APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

MENU Numeri Polinomi Frazioni algebriche Equazioni Sistemi Disequazioni Geometria

1. NUMERI Insiemi numerici Criteri di divisibilità Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione Potenza Radice MENU

INSIEMI NUMERICI Naturali ℕ={0,1,2,3,4…} Interi ℤ={…-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3…} Razionali ℚ={interi, decimali finiti, decimali illimitati periodici} ℚ={x|x=p/q, p∈ℤ e q∈ℕ*} Reali ℝ={razionali, irrazionali} (irrazionali: decimali illimitati non periodici) Complessi ℂ={reali, i} i=√-1 unità immaginaria

“+” positivi “-” negativi es. ℤ -={-1,-2,-3…} “*” escluso lo zero es. ℤ *={…-3,-2,-1,+1,+2,+3…} “a” assoluti es. ℤ a={0,1,2,3…}=ℕ “0” con l’aggiunta dello zero es. ℤ -o={0,-1,-2,-3…}

CRITERI DI DIVISIBILITA’ 2: ultima cifra multipla di 2 (0,2,4,6,8) 5: ultima cifra multipla di 5 (0,5) 4: ultime due cifre multiplo di 4 (00,04,16,52,76…sono 25) 25: ultime due cifre multiplo di 25 (00,25,50,75) 8: ultime tre cifre multiplo di 8 (000,432,520…sono 125) 125: ultime tre cifre multiplo di 125 (000,125,250,375,500,625,750,875)

3: somma delle cifre multiplo di 3 (357,84…) 11: la differenza tra la somma delle cifre di posto pari con la somma delle cifre di posto dispari, multiplo di 11 (71533…) Nota: 7 e 13 esiste ma non è utilizzata

ADDIZIONE Operazione interna Commutativa Associativa Esiste 0 elemento neutro Esiste il simmetrico di a: -a (opposto)

SOTTRAZIONE Invariantiva: se si somma o si sottrae uno stesso numero sia al minuendo che al sottraendo, la differenza non cambia

MOLTIPLICAZIONE Operazione interna Commutativa Associativa Distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione Esiste 1 elemento neutro Esiste il simmetrico di a (se a≠0): 1/a (reciproco) Esiste 0 elemento assorbente Legge di annullamento del prodotto

DIVISIONE Invariantiva: se si moltiplicano o si dividono sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero, il quoziente non cambia mentre il resto se c’è viene moltiplicato o diviso per lo stesso numero Distributiva (solo a sinistra) MENU

POTENZA Definizioni Proprietà Note

DEFINIZIONI an a base n esponente an potenza n∈ℤ se n=0 e a≠0: a0 = 1 se n=1: a1 = a se n≥2: an = a∙a∙a∙ ∙ ∙a (n volte) se n<0 e a≠0: an = (1/a)-n se n=0 e a=0: 00 indeterminata n∈ℚ se n=p/q e q≠0: an = q√ap

PROPRIETA’ Il prodotto di due o più potenze con ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti Il quoziente di due potenze con ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti

Il prodotto di due o più potenze con ugual esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente Oppure Proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione: la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori. Il quoziente di due potenze con ugual esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente Oppure Proprietà distributiva della potenza rispetto alla divisione: la potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze del dividendo e del divisore

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti

NOTE In una espressione prima vengono le potenze (prima si applicano le proprietà poi si calcolano con la definizione), poi le moltiplicazioni e le divisioni (si eseguono nell’ordine in cui sono scritte), e infine le addizioni e le sottrazioni (sempre nell’ordine in cui sono scritte). Se nelle espressioni ci sono delle parentesi bisogna cominciare a risolvere da quelle più interne

Le proprietà delle potenze sovvertono le priorità delle operazioni Le proprietà delle potenze sovvertono le priorità delle operazioni. Bisogna dare sempre la precedenza alle proprietà piuttosto che alle definizioni Se non c’è la parentesi l’esponente è riferito solo al valore immediatamente alla sua sinistra Una potenza con esponente pari è sempre positiva; una potenza con esponente dispari conserva il segno della base

