Equazioni algebriche sul campo dei numeri reali

Generalità

Le Espressioni Aritmetiche Un’espressione aritmetica è un insieme di numeri legati tra loro da segni di operazioni, alcune delle quali racchiuse da parentesi. LE REGOLE Se l’espressione contiene tutte e quattro le operazioni, si procede eseguendo prima « moltiplicazioni e divisioni » nell’ordine in cui sono scritte, poi «addizioni e sottrazioni » nell’ordine in cui sono scritte. Le parentesi determinano delle “precedenze” nel calcolo. Si risolvono: prima le parentesi tonde ( ) dopo le parentesi quadre [ ] per ultime le parentesi graffe { } infine si risolvono tutte le operazioni rimaste

Rapporti e proporzioni

Proprietà delle proporzioni 1.Proprietà fondamentale delle proporzioni: in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Esempio: Nella proporzione 5:10 = 15:30, il prodotto dei medi è 10 x15 = 150, mentre il prodotto degli estremi è 5 x 30 = 150.

Proprietà delle proporzioni 2. Proprietà dell’invertire: in ogni proporzione, se si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene ancora una proporzione. Esempio: Nella proporzione 5:10 = 15:30 se si applica la proprietà dell’invertire si ottiene l’uguaglianza tra rapporti 10:5 = 30:15, che è ancora una proporzione.

Proprietà delle proporzioni 3. Proprietà del permutare: in ogni proporzione, se si scambiano fra loro i medi oppure gli estremi, si ottiene ancora una proporzione. Esempio: Nella proporzione 5:10 = 15:30 se si applica la proprietà del permutare si ottiene l’uguaglianza tra rapporti 30:10 = 15:5, che è ancora una proporzione.

Proprietà delle proporzioni 4. Proprietà del comporre: in ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto). Esempio: Nella proporzione 5:10 = 15:30 se si applica la proprietà del comporre si ottiene l’uguaglianza tra rapporti ( ) :10 = (15 + 5) :5 → 40:10 = 20:5, che è ancora una proporzione.

Proprietà delle proporzioni 5. Proprietà dello scomporre: in ogni proporzione che ha gli antecedenti maggiori dei conseguenti, la differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto). Esempio: Nella proporzione 5:10 = 15:30 se si applica la proprietà dello scomporre si ottiene l’uguaglianza tra rapporti (30 – 10) :10 = (15 – 5) :5 → 20:10 = 10:5, che è ancora una proporzione.

Calcolo del termine incognito Data una proporzione contenente un termine incognito è possibile calcolarlo mediante la proprietà fondamentale delle proporzioni. Infatti: o se il termine incognito è un medio basta dividere il prodotto degli estremi per il medio noto, cioè: o se il termine incognito è un estremo basta dividere il prodotto dei medi per l’estremo noto, cioè:

Calcolo del termine incognito o se il termine incognito è il medio proporzionale basta calcolare la radice quadrata del prodotto degli estremi, cioè:

Numeri percentuali Si dice numero percentuale un numero che viene riferito al valore fisso 100 ed in genere si indica facendolo seguire dal simbolo %, che si legge «percento». Per trasformare un numero percentuale in un numero decimale basta dividere il numero per 100, per esempio:

Numeri percentuali Se invece si vuole trasformare un numero decimale in un numero percentuale basta riscrivere la frazione con 100 a denominatore. Ad esempio:

Numeri percentuali Esempio: Il prezzo di un maglione è di 125€ e in periodo di saldi viene applicato uno sconto del 30%. Qual è il prezzo scontato del maglione? Calcoliamo lo sconto applicato sul prezzo del maglione mediante la proporzione: da cui ricaviamo: Di conseguenza il prezzo scontato è 87,5€.

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali Si consideri il perimetro di un triangolo equilatero e sappiamo che esso varia al variare della lunghezza del suo lato. Se si indica con la lunghezza del lato del triangolo, allora il perimetro è dato dalla relazione: È possibile notare che se raddoppia il lato, raddoppia anche il perimetro; se si triplica il lato, allora triplica anche il perimetro; etc. P = 3 l

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali Definizione: Due grandezze x e y si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante, cioè: In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità diretta è espressa da una formula del tipo:

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da una retta che passa per l’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali.

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali Consideriamo adesso un gas ideale e siano p e V la sua pressione e il suo volume. L’esperienza mette in evidenza il fatto che all’aumentare del volume diminuisce la pressione. Ciò significa che se il volume raddoppia la pressione dimezza, mentre se il volume dimezza la pressione raddoppia.

