Luogo geometrico: Asse di un segmento, Bisettrice di un angolo, Circonferenza

Luogo geometrico In geometria esistono delle figure formati da punti che soddisfano a delle particolari condizioni. Queste figure costituiscono dei luoghi geometrici. Pertanto: Definizione: un luogo geometrico è un insieme di punti che soddisfano tutti ad una stessa particolare proprietà.

Definizione: Il luogo geometrico è un insieme di punti che soddisfano tutti ad una stessa particolare proprietà. Ovvero: Il luogo geometrico è un insieme di punti che verificano le seguenti condizioni: 1) ogni punto del luogo geometrico verifica una certa proprietà; 2) ogni punto che verifica la proprietà appartiene al luogo geometrico

Esempi di luoghi geometrici: Asse di un segmento; Bisettrice di un angolo; Circonferenza. Adesso verranno esaminati singolarmente i tre luoghi geometrici

Asse di un segmento Si consideri il segmento s=[AB] Sul segmento, s=[AB], si individua il suo punto medio, C. Nel file “Asse di un segmento” è descritto il metodo per individuare, mediante riga e compasso, il punto medio e l’asse di un segmento.

Per il punto medio C del segmento [AB] si tracci la perpendicolare, r, al segmento, s. La retta perpendicolare, r, è l’asse del segmento [AB]. Quindi: Definizione: L’asse di un segmento, s=[AB], è la retta, r, perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio, C.

Come luogo geometrico l’asse di un segmento è (teorema) il luogo dei punti che sono equidistanti dagli estremi del segmento. Tenendo presente le caratteristiche di un luogo geometrico, per verificare la precedente affermazione è necessario dimostrare i seguenti teoremi:

Teorema 1: Ogni punto dell’asse (luogo geometrico) è equidistante (proprietà) dagli estremi del segmento: Siano dati il segmento [AB], il suo asse, r, ed un punto D appartenente all’asse. Ipotesi: 1) La retta r è perpendicolare al segmento [AB] (per definizione di asse di un segmento); 2) C punto medio del segmento [AB]; 3) Il punto D appartiene alla retta r. Tesi: Il punto D è equidistante dagli estremi A e B, ovvero [DA]  [DB]

Teorema 1: Ogni punto dell’asse è equidistante dagli estremi del segmento: Dimostrazione: Si prendono in considerazione i due triangoli [ACD] e [BCD]. Si osserva che: 1) I due triangoli sono rettangoli, perché la retta r è perpendicolare al segmento [AB] (ipotesi a). Quindi gli angoli in C sono entrambi retti. 2) I segmenti [AC] e [CB] sono congruenti per l’ipotesi b). Quindi [AC]  [CB]. 3) Il segmento [DC] è comune ai due triangoli.

Teorema 1: Ogni punto dell’asse è equidistante dagli estremi del segmento: Pertanto i due triangoli hanno di congruente due lati e l’angolo retto compreso tra di essi, quindi i due triangoli, [ACD] e [BCD], sono congruenti. Di conseguenza hanno di congruente tutti gli altri elementi (gli angoli in A e B, i due angoli in D e i due segmenti [AD] e [BD]); in particolare avranno di congruente i due segmenti: [DA]  [DB]. Questa affermazione coincide con ciò che si voleva dimostrare, per cui la dimostrazione è terminata. Questa dimostrazione corrisponde alla prima condizione a cui devono verificare i punti di un luogo geometrico

Questa dimostrazione corrisponde alla prima condizione a cui devono soddisfare i punti di un luogo geometrico (ogni punto del luogo geometrico verifica una certa proprietà; in questo caso la proprietà è la equidistanza.) La seconda condizione della definizione di luogo geometrico (ogni punto che verifica la proprietà appartiene al luogo geometrico) è fornita dal seguente teorema.

Teorema 2: Un punto equidistante (proprietà) dagli estremi di un segmento appartiene all’asse del segmento (luogo geometrico). Ipotesi: Il punto D è equidistante dagli estremi del segmento [AB], ovvero [DA] = [DB]. Tesi: Il punto D appartiene all’asse r, ovvero la retta r è perpendicolare al segmento [AB] e passa per il punto medio, C, del segmento.