RADICE Definizioni Proprietà Note

a radicando n indice n√a radicale DEFINIZIONI n√a a radicando n indice n√a radicale n√a = b se e solo se bn = a a,b∈ℝ n∈ℕ* radicali algebrici a,b∈ℝa n∈ℕ* radicali aritmetici

se n=0: 0√a priva di significato se n=1: 1√a= a se n=2: 2√a=√a radice “quadrata” se n=3: 3√a radice “cubica” se n>0: n√0=0 se n>0: n√1=1 se n>0: n√an=a

PROPRIETA’ Proprietà invariantiva: il valore di un radicale aritmetico non cambia se si moltiplicano o si dividono l’indice della radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0 Il prodotto di due o più radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi Oppure Proprietà distributiva della radice rispetto alla moltiplicazione: la radice di un prodotto è uguale al prodotto dei singoli radicali

Il quoziente di due o più radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi Oppure Proprietà distributiva della radice rispetto alla divisione: la radice di un quoziente è uguale al quoziente dei singoli radicali La potenza di un radicale è uguale a un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza del radicando La radice di una radice è una radice che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando

NOTE Sviluppare l’espressione “sotto” radice Lavorare “con” il radicale Operare “tra” i radicali Non si lasciano radici al denominatore e denominatori sotto radice MENU

2. POLINOMI Prodotti notevoli Divisioni Scomposizioni MENU

PRODOTTI NOTEVOLI Prodotto somma per differenza (A+B)(A-B)=A2-B2 Quadrato di binomio (A+B)2=A2+2AB+B2 Quadrato di trinomio (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC Cubo di binomio (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

Prodotto somma (differenza) per il suo falso quadrato (A+B)(A2-AB+B2)=A3+B3 (A-B)(A2+AB+B2)=A3-B3 Potenza di binomio il polinomio consta di n+1 termini, ciascuno è il prodotto del coefficiente (preso dal triangolo di Tartaglia) per le potenze decrescenti del primo termine (da n a 0) per le potenze crescenti del secondo (da 0 a n)

DIVISIONI Divisione tra due polinomi Divisione con la regola di Ruffini

DIVISIONE TRA DUE POLINOMI Il dividendo deve essere ordinato e completo Il divisore ordinato (completo) Il grado del dividendo deve essere maggiore del grado del divisore Il grado del quoziente è uguale alla differenza dei gradi del dividendo e del divisore La divisione termina quando il grado del resto diventa minore del grado del divisore Prova B.Q+R=A A dividendo B divisore Q quoziente R resto

DIVISIONE CON RUFFINI Il dividendo A(x) deve essere ordinato e completo Il divisore (x-a) deve essere un binomio ordinato di primo grado con il primo coefficiente uguale a 1 Il resto R è un termine di grado 0 Nella regola di Ruffini si utilizzano solo i coefficienti Teorema del resto: R=A(a) (il resto è il valore che il dividendo assume in a, cioè il valore che si ottiene sostituendo “a” al posto di “x”) Se il primo coefficiente non è 1 è possibile effettuare la divisione con Ruffini dopo averla opportunamente modificata applicando la proprietà invariantiva

SCOMPOSIZIONI Definizioni Uso

DEFINIZIONI Raccoglimento a fattor comune AM+BM+CM=M(A+B+C) Regola. Si individua il MCD; si mette in evidenza e si moltiplica per il polinomio ottenuto divedendo ciascun termine per il MCD. È l’inverso della proprietà distributiva. Raccoglimenti successivi AM+BM+AN+BN=M(A+B)+N(A+B)=(A+B)(M+N) Regola. Si effettua quando non è possibile raccogliere a fattor comune ma solo a 2 a 2 oppure a 3 a 3. Ci deve essere un numero pari di termini o 9. Il secondo passaggio è sempre il raccoglimento a fattor comune.

