IMPLICITA FORMA ESPLICITA ax+by+c = 0 y = m x + q 4x+y-5 = 0 y = -4x + 5 E’ EVIDENTE CHE L’EQUAZIONE DI UNA RETTA E’ SEMPRE UN’EQUAZIONE DI PRIMO GRADO O LINEARE

COME TRACCIARE IL GRAFICO DI UNA RETTA Se dobbiamo disegnare la retta y = 3 x+ 5, dobbiamo trovare 2 punti che le appartengono. Il procedimento più semplice consiste nel compilare una tabella X y 5 1 8 Se diamo il valore x=0, sostituiamo x=0 nell’equazione della retta e otteniamo y=5 e quindi troviamo il punto A( 0, 5) Se diamo il valore x=1 e lo sostituiamo nell’equazione della retta otteniamo y=8 quindi troviamo il punto B( 1, 8). Possiamo ora tracciare il grafico

COME TRACCIARE IL GRAFICO DI UNA RETTA y A(0,5) . . B(1,8) x

RETTE PARTICOLARI y = mx retta passante per O y = x bisettrice I° e III° Quadrante y = -x bisettrice II° e IV° Quadrante

RETTE PARTICOLARI y = k con K numero reale Retta orizzontale x = k con k numero reale Retta verticale y = 0 corrisponde all’asse delle x ascisse x = 0 corrisponde all’asse delle y ordinate

APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA In alcuni problemi viene chiesto di verificare se un punto P appartiene ad una retta ovvero se la retta passa per il punto. La richiesta può essere risolta in modo semplice E’ sufficiente inserire nell’equazione della retta le coordinate del punto, l’ascissa al posto della x e l’ordinata al posto della y. Se l’equazione è verificata allora è possibile concludere che il punto appartiene alla retta. ESEMPIO Data la retta di equazione 5x -2y -9 = 0 verificare se il punto P(1,-2) appartiene alla retta. Sostituiamo le coordinate del punto nell’equazione della retta: 5 ∙1 -2 ∙(-2) +4 = 0 ??? L’equazione è verificata per cui concludiamo che il punto appartiene alla retta.

IL COEFFICIENTE ANGOLARE Il coefficiente angolare m esprime la pendenza della retta Se m >0 la retta è crescente Se m < 0 la retta è decrescente Se m = 0 la retta non ha pendenza cioè è orizzontale

COME DETERMINARE IL COEFFICIENTE ANGOLARE CONOSCO L’EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA GENERALE ax +by +c = 0 CONOSCO L’EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA GENERALE ax +by +c = 0 CONOSCO LE COORDINATE DI DUE PUNTI PER I QUALI PASSA LA RETTA A( XA, YA) B (XB , YB) m = - a/b SCRIVO LA RETTA IN FORMA ESPLICITA m è il coefficiente della x quando la retta è scritta in forma esplicita y = mx +q APPROFONDIMENTO

APPROFONDIMENTO B y B –y A Vogliamo determinare la pendenza di una retta conoscendo le coordinate di due punti di essa A e B. Per fissare le idee supponiamo di percorrer con la bicicletta una strada in salita da A a B. Quando ci muoviamo da un punto all’altro in realtà compiamo due movimenti: Uno in verticale y B –y A Uno in orizzontale x B – x A Il rapporto tra i due spostamenti ci fornisce la pendenza della strada ovvero la pendenza(coefficiente angolare della retta) A x B – x A

RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI E’ noto che per due punti assegnati passi una ed una sola retta Conoscendo le coordinate di due punti A(x A, y A) e B (x B, y B) è possibile scrivere l’equazione della retta passante per essi Esempio Trovare l’equazione della retta passante per A(3,5) B(1,2)

CONDIZIONE DI PARALLELISMO E DI PERPENDICOLARITA’ TRA RETTE HANNO LA STESSA PENDENZA E PERTANTO m1 = m2 CONDIZIONE DI PARALLELISMO RETTE PARALLELE RETTE PERPENDICOLARI FORMANO 4 ANGOLI DI 90° m1 ∙ m2 = -1 CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITA’ PER LA DIMOSTRAZIONE DELLA CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITA’ SI RICORRE AL 2° TEOREMA DI EUCLIDE ESERCIZI APPROFONDIMENTO TEOREMI EUCLIDE

PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE IN UN TRIANGOLO RETTANGOLO ABC RETTO IN A IL QUADRATO COSTRUITO SULL’IPOTENUSA E’ EQUIVALENTE AL RETTANGOLO CHE HA PER DIMENSIONI L’IPOTENUSA E LA PROIEZIONE DEL CATETO SULL’IPOTENUSA IN FORMULA AB 2 = BC ∙HB SECONDO TEOREMA EUCLIDE

SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE IN UN TRIANGOLO RETTANGOLO IL QUADRTAO COSTRUITO SULL’ALTEZZA RELATIVA ALL’IPOTENUSA E’ EQUIVALENTE AL RETTANGOLO AVENTE PER DIMENSIONI LE PROIEZIONI DEI CATETI SULL’IPOTENUSA IN FORMULA AH 2 = CH ∙HB