Dimostrazione: Si prende un punto D equidistante dagli estremi del segmento [AB]. Si congiunge il punto D con gli estremi A e B e si forma il triangolo isoscele [ADB] (equidistanza di D da A e B: [AD]=[BD]). Si traccia la retta r passante per il punto medio C del segmento [AB], ovvero si congiunge il punto D con il punto C. Nel triangolo isoscele [ADB], il segmento [DC], per costruzione, è la mediana relativa alla base [AB]. Però, in un triangolo isoscele la mediana coincide con la bisettrice dell’angolo in D ed con l’altezza relativa alla base [AB]. Pertanto punto D appartiene all’altezza [DC] e quindi appartiene alla perpendicolare che passa per il punto medio della base [AB], ovvero all’asse del segmento [AB]. Pertanto il teorema è dimostrato.

Bisettrice di un angolo Nella figura è disegnato l’angolo convesso α con vertice in V e con lati le semirette r e s.

Bisettrice di un angolo Definizione di bisettrice di un angolo. La bisettrice di un angolo è la semiretta, t, che passa per il vertice, V, dell’angolo e che lo divide in due angoli, β e γ, congruenti.

La bisettrice, come luogo geometrico, viene definita nel seguente modo: La bisettrice è il luogo geometrico dei punti che sono equidistanti dai lati dell’angolo. Anche per la definizione di bisettrice si distinguono due casi, che si traducono in due teoremi.

Teorema 1: Ogni punto della bisettrice (luogo geometrico) di un angolo è equidistante (proprietà) dai lati dell’angolo. Sia D un generico punto della bisettrice, t. Il segmento [DF], perpendicolare al lato r dell’angolo α, è la distanza del punto D al lato r dell’angolo α. Il segmento [DE], perpendicolare al lato s dell’angolo α, è la distanza del punto D al lato s dell’angolo α.

Teorema 1: Ogni punto della bisettrice (luogo geometrico) di un angolo è equidistante (proprietà) dai lati dell’angolo. Verificare che il punto D è equidistante, cioè [DF]=[DE], dai lati r e s dell’angolo α risulta abbastanza semplice.

Teorema 1: Ogni punto della bisettrice (luogo geometrico) di un angolo è equidistante (proprietà) dai lati dell’angolo. Ipotesi: β=γ (bisettrice) [DE] perpendicolare (distanza) ad s; [DF] perpendicolare ad r. Tesi: Le distanze del punto D dai lati r ed s dell’angolo α sono congruenti: [DE]=[DF]

Teorema 1: Ogni punto della bisettrice (luogo geometrico) di un angolo è equidistante (proprietà) dai lati dell’angolo. Dimostrazione: Si considerano i triangoli [EVD] e [FVD]. 1) Sono entrambi rettangoli (δ=ε=90°); 2)Gli angoli β e γ sono congruenti (β=γ) per l’ipotesi 1. 3) Poiché in ogni triangolo la somma degli angoli interni vale un angolo piatto; inoltre dal momento che i due triangoli hanno due angoli congruenti (δ=ε e β=γ) allora anche i due restanti angoli in D risultano congruenti.

Teorema 1: Ogni punto della bisettrice (luogo geometrico) di un angolo è equidistante (proprietà) dai lati dell’angolo. 4) Il lato [VD] risulta in comune. 5) Pertanto i due triangoli hanno tre angoli congruenti ed un lato in comune, per cui essi sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Quindi i due triangoli ([VDE] e [ADF]) hanno di uguale tutti gli altri elementi. In particolare risulta che i segmenti [DE] e [DF] sono congruenti, per cui il punto D ha la stessa distanza dai lati s ed r.

Teorema 2: Ogni punto del piano equidistante (proprietà) dai lati di un angolo appartiene alla bisettrice (luogo geometrico). Ipotesi: Il punto D è equidistante dai lati r ed s dell’angolo α, cioè [DF]=[DE]; I segmenti [DE] e [DF] sono perpendicolari, rispettivamente, ad r ed s. Tesi: Il punto D appartiene alla bisettrice, t. (Si omette la dimostrazione)

Nel file bisettrice è riportata la costruzione, mediante riga e compasso, della bisettrice di un angolo. La costruzione è stata effettuata utilizzando il GeoGebra.