Differenza di due quadrati A2-B2 =(A+B)(A-B) Regola. Si moltiplica la somma delle basi per la loro differenza. Trinomio quadrato di binomio A2+2AB+B2=(A+B)2 Quadrinomio cubo di binomio A3+3A2B+3AB2+B3=(A+B)3 Polinomio quadrato di trinomio A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)2

Somma o differenza di due cubi A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2) Trinomio particolare (notevole) X2+(A+B)X+AB=(X+A)(X+B) Regola. È un trinomio ordinato in cui il primo termine ha grado doppio del secondo e il terzo è noto. Il primo coefficiente è 1; il secondo è la somma di due termini e il terzo è il prodotto degli stessi.

Ruffini. Si applica in presenza di un polinomio ordinato Ruffini. Si applica in presenza di un polinomio ordinato. E’ la prova di una divisione di cui si conosce solo il dividendo A(x) (il polinomio da scomporre); il divisore (x-a) si cerca per tentativi; il quoziente Q(x) si trova con la regola di Ruffini; il resto R deve essere zero. prova: A(x)=Q(x)(x-a)+R, R=0 a: si cerca tra i divisori del termine noto o tra le frazioni aventi al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del primo coefficiente in modo che R=0

NOTE Se ci sono delle frazioni spesso conviene fare il denominatore comune. Si raccoglie il primo segno che si incontra. Le diventano e le si eliminano facendo i calcoli. Per iniziare o per finire una scomposizione è necessario scomporre i polinomi dentro le parentesi. Nei raccoglimenti parziali i coefficienti sono in proporzione. Se due parentesi differiscono solo per tutti i segni, possono diventare identiche se si cambiano i segni “dentro” e “davanti” se l’esponente della parentesi è dispari, solo “dentro” se l’esponente è pari.

Il raccoglimento a fattor comune, se è possibile, deve essere eseguito subito a meno che non si facciano i raccoglimenti parziali. La somma di due quadrati non si scompone mai. Il falso quadrato di 2° grado non si scompone (in prima), quello di 4° non siamo capaci. La differenza di due potenze di 6° grado si scompone sempre prima come differenza di due quadrati e poi si applica la somma e la differenza di due cubi. Se nel trinomio particolare (notevole) non si trovano i due numeri allora non è scomponibile (in prima). Con tre termini (senza parentesi) o tutti insieme o niente. Se in Ruffini non si trova a tale che A(a)=0, significa che il polinomio non è scomponibile (in prima).

USO Due termini: - raccoglimento a fattor comune - differenza di due quadrati - somma o differenza di due cubi - Ruffini Tre termini: - trinomio quadrato di binomio - trinomio notevole

- raccoglimento a fattor comune - raccoglimenti successivi Quattro termini: - raccoglimento a fattor comune - raccoglimenti successivi - quadrinomio cubo di binomio - misto - Ruffini Cinque o più termini: - raccoglimenti successivi (solo con sei, otto, nove termini …) - polinomio quadrato di trinomio MENU

3. FRAZIONI ALGEBRICHE Semplificazione Moltiplicazione e divisione Potenza Somma algebrica Sviluppo espressioni Espressioni frazionarie Espressioni con i radicali MENU

SEMPLIFICAZIONE Scomporre il numeratore e il denominatore Individuare il dominio della frazione (cioè escludere quei valori che annullano ciascun fattore del denominatore: C.E. condizioni di esistenza) Semplificare i fattori

MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE Scomporre tutti i numeratori e tutti i denominatori Individuare il dominio della frazione (…) Semplificare un qualsiasi fattore al numeratore con un qualsiasi fattore al denominatore

POTENZA Scomporre il numeratore e il denominatore Indicare il dominio della frazione (…) Semplificare Applicare la proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione e alla divisione

SOMMA ALGEBRICA Scomporre i denominatori “sotto” Indicare il dominio della frazione (…) Scomporre i numeratori “sopra” solo se si vede la possibilità di semplificare la frazione Individuare il m.c.m. dei denominatori Fare il denominatore comune Fare i calcoli al numeratore Scomporre il numeratore Semplificare la frazione MENU