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali Definizione: Due grandezze x e y si dicono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante, cioè: In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità diretta è espressa da una formula del tipo:

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da un ramo d’iperbole in un sistema di assi cartesiani ortogonali.

Le equazioni e i sistemi di primo grado

Definizione di equazione di primo grado Un’equazione di primo grado è una uguaglianza algebrica che risulta essere verificata per un numero finito di valori attribuiti ad una variabile che prende il nome di incognita e che di solito si denota con la lettera x. Esempi di equazioni:

Definizione di equazione di primo grado o nelle equazioni di primo grado l’incognita x compare sempre con esponente pari ad uno. o l’espressione che compare a sinistra dell’uguale si chiama primo membro o l’espressione che compare a destra dell’uguale si chiama secondo membro

Tipologie di equazioni di primo grado equazioni intere: equazioni frazionarie: una equazione si dice frazionaria se l’incognita compare al denominatore della frazione e non perché contiene delle frazioni.

Soluzione di una equazione di primo grado Prende il nome di soluzione di una equazione di primo grado il valore numerico che sostituito alla incognita determina che il primo membro della equazione sia uguale al secondo membro. Ad esempio data l’equazione: la sua soluzione sarà data da in quanto se al posto della incognita x sostituiamo il numero quattro avremo:

Soluzione di una equazione di primo grado In una equazione di primo grado se c’è una soluzione questa è unica, ossia non può esistere una equazione di primo grado con due soluzioni diverse.

Le identità Prende il nome di identità una uguaglianza algebrica che risulta essere verificata per qualunque numero reale attribuito all’incognita. Ad esempio l’uguaglianza: è una identità in quanto qualunque numero mettiamo al posto della incognita il primo membro sarà sempre uguale al secondo membro dell’equazione considerata.

Equazioni impossibili Una equazione è impossibile se non ammette soluzione. Ad esempio l’equazione: non ha soluzioni in quanto non esiste alcun valore che sostituito all’incognita determina che il primo membro sia uguale al secondo membro.

Equazioni equivalenti Due equazioni sono tra di loro equivalenti se hanno la stessa soluzione. Ad esempio l’equazione ha per soluzione x = 3, ma anche l’equazione ha per soluzione x = 3. Si dirà allora che le equazioni: 2x - 1 = x + 2 2x = x + 3 sono tra di loro equivalenti in quanto hanno la stessa soluzione.

Soluzione di alcuni semplici equazioni di primo grado Trovare le soluzioni delle seguenti equazioni: x + 5 = 3 soluzione x = …… 2x + 1 = 5 soluzione x = …… 5x = 3 soluzione x = ……

Principi di equivalenza delle equazioni In pratica le equazioni che si devono risolvere sono molto complesse…… Per risolvere una equazione, ossia trovarne la soluzione, il procedimento che dobbiamo seguire consiste nel trasformare una equazione scritta in modo complesso in un’ altra scritta in modo più semplice ma che abbia le stesse soluzioni di quella complicata ossia che sia ad essa equivalente.

Principi di equivalenza delle equazioni Ad esempio se volessimo risolvere l’equazione: e sapessimo che essa è equivalente al l’equazione: avremmo già trovato che la soluzione è x =………..

Principi di equivalenza delle equazioni Il passaggio da una equazione scritta in forma complessa ad una scritta in forma più semplice ma ad essa equivalente avviene tramite i seguenti due principi di equivalenza: 1. principio dell’ addizione e sottrazione: sommando o sottraendo ai due membri di una equazione uno stesso numero o una espressione algebrica che non perda mai di significato si ottiene una equazione equivalente a quella data.

Principi di equivalenza delle equazioni Ad esempio considera i seguenti passaggi: nel secondo abbiamo sommato ad entrambi i membri 2x mentre nel quarto abbiamo sommato ad entrambi i membri 3. In ogni caso il risultato ottenuto è stato quello di portare da una parte all’altra dell’equazioni le espressioni e i numeri cambiando però di segno. L’equazione così ottenuta si può risolvere semplicemente con un minimo di ragionamento. La soluzione è x =………

Principi di equivalenza delle equazioni 2. principio della moltiplicazione e divisione: moltiplicando o dividendo i due membri di una equazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene una equazione equivalente a quella data.

Principi di equivalenza delle equazioni Ad esempio considera i seguenti passaggi: si vede come abbiamo semplicemente diviso entrambi i membri dell’equazione per il numero 7 ottenendo in questo caso la soluzione già trovata per altra via.