Circonferenza La circonferenza, al pari dell’asse di un segmento e della bisettrice di un angolo, costituisce un luogo geometrico. La circonferenza, come luogo geometrico, è definita come l’insieme di punti del piano che hanno che hanno tutti la stessa distanza da un punto assegnato, chiamato centro. Il segmento che per estremi un punto della circonferenza ed il suo centro è chiamato raggio.

I punti C, D, G, E, F, H hanno tutti la stessa distanza, rispettivamente a, b, d, e, f, g, da un punto prefissato, O. a = b = d = e = f = g

L’insieme di tutti i punti equidistanti dal punto prefissato, O, costituisce la circonferenza, come è rappresentato in figura. Il segmento, R=[OA], che ha per estremi il centro, O, della circonferenza ed un suo punto, ad esempio il punto A, è il raggio della circonferenza.

La parte di piano costituita dai punti della circonferenza e dai quelli interni alla circonferenza si chiama cerchio.

Disegno circonferenza Quanti punti sono necessari per disegnare una circonferenza? Risposta: Sono sufficienti tre punti non allineati, cioè che non appartengono alla stessa retta.

Circonferenza per tre punti Dati tre punti non allineati come si individua la circonferenza? Adesso verrà illustrato il metodo per individuare il centro ed il raggio della circonferenza.

Su di un piano sono disegnati tre punti, A, B e C, non allineati, cioè non appartengono alla stessa retta..

Si disegnano i due segmenti: a=[AB] b=[BC]

Si disegna l’asse, c, del segmento a=[AB]. Come detto in precedenza, ogni punto dell’asse, c, è equidistante dagli estremi del segmento [AB].

Si disegna l’asse, d, del segmento b=[CB]. Ogni punto dell’asse, d, è equidistante dagli estremi del segmento [CB].

I due assi, c e d, si intersecano nel punto O.

Il punto O, poiché appartiene all’asse c, è equidistante dagli estremi del segmento [AB] (definizione di asse di un segmento). Quindi: e=[OA]=[OB]=f

Il punto O, poiché appartiene all’asse d, è equidistante dagli estremi del segmento [CB] (definizione di asse di un segmento). Quindi: g=[OC]=[OB]=f

e=[OA]=[OB]=f=[OC]=g Unendo i due risultati precedenti e=[OA]=[OB]=f=[OC]=g si ha che il punto O,intersezione degli assi c e d, risulta equidistante dai tre punti non allineati A, B, e C. Quindi …

Quindi puntando il compasso nel punto O e apertura (raggio) pari alla lunghezza di uno dei tre segmenti, e, f , g, si traccia la circonferenza h.

Elementi di una circonferenza O: centro della circonferenza Il raggio, R, di una circonferenza è qualsiasi segmento che congiunge il centro della circonferenza con un suo punto. La corda è un segmento che congiunge due punti di una circonferenza. Nella figura è il segmento a=[AB]. Corda

[AB]<[OA]+[OB]  [AB]<R+R  [AB]< 2·R  [AB]< d Per rispondere alla domanda, si individua una corda, a=[AB], e si congiungono i suoi estremi, A e B, con il centro, O, della circonferenza. In questo modo si individua il triangolo [AOB]. Questi è un triangolo isoscele poiché il centro O è equidistante da A e B: [OA]=[OB]=R raggio. Poiché in ogni triangolo un lato, in questo caso la corda [AB], ha una lunghezza che è sempre inferiore alla somma delle lunghezze degli altri due lati, [OA] e [OB], si ha [AB]<[OA]+[OB]  [AB]<R+R  [AB]< 2·R  [AB]< d

Corda Se dal centro della circonferenza si conduce la perpendicolare alla corda [AB], allora il punto H è il punto medio del segmento [AB]. La giustificazione di tale affermazione è semplice: basta tener conto delle proprietà di un triangolo isoscele. In un triangolo isoscele, [AOB], la perpendicolare, [OH], alla base - corda, [AB], è anche bisettrice e mediana. Quindi H è il punto medio della corda [AB]. Il segmento [OH] è chiamata distanza della corda [AB] dal centro della circonferenza, O.