SVILUPPO ESPRESSIONI Eseguire prima le operazioni dentro parentesi Ordine delle operazioni: - potenze - moltiplicazioni e/o divisioni - somme e/o sottrazioni Proprietà delle potenze e/o prodotti notevoli hanno la precedenza

ESPRESSIONI FRAZIONARIE Sviluppare ogni espressione presente in ciascun numeratore e in ciascun denominatore Moltiplicare il numeratore per il reciproco del denominatore E’ possibile semplificare tra loro i numeratori o i denominatori prima del punto 2. se, scomposti, contengono fattori uguali

ESPRESSIONI CON I RADICALI Sviluppare l’espressione “sotto” radice Lavorare “con” il radicale Operare “tra” i radicali N.B. Non si lasciano radici al denominatore e denominatori sotto radice MENU

4. EQUAZIONI Principi d’equivalenza Equazioni lineari in una incognita Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni di secondo grado Equazioni parametriche Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni irrazionali MENU

PRINCIPI D’EQUIVALENZA 1° Principio dell’addizione: sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione lo stesso valore o espressione si ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: a) principio del trasporto b) legge di cancellazione c) riduzione di un membro a zero P(x)=0

2° Principio della moltiplicazione: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per lo stesso valore o espressione diversi da zero si ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: a) cambiamento del segno b) moltiplicazione per un multiplo comune (eliminazione denominatori) c) divisione per un divisore comune (semplificazione termine a termine)

EQUAZIONI LINEARI IN UNA INCOGNITA Una equazione in una sola incognita è di primo grado (o lineare) quando, in Forma Normale, si riduce ad un binomio di primo grado. In questo caso la F.N. assume tale aspetto: ax=b a≠0 a,b costanti x variabile a si dice coefficiente dell’incognita b si dice termine noto

a≠0: ax=b eq. det. 1 sol. x=b/a a=0, b=0: 0=0 eq. indet. ∀x a=0, b≠0: 0=b eq. imp. ∄ x Per raggiungere la F.N. occorre utilizzare le regole dello sviluppo delle espressioni e i due principi di equivalenza o le loro conseguenze Raggiunta la forma normale la soluzione è sempre data da: x= termine noto diviso coefficiente dell’incognita

Si elimina un termine o un gruppo di termini se hanno “stesso segno e parti opposte” oppure “stessa parte e segno opposto” Fare la verifica di un’equazione consiste nel sostituire la soluzione trovata al posto dell’incognita nel testo e controllare che soddisfi la definizione di soluzione

EQUAZIONI FRATTE E’ necessario mettere le condizioni perchè non solo bisogna indicare il dominio di una frazione algebrica ma anche il secondo principio permette di eliminare solo denominatori diversi da zero. Esse si mettono guardando i denominatori di un qualsiasi passaggio (dal testo alla soluzione). Si mettono solo sui fattori letterali non scomponibili (*) di primo grado (**). Trovata la soluzione bisogna fare il controllo dell’accettabilità. (*) Infatti se un polinomio di grado superiore al primo non è scomponibile non si annulla in alcun numero razionale (se esistesse tale numero sarebbe scomponibile con Ruffini!). (**) inoltre una potenza è zero solo se la sua base è zero.

EQUAZIONI LETTERALI In queste equazioni oltre all’incognita compare anche un’altra lettera (costante o parametro) al cui variare varia anche la natura dell’equazione (determinata, indeterminata, impossibile) e della soluzione (accettabile, non accettabile).