Alcuni esempi di soluzione di equazioni

Equazioni razionali fratte

Le equazioni frazionarie Prendono il nome di equazioni frazionarie, le equazioni in cui l’incognita compare al denominatore della frazione. Un esempio è dato da Le equazioni frazionarie si risolvono come gli altri tipi di equazioni utilizzando gli stessi principi di equivalenza. ATTENZIONE!!!!!: un numero non può mai essere diviso per 0!!

Le equazioni frazionarie Proviamo a sostituire x=-1: non si può mai dividere un numero per zero e quindi la soluzione trovata x = -1 non potrà essere accettata e va esclusa.

Le equazioni frazionarie Prima di risolvere una equazione frazionaria dobbiamo allora trovare i valori che non possono essere assegnati all’incognita. Se risolvendo l’equazione risultano proprio questi valori l’equazione si dice impossibile. Ad esempio: i valori da escludere saranno dati da 1 e -1. Perchè?

Equazioni razionali fratte Un’equazione in cui compare l’incognita al denominatore si chiama frazionaria o fratta. Problema: Sono assegnate le due frazioni algebriche e Esiste almeno un valore reale che sostituito alla variabile x rende f 1 uguale ad f 2 ? La soluzione al problema viene cercata impostando l’equazione

Equazioni razionali fratte Procedura risolutiva 1° passo: imponiamo le Condizioni di Esistenza: 2° passo: determiniamo il m.c.m. dei denominatori: La ricerca del valore che risolve il problema viene ristretta ai numeri reali appartenenti all’insieme, detto Dominio dell’equazione o Insieme di Definizione:

Equazioni razionali fratte Procedura risolutiva 3° passo: applichiamo il primo principio d’equivalenza trasportando al primo membro la frazione del secondo membro Riduciamo allo stesso denominatore (mcm) 4° passo: applichiamo il secondo principio moltiplicando ambo i membri per il m.c.m., certamente diverso da zero per le condizioni poste; l’equazione diventa:

Equazioni razionali fratte Procedura risolutiva 5° passo: svolgendo i calcoli ci accorgiamo che l’equazione è di secondo grado; portiamo l’equazione alla forma canonica: 6° passo: calcoliamo il discriminante: essendo positivo, l’equazione è determinata e ammette due soluzioni reali distinte:

Equazioni razionali fratte Procedura risolutiva 7° passo: confrontiamo le soluzioni con le C.E. ; in questo caso le radici appartengono all’insieme D; diciamo che sono accettabili e l’insieme soluzione è:

Equazioni di secondo grado

Teorema Fondamentale dell’Algebra Data un’equazione di grado n con a n, a n-1,..., a 0  R (numeri Reali), essa ha n soluzioni x 1, x 2,..., x n nei numeri Complessi C, che soddisfano l’equazione, mentre nel campo reale ha un numero di soluzioni al più uguale a n. Questa ha sempre n soluzioni nel campo complesso mentre nel campo reale ha un numero di soluzioni al più uguale a n. Quindi una equazione di secondo grado ha 2 soluzioni.

Equazioni di secondo grado Si definisce equazione di secondo grado un’equazione dove il massimo valore dell’esponente della variabile è due. Alcuni esempi:

Equazioni di secondo grado La forma più generale di equazione di secondo grado (o forma tipica o ancora forma canonica) è: con a, b e c numeri reali (però a  0) oppure espressioni letterali che rappresentano numeri noti ( in tal caso l’equazione è detta letterale o parametrica). Queste possono essere di tre tipi: Pure: quando b = 0, quindi del tipo Spurie: quando c = 0, quindi del tipo Complete : quando a, b, c sono diversi da zero

Equazioni di secondo grado Dal punto di vista grafico, risolvere un'equazione di secondo grado significa trovare le intersezioni, se esistono, della parabola di equazione y= ax 2 + bx+ c con l'asse x (y=0), ovvero risolvere il sistema: y= ax 2 + bx+ c y=0

Equazione di secondo grado completa Sia una equazione di secondo grado completa, per prima cosa si deve calcolare il Discriminante le soluzioni dell’equazione sono date da: con x 1,2 intendiamo le 2 soluzioni dell’equazione.

