Metodo dei pesi residui Metodo di Petrov-Galerkin Metodo di Galerkin Metodo di collocazione Metodo dei minimi quadrati

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 2 Si scrivono le equazioni di campo ed al contorno in forma residuale: R c = EA w’’ + fR L = EA w’ - F R c è il residuo relativo all’equazione di campo e R L è il residuo relativo alla condizione al contorno (x=L). La funzione incognita w(x) viene rappresentata come somma di funzioni note  j (x) moltiplicate per coefficienti incogniti c j : Le funzioni  j (x) devono rispettare le condizioni al contorno  j (0)=0. Si sostituisce la forma di rappresentazione proposta per la funzione incognita nelle espressioni del residuo: Pesi residui In soluzione il residuo totale deve essere nullo: R = 0. EA F f

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 3 La condizione di nullo del residuo si impone N volte in forma media pesata: dove  i (x) sono funzioni note dette funzioni peso o funzioni test. Si ottiene in definitiva: A ij c j + F i = 0 dove: Petrov-Galerkin A ij non è simmetrica

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 4 La condizione di nullo del residuo si impone N volte in forma media pesata: dove  i (x) sono funzioni note dette funzioni peso o funzioni test. Si ottiene in definitiva: A ij c j + F i = 0 dove: Nota: è tutto come per il metodo di Petrov- Galerkin, la sola differenza consiste nello scegliere le funzione peso uguali alle funzioni approssimanti:  i (x) =  i (x). Galerkin A ij non è simmetrica

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 5 Collocazione Si scelgono come funzioni test N funzioni di Dirac: dove x i sono le coordinate di N prescelti punti di collocazione. Si ottengono quindi N equazioni algebriche del tipo: con x N = L.

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 6 In esplicito: A ij c j + F i = 0 A ij non è simmetrica Collocazione

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 7 Minimi quadrati Si definisce l’errore in funzione del residuo: Si minimizza l’errore rispetto ai coefficienti incogniti c i :

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 8 In definitiva si ottiene: A ij c j + F i = 0 dove: A ij è simmetrica Minimi quadrati

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 9 Pesi residui Formulazione debole di Ritz Si scrivono le equazioni di campo ed al contorno in forma residuale: R c = EA w’’ +fR L = EA w’ - F La funzione incognita w(x) viene rappresentata come: Le espressione del residuo diventano:

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 10 La condizione di nullo del residuo si impone N volte in forma media pesata: Formulazione debole A ij è simmetrica A ij c j - F i = 0 Debole di Ritz

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 11 Osservazione: l’equazione ottenuta Debole di Ritz si ricava anche come: dove così che i coefficienti A ij del sistema di equazioni alla Ritz valgono: è evidente la simmetria di A ij

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 12 Sostituendo nella formula di l’espressione: si ottiene il funzionale: che rappresenta l’energia potenziale totale relativo al problema considerato. Quindi il metodo di Ritz consiste nel rendere stazionaria l’espressione approssimata dell’energia potenziale totale. Ricorda: Debole di Ritz

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 13 Osservazione Non è sempre detto che il metodo di Ritz conduca ad una matrice A ij simmetrica e che consista nel rendere stazionaria l’espressione approssimata dell’energia potenziale totale. Infatti, per alcuni problemi potrebbe non esistere un potenziale che governa le equazioni. Si consideri il problema: R(u) = A(u) + f = 0 con A operatore (differenziale) lineare. Indicando con v la funzione test, si ha: dove B(u,v), ottenuto integrando per parti, è un operatore bilineare, ovvero è lineare in u ed è lineare anche in v.

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 14 L’operatore bilineare B(u,v) è autoaggiunto se e solo se: B(u,v) = B(v,u) Quando l’operatore bilineare B(u,v) è autoaggiunto allora esiste un potenziale I(u) che governa il problema, tale che:  v I(u) = B(u,v) - Domanda: esistono funzionali differenti dall’energia potenziale totale che governano il problema differenziale e che possono rappresentare una base razionale per lo sviluppo di metodi variazionali approssimati?

prof. Elio SaccoMetodo dei pesi residui 15 Risposta: Si. Esistono funzionali differenti dall’energia potenziale totale che governano il problema differenziale e che possono rappresentare una base razionale per lo sviluppo di metodi variazionali approssimati.