Raggiungere la F.N. mettendo le condizioni su tutti i fattori letterali presenti al denominatore (*) Nella F.N. scomporre sia il coefficiente della x che il termine noto Mettere le condizioni sul coefficiente della x (**) Risolvere l’equazione x=b/a

Fare la discussione (*) condizioni sui denominatori a) solo sul parametro (C.E.): eq. perde significato b) sull’incognita (C.A.): sol. non accettabile (**) condizioni sul coefficiente dell’incognita a) annulla anche il termine noto: eq. indeterminata b) non annulla il termine noto: eq. impossibile

C.A. Bisogna confrontare la soluzione ottenuta con i valori che la rendono non accettabile. Si tratta di risolvere piccole equazioni in cui l’incognita è il parametro a) Se l’eq. sul parametro è di grado superiore al primo, si scrive nella forma P(a)=0, si scompone e si applica la legge di annullamento del prodotto b) Se l’eq. sul parametro è impossibile: soluzione sempre accettabile c) Se l’eq. sul parametro è indeterminata: soluzione mai accettabile Doppioni: perde significato: “vince sempre” eq. indet. / sol. non acc. : “tutte e due” eq. imp. / sol. non acc. : “impossibile”

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Una equazione in una sola incognita è di secondo grado quando ridotta a Forma Normale assume tale aspetto: ax2+bx+c=0 a≠0 a,b,c costanti x variabile

b≠0, c≠0 ax2+bx+c=0 eq. completa discriminante: =b2-4ac >0 due soluzioni reali e distinte =0 due soluzioni reali e coincidenti <0 nessuna soluzione reale

b≠0, c=0 ax2+bx=0 eq. incompleta spuria due soluzioni reali di cui una uguale a zero b=0, c≠0 ax2+c=0 eq. incompleta pura a, c discordi: due soluzioni reali opposte a, c concordi: nessuna soluzione reale b=0, c=0 ax2 =0 eq. monomia due soluzioni reali uguali a zero

x1, x2 soluzioni reali s = x1+x2 = -b/a p= x1∙x2 = c/a F.N. x2-sx+p=0 ax2+bx+c = a(x-x1)∙(x-x2)

EQUAZIONI PARAMETRICHE Si chiamano “parametri” le lettere contenute in almeno un coefficiente di una equazione letterale ed “equazioni parametriche” quelle in cui i coefficienti dipendono da uno o più parametri. Nelle equazioni parametriche si cerca di risolvere il problema di determinare , se possibile, quei particolari valori da attribuire al parametro affinché le soluzioni dell’equazione verifichino determinate condizioni. Generalmente ciò si risolve ricorrendo alle relazioni tra coefficienti e soluzioni, mai risolvendo l’equazione.

EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Sono equazioni aventi una Forma Normale del tipo P(x)=0 dove P(x) è un polinomio di grado superiore al secondo. La loro soluzione si riconduce a quella di equazioni di primo o di secondo grado. Eq. abbassabili di grado: F.N. P(x)=0. Si scompone P(x) in fattori di primo o di secondo grado, si risolve applicando la legge di annullamento del prodotto

Eq. binomie: F.N. axn+b=0. n pari a,b concordi: nessuna soluzione reale a,b discordi: due soluzioni reali opposte n dispari una soluzione reale

Eq. trinomie: F. N. ax2n+bxn+c=0 Eq. trinomie: F.N. ax2n+bxn+c=0. Si risolvono con un cambio di variabile y=xn. Casi particolari eq. biquadratiche: ax4+bx2+c=0 eq. del tipo: a(…)2n+b(…)n+c=0

EQUAZIONI IRRAZIONALI Si dice irrazionale un’equazione in cui l’incognita compare sotto radice. I radicali con indice pari sono da considerarsi aritmetici, quelli con indice dispari algebrici. Teorema: elevando ad uno stesso esponente i due membri di un’equazione se ne ottiene un’altra il cui insieme soluzione contiene quello dell’equazione di partenza.