Equazione di secondo grado completa

Limitiamoci al caso in cui vogliamo che le soluzioni dell’equazione appartengano all’insieme R dei numeri reali. Il discriminante, in questo caso, discrimina, differenza il procedimento di calcolo della soluzione. Analizziamo i tre casi: o Δ < 0 L'equazione non ha soluzioni in R o Δ > 0 L’equazione ha due soluzioni distinte in R o Δ = 0 L’equazione ha due soluzioni coincidenti in R

Equazione di secondo grado completa Relazione tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado

Equazione di secondo grado pura Sia In queste equazioni si mette la x in evidenza e si osserva che affinché un prodotto possa valere 0 almeno uno dei due fattori x o (ax + b) deve valere 0. La prima soluzione quindi è immediata

Equazione di secondo grado pura la seconda la si calcola partendo da questa è una equazione di 1° grado In definitiva le due soluzioni sono

Equazione di secondo grado spuria

Le soluzioni dell'equazione pura dipendono dal segno del rapporto Se, ovvero se a e c sono discordi, l’equazione ammette le due soluzioni reali e distinte ; Se, ovvero se a e c sono concordi, l’equazione non ammette soluzioni reali; Se, allora c = 0, l'equazione ha due radici reali coincidenti nulle x 1 = x 2 = 0.

Risoluzione di un’equazione di secondo grado

Equazioni di grado superiore al secondo

Consideriamo un’equazione algebrica di grado n nell’incognita x questa ha sempre n soluzioni nel campo complesso mentre nel campo reale ha un numero di soluzioni al più uguale a n. Ogni radice intera dell’equazione è un divisore del termine noto a n e ogni radice razionale p/q (con p e q primi tra loro) dell’equazione ha per numeratore un divisore del termine noto a n e per denominatore un divisore del coefficiente a 0 del termine di grado massimo. Possiamo utilizzare tutti i metodi per la scomposizione dei polinomi (prodotto notevoli, raccoglimenti, regola di Ruffini) al fine di scomporre il primo membro dell’equazione.

Equazioni di grado superiore al secondo Esempi:

Equazioni Biquadratiche Sono tutte equazioni riconducibili alla forma: in cui è possibile effettuare la sostituzione x 2 =t e ricondurle alla forma dell’equazione di secondo grado ; indicando con t 1 e t 2 le soluzioni dell'equazione nell'incognita t si possono presentare tre casi: allora l’equazione ammette quattro soluzioni reali a due a due opposte; allora l’equazione ammette due soluzioni reali e due radici complesse coniugate; allora l’equazione non ammette radici reali ma solo radici complesse

Equazioni Binomie Le equazioni binomie si presentano sotto la forma di un binomio Il numero delle soluzioni dipende da n e dal segno di a: se n e pari l'equazione ammette soluzioni reali solo se a <0 date da se n e dispari l'equazione ammette sempre una sola soluzione reale data da

Equazioni Trinomie Sono tutte equazioni riconducibili alla forma: in cui e possibile effettuare la sostituzione x n =t e ricondurle alla forma dell’equazione di secondo grado ; si ottengono cosi due equazioni binomie

Discussione e risoluzione di equazioni letterali

Equazioni letterali Una equazione è letterale se i coefficienti dell’incognita sono espressioni letterali, cioè se oltre all’incognita (in genere indicata con la lettera x) compare un’altra lettera (in genere a, b, k, ….) L’equazione è letterale di secondo grado in forma canonica; i suoi coefficienti dipendono dal parametro k. Il parametro k può assumere qualunque valore numerico e l’equazione rappresenta una famiglia di equazioni le cui caratteristiche variano a seconda dei valori attribuiti al parametro. Notiamo subito che se k assume il valore zero, l’equazione non è più di secondo grado, se k assume il valore 3, l’equazione è ancora di secondo grado incompleta (spuria) mancando del termine noto.

Equazioni letterali Discutere un’equazione letterale di secondo grado significa analizzare come varia l’equazione, e quindi il suo insieme delle soluzioni, al variare del parametro. L’obiettivo è quello di stabilire per quali valori reali di k l’equazione ammette soluzioni reali.

Equazioni letterali le soluzioni di un’equazione di secondo grado si determinano con la formula in cui compaiono i tre coefficienti a, b, c. Procediamo analizzando: il primo coefficiente a=k : se k=0 l’equazione diventa x−3=0 di primo grado con Insieme Soluzione I.S.={3 } ; il secondo coefficiente b=−2 k+1 : se è nullo, ossia se l’equazione diventa equazione pura con due soluzioni reali opposte il terzo coefficiente c=k−3 : se è nullo, cioè se k=3 l’equazione diventa 3 x 2 −5 x=0, equazione spuria con due soluzioni reali

Equazioni letterali Prima conclusione: per tutti i valori di k dell’insieme l’equazione è completa e l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante.

Equazioni letterali

Esempio:

Equazioni letterali Discussione:

Equazioni letterali