Introduzione alle geometrie a-euclidee e non-euclidee Ancora una riflessione sui concetti operativi

Cosa si intende per geometria Il significato è quello dell’etimologia della parola: gê (gheo) = “terra”, métron = “ misura”. La geometria è una teoria metrica delle superfici e, più in generale, studia le relazioni tra gli oggetti che possono essere manipolati dall’uomo senza distruggerli.

Fino a Kant si è ritenuto che il modo di organizzare la nostra esperienza geometrica fosse codificato nella mente secondo le regole esposte negli elementi di Eulide (IV sec. a.C.)

Gli elementi di Euclide Presentano: definizioni (  ), postulati (  ), nozioni comuni (   ), dimostrazioni. Si fondano sull’esperienza data dalla manipolazione umana.

… ad esclusione del quinto postulato: Date due rette ed una terza retta (trasversale) che le intersechi entrambe, se in uno dei due semipiani individuati dalla trasversale la somma degli angoli coniugati interni è minore di due retti, allora le due rette, prolungate indefinitamente in quel semipiano, si incontreranno.t  

Il quinto postulato ci chiede di accettare un infinito in atto che non può essere verificato con i disegni: chi ci garantisce che, prolungandole all’infinito, le due rette si incontrino? t   Non certo l’esperienza!

Nel corso della storia Diversi geometri cercarono di dimostrare il V postulato partendo dai precedenti. L’ultimo fu Girolamo Saccheri (Sanremo 1667 – Milano 1733) con l’opera “Euclides ab omni naevo vindicatus” (1733)

E le geometrie a- e non- euclidee? Una geometria a-euclidea è una teoria geometrica che nelle sue deduzioni non utilizza il V postulato. Una geometria non-euclidea è una teoria geometrica che utilizza al posto del V postulato di Euclide una proposizione che, con le stesse premesse, chiede (postula) di accettare conseguenze diverse (in contraddizione con) da quelle di Euclide.

??? e il contributo di Saccheri ? Egli ha commesso degli “errori”. Per capirli vediamo di presentare alcune proposizioni equivalenti al V postulato: La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto. Esiste un'unica parallela condotta da un punto dato ad una retta data. L’insieme dei punti equidistanti da una retta è una retta (parallela alla data) … (segue il postulato del birettangolo di Saccheri)

Postulato del birettangolo di Saccheri: “dato un quadrilatero avente due lati congruenti congiunti perpendicolarmente dal terzo lato, allora anche gli altri due angoli sono retti” DC AB

La dimostrazione per assurdo di Saccheri: Saccheri analizza la figura del bi rettangolo ed individua le altre due conseguenze possibili riguardanti gli altri due angoli (congruenti): DC (O) ipotesi dell’angolo ottuso (A) ipotesi dell’angolo acuto AB

Osservazione sul concetto di “linea retta” di Euclide 4 a  : “linea retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti”. 1° postulato: “Dati due punti distinti possiamo tracciare una linea retta” facendo scorrere la matita lungo una corda ben tesa tra essi (tale linea viene ora chiamata geodetica); Al posto di una corda, si potrebbe usare un raggio luminoso che partendo da uno dei due punti illumini l’altro (o anche un qualunque oggetto affidabile nel congiungere “dirittamente” i due punti).

La contraddizione trovata da Saccheri sviluppando l’ipotesi O) deriva dal pensare infinita la linea retta così come richiesto da Euclide nel 2° postulato: “che sia possibile prolungare indefinitamente una linea retta finita (segmento) da ambo le parti”. In realtà esistono linee “diritte”, cioè geodetiche, che, pur essendo illimitate, sono finite: utilizzando una corda tesa tra due punti della superficie di una sfera ci si accorge infatti che non è possibile prolungare indefinitamente la geodetica da essa individuata. La geometria sulla sfera fa a meno del secondo postulato rinunciando anche all’unicità della geodetica passante per due punti distinti (a meno di considerare coincidenti i punti diametralmente opposti).

La contraddizione trovata da Saccheri sviluppando l’ipotesi A) è in realtà una conseguenza che egli ritiene ripugnante per la mente umana: che per un punto P non appartenente ad una retta r si possano tracciare infinite rette ad essa parallele. ci sono 2 P iperparallele o parallele asintoticher

La classificazione di Felix Klein La geometria non-euclidea che si sviluppa dall’ipotesi O) è detta ellittica; quella sferica è un caso particolare in cui la curvatura dello spazio è costante e positiva; La geometria non-euclidea che si sviluppa dall’ipotesi A) è detta iperbolica; quella pseudosferica è un caso particolare in cui la curvatura dello spazio è costante e negativa. La geometria euclidea è detta parabolica; quella del piano è un caso particolare in cui la curvatura dello spazio è nulla. Altri esempi: tutti quelle superfici che, mediante opportuni tagli finiti possono essere sviluppate su un piano (cilindro infinito, toro, nastro di Möebius?)

La pseudosfera

L’esempio della geometria sulla sfera (noi siamo esseri di sphereland)