Primo caso: un radicale Isolare il radicale con il segno positivo Elevare a potenza entrambi i membri Risolvere l’equazione ottenuta Verificare l’accettabilità della soluzione sostituendo il valore trovato nel testo. Secondo caso: due radicali Isolare un radicale con il segno positivo Proseguire come nel primo caso

Terzo caso: tre o quattro radicali Isolare due radicali Elevare a potenza entrambi i membri Proseguire come nel secondo caso MENU

5. SISTEMI Sistemi lineari Metodo di sostituzione Metodo di confronto Metodo di addizione Metodo di Cramer Metodo grafico Sistemi letterali MENU

SISTEMI LINEARI Raggiungere la Forma Normale Applicare un metodo di soluzione: tre metodi (sostituzione, addizione, confronto) hanno come scopo quello di ottenere un’equazione con una sola incognita; quello di Cramer è un metodo “meccanico”; quello grafico consiste nel rappresentare nel piano cartesiano le equazioni e la soluzione del sistema. a/a1≠b/b1 sistema determinato a/a1=b/b1≠c/c1 sistema impossibile a/a1=b/b1= c/c1 sistema indeterminato

METODO DI SOSTITUZIONE Raggiungere la F.N. Ricavare un’incognita in funzione dell’altra da una delle due equazioni (a piacere) Sostituire l’espressione trovata per l’incognita nell’altra equazione; si ottiene una equazione in una sola incognita Risolvere l’equazione in una sola incognita Sostituire la soluzione trovata nell’espressione dell’incognita ancora da determinare; si ricava così la seconda incognita

METODO DI CONFRONTO Raggiungere la F.N. Ricavare la stessa incognita in entrambe le equazioni Confrontare le due espressioni ottenute; si ottiene una equazione in una sola incognita Risolvere l’equazione in una sola incognita Sostituire la soluzione trovata in una delle due espressioni del secondo punto; si ricava così la seconda incognita

METODO DI ADDIZIONE Raggiungere la F.N. Applicando il secondo principio, moltiplicare una o entrambe le equazioni per fattori non nulli in modo che i coefficienti di una delle due incognite siano opposti (m.c.m. dei coefficienti) Sommare termine a termine; si ottiene una equazione in una sola incognita Risolvere l’equazione in una sola incognita Sostituire la soluzione trovata in una delle due delle due equazioni della F.N. e risolverla

METODO DI CRAMER Raggiungere la F.N. Calcolare D il determinante della matrice dei coefficienti Calcolare Dx il determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti della x Calcolare Dy il determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti della y Risolvere: x= Dx / D y= Dy / D

METODO GRAFICO Si dimostra che una equazione di primo grado ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una retta. Raggiungere la F.N. Disegnare le rette nel piano cartesiano Individuare, se esiste, il punto di intersezione rette incidenti: sistema determinato rette coincidenti: sistema indeterminato rette parallele: sistema impossibile

SISTEMI LETTERALI Raggiungere la F.N. mettendo le condizioni su tutti i fattori letterali presenti al denominatore (*) Risolvere il sistema con il metodo di Cramer mettendo le condizioni sul determinante della matrice dei coefficienti (**)

(*) condizioni sui denominatori a) solo sul parametro (C.E.): Fare la discussione (*) condizioni sui denominatori a) solo sul parametro (C.E.): sistema perde significato b) sull’incognita (C.A.): sol. non accettabile (**) condizioni sul determinante della matrice dei coefficienti: a) D=0 e Dx = Dy =0 (o un’eq. indeterminata): sistema indeterminato b) D=0 e Dx ≠0 o Dy≠0 (o un’eq. impossibile): sistema impossibile MENU

6. DISEQUAZIONI Studio del segno di primo grado Studio del segno di secondo grado Principi d’equivalenza Disequazioni di primo grado Disequazioni di secondo grado Disequazioni fratte Sistemi di disequazioni Disequazioni di grado superiore al secondo Disequazioni con valore assoluto MENU

STUDIO DEL SEGNO DI PRIMO GRADO Si dimostra che una equazione di primo grado y=ax+b ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una retta. Risolvere l’equazione associata per trovare il punto di intersezione tra la retta e l’asse delle x (y=0) Disegnare la retta: a>0 retta crescente a=0 retta parallela all’asse delle x a<0 retta decrescente