In una stessa circonferenza, o in circonferenze congruenti, due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro della circonferenza. Se [AB][CE] allora [OF][OH] L’affermazione precedente può essere invertita: In una circonferenza se due corde, [AB] e [BC], che hanno uguali distanze dal centro, [OF][OH], allora le due corde sono congruenti, [AB][CE].

Arco di una circonferenza Un arco è ciascuna delle due parti in cui viene divisa una circonferenza quando su di essa vengono presi due suoi punti. Nella figura, il primo arco è la parte, k; il secondo arco è la parte restante della circonferenza. Secondo arco Primo arco

Arco e corda I punti D e F sono gli estremi dei due archi (FID) e (FED). Gli estremi dei due archi sono anche estremi della corda [DF]. Allora si dice che la corda [DF] sottende i due archi (FID) e (FED).

Elementi di una circonferenza L’arco compreso tra gli estremi di un diametro, d, si chiama semicirconferenza, q. La parte di piano compresa tra il diametro e la semicirconferenza si chiama semicerchio. Semicirconferenza Semicerchio

Proprietà relative ad una circonferenza

Rette e circonferenze Una retta nei confronti di una circonferenza può trovarsi in tre differenti posizioni. Una retta, s, è esterna ad una circonferenza se non ha punti in comune con essa. Ulteriore modo di definire retta esterna: Una retta, s, è esterna ad una circonferenza se la sua distanza, [OD], dal centro è maggiore del raggio della circonferenza: Raggio < [OD]

Una retta, t, è tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con essa. Ulteriore modo di definire retta tangente: Una retta, t, è tangente ad una circonferenza se la sua distanza, [OD], dal centro è uguale al raggio della circonferenza: Raggio = [OD]

Una retta, w, è secante ad una circonferenza se ha due punti in comune con essa. Ulteriore modo di definire retta secante: Una retta, w, è secante ad una circonferenza se la sua distanza, [OK], dal centro è minore al raggio della circonferenza: Raggio > [OD]

Angoli al centro e alla circonferenza Per il centro, O, della circonferenza si tracciano due semirette che passano per i punti A e C. L’angolo, α=[AOC], che si viene a formare, viene chiamato angolo al centro. Quindi, un angolo al centro, α=[AOC], è un angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza. I lati dell’angolo al centro intersecano la circonferenza nei punti A e C individuando l’arco (AC). Allora si dice che l’angolo [AOC] insiste sull’arco (AC).

Per un punto appartenente alla circonferenza si tracciano due semirette secanti; una delle due semirette può essere anche tangente alla circonferenza (seconda figura.) L’angolo convesso che si viene a formare si chiama angolo alla circonferenza. Quindi l’angolo alla circonferenza è un angolo convesso avente per vertice un punto della circonferenza e i lati entrambi secanti la circonferenza oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza.

Una situazione particolare si ottiene quando, in una stessa circonferenza, un angolo al centro, α, ed un angolo alla circonferenza, β, insistono sullo stesso arco (AB). Ebbene, l’angolo al centro, α, è sempre il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza, β. Perché? α = 2·β Nella figura a fianco gli angoli alla circonferenza β, γ, e δ e l’angolo al centro α insistono tutti sullo stesso arco, (AB). Allora si verifica che: α = 2·β = 2·γ = 2·δ

Adesso si dimostrerà che l’angolo al centro, α, è il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza, β, α = 2·β Per dimostrare l’affermazione precedente, si considera u particolare angolo alla circonferenza: un lato, [BC], passa per il centro della circonferenza. Dimostrazione: 1) Nel disegnare gli angoli, si forma il triangolo [COA]; 2) Il triangolo [COA] è isoscele, perché i lati [AO] e [BO] sono uguali, essendo raggi della circonferenza; quindi gli angoli alla base, β e ε, sono uguali: β = ε 3) L’angolo al centro α è anche esterno del triangolo [COA];

4) Un teorema afferma che l’angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli non adiacenti. 5) Applicando il teorema al triangolo isoscele [COA] si ottiene: α = β + ε 6) Essendo gli angoli alla base uguali β = ε Si ottiene: α = β + ε = 2·β ed il teorema risulta dimostrato C.V.D.