COME DIMOSTRARE LA CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITA’ Si prendano due rette perpendicolari passanti per l’origine Y= m1x e y= m2x Si tracci il triangolo rettangolo AOB nel quale il punto A ha coordinate (1, m1) e B(1, -m2). L’altezza OH =1 Per il secondo teorema di Euclide: OH 2 = HB ∙HA 1 2 = m1 ∙ m2 1 = m1 ∙ m2 però m2 è negativo per cui m1 ∙ m2= -1

ESERCIZI Consideriamo le rette y = 3x + 4 e y = 3x + 2 Poiché i coefficienti angolari sono m1 = 3 e m2 = 3 possiamo concludere che sono rette parallele in quanto posseggono lo stesso coefficiente angolare m. Consideriamo le rette y = 3x + 3 e y = -1/3 x + 3 Poiché i coefficienti angolari sono m1 = 3 e m2 = -1/3 possiamo concludere che sono rette perpendicolari in quanto il coefficienti angolare del secondo è l’antireciproco del primo , ovvero il prodotto dei due coefficienti angolari m1∙ m2 = -1 Assegnate le rette di equazione 3x -2y +1 = 0 e 2x + 3y -5 = 0 determinare se esse sono perpendicolari o parallele Calcoliamo i coefficienti angolari delle due rette

FASCI DI RETTE Con il termine fascio di rette intendiamo non una singola retta ma un insieme infinito di esse La figura a lato rappresenta un FASCIO PROPRIO di rette cioè ‘insieme di tutte le infinite rette passanti per un punto Il punto C viene detto CENTRO DEL FASCIO C E’ possibile scrivere l’equazione del fascio di rette conoscendo le coordinate del centro del fascio Scriviamo per esempio l’equazione del fascio di rette passante per un punto di coordinate (3,-5) E’ FACILE RICONOSCERE IN TALE EQUAZIONE NON QUELLA DI UNA SINGOLA RETTA, MA QUELLA DI “ TANTE” RETTE AVENDO LASCIATO m, L COEFFICIENTE ANGOLARE, IN FORMA LETTERALE CIOE’ GENERICA

ANCORA FASCI DI RETTE Esistono anche i FASCI IMPROPRI DI RETTE Sono costituiti dall’insieme delle retta parallele ad una retta assegnata che funge da GENERATRICE. Se la retta generatrice ha equazione y = 3x -5 Il fascio di rette improprio avrà equazione y= 3x +q trattandosi di tante rette parallele a quella assegnata(e quindi con identico coefficiente angolare) ma semplicemente traslate verso l’alto o il basso a seconda del valore assunto dal termine noto q

ESERCIZI SUL FASCIO DI RETTE 1.Trovare l’equazione della retta passante per P (3,5) parallela alla retta y-5x = 0 Poiché si cerca una retta parallela a y -5x = 0 occorrerà calcolarne il coefficiente angolare Scrivendola in forma esplicita y = 5x quindi m = 5 Sostituendo il valore 5 nel fascio si otterrà: y-5 = 5(x-3) y-5 = 5x – 15 in forma generale y- 5 -5x +15 = 0 e infine y -5x +10 = 0

ESERCIZI SUL FASCIO DI RETTE 2.Trovare l’equazione della retta passante per P (2,5) perpendicolare alla retta y + 3x -7 = 0 Poiché si cerca una retta parallela a y +3x-7 = 0 occorrerà calcolarne il coefficiente angolare Scrivendola in forma esplicita y = -3x+7 quindi m = -3 Sostituendo il valore 1/3 nel fascio si otterrà:

INTERSEZIONE TRA RETTE Per trovare l'intersezione di due rette nel piano, una volta nota la loro equazione, per prima cosa dobbiamo assicurarci che non siano parallele.  Troveremo quindi, dapprima, il loro coefficiente angolare. Se è diverso le due rette non sono parallele e quindi, necessariamente, saranno due rette incidenti le quali si incontreranno in un punto. Per trovare le coordinate cartesiane del punto di intersezione ci basta trovare la soluzione del sistema lineare formato dall'equazione delle due rette Ora ci proponiamo di trovare il punto di intersezione tra le due rette: 2x + y – 3 = 0 e x-y = 0 Le due rette non sono parallele poiché i due coefficienti angolari sono rispettivamente m1 = -2 e m2 = 1 Per trovare le coordinate del punto di intersezione dobbiamo quindi impostare un sistema lineare

DISTANZA PUNTO -RETTA In matematica e più precisamente in geometria analitica la distanza di un punto P da una retta r è definita come la minima distanza fra P ed un punto Q di r Sia P ( x0 , y0 ) e sia r la retta di equazione implicita ax + by + c = 0. Indico con H il piede della perpendicolare condotta da P ad r. La distanza PH = d è data dalla seguente formula

DISTANZA PUNTO-RETTA Calcolare la distanza tra il punto A(-3;5) e la retta di equazione 2x - y + 4 = 0 L'equazione è scritta in forma implicita; basta sostituire i dati nella formula: x0 = -3 ,  y0 = 5 ,   a = 2 ,   b = -1 ,  c = 4