STUDIO DEL SEGNO DI SECONDO GRADO Si dimostra che una equazione di secondo grado y=ax2+bx+c ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una parabola. Risolvere l’equazione associata per trovare il punto di intersezione tra la parabola e l’asse delle x (y=0) Disegnare la parabola: >0 due punti di intersezione con l’asse delle x =0 un punto di intersezione con l’asse delle x <0 nessun punto di intersezione con l’asse delle x a>0 concavità verso l’alto a<0 concavità verso il basso

PRINCIPI D’EQUIVALENZA Principio dell’addizione: sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una disequazione lo stesso valore o espressione si ottiene una disequazione equivalente alla data. Conseguenze: principio del trasporto legge di cancellazione secondo membro=0

Principio della moltiplicazione: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per lo stesso valore o espressione maggiore di zero si ottiene una disequazione equivalente alla data. Conseguenze: cambiare i segni solo cambiando verso eliminare i denominatori senza variabile dividere tutti i termini per valori positivi

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO Per risolvere occorre utilizzare le regole dello sviluppo delle espressioni e i due principi di equivalenza o le loro conseguenze Casi particolari. Se giunti a F.N. non compare più la x, è sufficiente chiedersi se la relazione è vera o falsa: V ∀x F ∄x

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Raggiungere la F.N. Risolvere l’equazione associata Disegnare la parabola Decidere la soluzione confrontando il disegno con il verso della disequazione nella F.N.

SISTEMI DI DISEQUAZIONI Raggiungere la F.N. di ciascuna disequazione Preparare il sistema per le soluzioni Risolvere direttamente le disequazioni di primo grado Risolvere separatamente le disequazioni di secondo grado o fratte Riportare le soluzioni algebriche nel sistema del punto 2. Riportare le soluzioni nello stesso grafico Fare l’intersezione delle soluzioni Scrivere la soluzione

DISEQUAZIONI FRATTE Raggiungere la F.N. (secondo membro=0) Fare lo studio del segno del numeratore Fare lo studio del segno del denominatore Riportare i segni in uno stesso grafico Fare il prodotto dei segni Decidere la soluzione confrontando i segni con il verso della F.N.

DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Raggiungere la F.N. (primo membro polinomio o frazione) Fare lo studio del segno di ciascun fattore Riportare i segni in uno stesso grafico Fare il prodotto dei segni Decidere la soluzione confrontando i segni con il verso della F.N.

DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Trasformare la disequazione in due o quattro sistemi di disequazioni tenendo conto della definizione di valore assoluto a, a>0 |a| =[ -a, a<0 Risolvere separatamente i sistemi Fare l’unione delle soluzioni MENU

7. GEOMETRIA Definire e dimostrare Principali teoremi Algebra applicata alla geometria MENU

DEFINIRE E DIMOSTRARE DEFINIRE DIMOSTRARE no si PAROLE (descrivere) PAROLE (“si dice…”) DIMOSTRARE (dedurre) PROPOSIZIONI IMPLICAZIONI (“scende…”) no CONCETTI PRIMITIVI punto-retta-piano movimento rigido insieme-appartenenza POSTULATI O ASSIOMI (scendono dall’intuizione) si DEFINIZIONI TEOREMI-LEMMI-COROLLARI (scendono da definizioni, postulati, teoremi, ecc.)

PRINCIPALI TEOREMI DELLA GEOMETRIA (documento word)

ALGEBRA APPLICATA ALLA GEOMETRIA Fare disegno, hp, th Attribuire la x ad un elemento della figura Mettere le condizioni geometriche, utilizzando i dati numerici delle Hp Individuare l’equazione che risolve l’esercizio Sostituire in funzione della x o dei dati delle Hp, le misure degli elementi presenti nell’equazione

Risolvere l’equazione mettendo anche eventuali condizioni algebriche Verificare l’accettabilità delle soluzioni confrontandole sia con le condizioni geometriche sia con le condizioni algebriche Continuare l’esercizio MENU