Un’applicazione del teorema è riferita al caso in cui triangolo è inscritto in una semicirconferenza; cioè un lato coincide con il diametro della circonferenza. Osservando la figura si nota che l’angolo al centro, α, e l’angolo alla circonferenza, β, insistono sullo stesso arco, (AB), che è una semicirconferenza. Essendo l’angolo al centro un angolo piatto, allora l’angolo alla circonferenza, per il teorema dimostrato, è la metà di un angolo piatto, cioè è un angolo retto. Pertanto il triangolo [ACB] è un triangolo rettangolo. Generalizzando si ha che qualsiasi triangolo inscritto in una semicirconferenza è sempre un triangolo rettangolo.

Poligoni inscritti in una circonferenza Un poligono si dice che è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza. La circonferenza è circoscritta al poligono.

Una condizione affinché un poligono sia inscrivibile in una circonferenza è necessario che gli assi dei lati del poligoni si incontrino tutti in uno stesso punto. Questo è il centro della circonferenza circoscritta al poligono. Casi particolari di poligoni inscritti ad una circonferenza.

Qualsiasi triangolo, [ABC], si può inscrivere in una circonferenza Qualsiasi triangolo, [ABC], si può inscrivere in una circonferenza. Gli assi dei tre lati, a, b, d, si intersecano sempre in un punto, O. Il centro della circonferenza circoscritta si chiama circocentro.

Un qualsiasi quadrilatero si può inscrivere in una circonferenza se la somma degli angoli opposti è uguale ad un angolo piatto.

In un qualsiasi rettangolo si verifica la condizione che la somma degli angoli opposti è uguale ad un angolo piatto. Infatti tutti gli angoli interni sono retti, per cui: Pertanto tutti i rettangoli si possono inscrivere in una circonferenza, il cui centro è il punto di intersezione delle diagonali.

Poligoni circoscritti ad una circonferenza Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. La circonferenza si dice che è inscritta al poligono.

Una condizione affinché un poligono sia circoscrivibile ad una circonferenza è necessario che le bisettrici degli angoli interni si incontrino tutti in uno stesso punto. Questo è il centro della circonferenza inscritta al poligono. Casi particolari di poligoni circoscritti ad una circonferenza.

Qualsiasi triangolo, [ABC], si può circoscrivere ad una circonferenza Qualsiasi triangolo, [ABC], si può circoscrivere ad una circonferenza. Le bisettrici, j, k, i, degli angoli interni, α, β, γ, si intersecano sempre in un punto, O. Il centro della circonferenza inscritta si chiama incentro.

Un qualsiasi quadrilatero si può circoscrivere ad una circonferenza se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

Il rombo è un quadrilatero che ha tutti i lati congruenti fra di loro, pertanto soddisfa alla condizione che la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. Pertanto un qualsiasi rombo si può sempre circoscrivere ad una circonferenza il cui centro è il punto di intersezioni delle diagonali.

Poligoni regolari Un poligono si dice regolare se tutti i lati e tutti gli angoli interni sono congruenti. α =β = γ =δ = ε = ς a=b=c=d=e=f

Un poligono si dice regolare se si può sempre inscrivere e circoscrivere in una circonferenza. Le due circonferenze, quella inscritta e quella circoscritta hanno lo stesso centro. Il raggio della circonferenza circoscritta si chiama semplicemente Raggio ed è la distanza tra il centro della circonferenza circoscritta ed un vertice del poligono. Mentre il raggio della circonferenza inscritta al poligono si chiama apotema. L’apotema è la distanza tra il centro della circonferenza inscritta ed uno dei lati del poligono.