Fino agli inizi degli anni ‘90 la stragrande maggioranza degli azionamenti utilizzava un motore in corrente continua; tale scelta era, essenzialmente, dovuta alla maggiore facilità connessa alla alimentazione controllata di un avvolgimento in c.c. rispetto a quella di un avvolgimento in c.a.

La situazione è cambiata durante la seconda metà degli anni ’80, infatti, lo sviluppo di nuovi semiconduttori di potenza (in particolare MOSFET e IGBT) ha permesso di realizzare, con costi contenuti, inverter caratterizzati da un elevato grado di affidabilità ed una più elevata frequenza di commutazione. Inoltre lo sviluppo dei microprocessori (DSP e Microcontrollori) ha consentito di impiegare tecniche di controllo molto più sofisticate di quelle tradizionali. Di conseguenza si è ridestato l’interesse verso gli azionamenti con motore in corrente alternata.

I motori sincroni sono alimentati con una tensione alternata trifase e presentano la proprietà di ruotare ad una velocità rigida- mente legata alla frequenza della tensione di alimentazione. Come nei motori in corrente continua, anche nei motori sincroni il flusso può essere prodotto da un avvolgimento di eccitazione o da magneti permanenti.

I motori asincroni, detti anche motori ad induzione, sono alimentati con una tensione, o una corrente, alternata ma, a differenza dei motori sincroni, la loro velocità di rotazione dipende, oltre che dalla frequenza della tensione di alimentazione, anche dalla coppia resistente del carico.

Il circuito elettrico di statore è costituito da un avvolgimento, monofase o trifase, che, nel caso trifase, risulta identico a quello di un motore sincrono a distribuzione spaziale sinusoidale. Il circuito di rotore può essere realizzato mediante un avvolgimento trifase o un circuito (detto a gabbia di scoiattolo) costituito da barre conduttrici trasversali cortocircuitate tra loro mediante appositi anelli. I motori con statore monofase sono in genere di piccola potenza; le loro limitate possibilità di controllo li rendono difficilmente impiegabili in azionamenti a velocità variabile dove, invece, trovano largo impiego i motori asincroni con alimentazione trifase e, in particolare, quelli con rotore a gabbia.

Le macchine in c.a. impiegate negli azionamenti industriali sono, quindi, caratterizzate da: -un circuito di statore costituito da un avvolgimento trifase -un circuito rotorico monofase (macchine sincrone) trifase (macchine asincrone). Macchina sincronaMacchina asincrona

Lo studio del comportamento statico e dinamico dei motori in c.a. è alquanto più complesso e laborioso di quello dei motori in c.c. Basta pensare che invece che da circuiti monofase in corrente continua i motori in c.a. sono caratterizzati da circuiti (di cui almeno uno trifase) in c.a.

Per ottenere dei modelli facilmente utilizzabili, è necessario, quindi, introdurre alcune ipotesi semplificative, che consistono: nel trascurare le eventuali anisotropie presenti nel circuito magnetico; nel considerare il circuito magnetico lineare; nel supporre che tutte le perdite siano dovute solo alle correnti che circolano nei circuiti di statore e di rotore della macchina (si trascurano, quindi, le perdite localizzate nel ferro della macchina).

Lo studio del comportamento dinamico di un circuito trifase è alquanto più complesso rispetto a quello di un circuito monofase. Una notevole semplificazione può essere ottenuta ricorrendo ad una schematizzazione bifase equivalente. La schematizzazione bifase equivalente può, in generale, venire applicata a qualsiasi avvolgimento polifase simmetrico; nel seguito si prenderanno in considerazione solo avvolgimenti trifase.

Si consideri un avvolgimento trifase simmetrico, cioè costituito da tre avvolgimenti monofasi uguali e disposti in modo che i loro assi formino tra loro angoli uguali a 2  /3.

Trascurando le perdite dovute alla variazione del flusso nel circuito magnetico (perdite nel ferro), le tensioni applicate ai singoli avvolgimenti sono legate alle correnti e ai flussi dalle seguenti equazioni differenziali: essendo R t la resistenza di ogni avvolgimento.

Nell’ipotesi di linearità dei circuiti magnetici, i flussi e le correnti sono legati tra loro dalle seguenti relazioni lineari: in cui L t ed M rappresentano, rispettivamente, l’induttanza propria di ogni avvolgimento e la mutua induttanza tra due avvolgimenti.

Il comportamento del circuito è descritto mediante un sistema di tre equazioni differenziali tra loro dipendenti. Tale sistema può essere semplificato ricorrendo alla schematizzazione bifase equivalente, che consente di ottenere un sistema composto da tre equazioni differenziali indipendenti. Il passaggio dalla schematizzazione trifase a quella bifase può essere effettuato impiegando vari approcci; inizialmente si ci limiterà ad applicare una opportuna trasformazione lineare di variabili, definita a priori, successivamente si presenterà una interpretazione fisica della trasformazione e, quindi, un approccio sistemistico.

Nella trasformazione bifase equivalente, le variabili (tensioni, correnti e flussi) sono rappresentate, invece che dalle loro componenti secondo gli avvolgimenti 1, 2 e 3, dalle componenti secondo tre avvolgimenti fittizi ,  e 0. Le componenti di ciascuna variabile, riferite a tali avvolgimenti, sono legate a quelle riferite agli avvolgimenti 1, 2 e 3 dalla seguente trasformazione lineare:

La trasformazione è biunivoca; infatti da x , x  e x  è possibile ricavare le componenti x , x  e x  mediante la seguente trasformazione inversa:

Sostituendo queste espressioni in quelle del modello trifase e moltiplicando ambo i membri di tutte le equazioni per  6, si ottiene:

composto da due avvolgimenti (  e  ) uguali tra loro e disposti secondo due direzioni perpendicolari (quindi, non concatenati tra loro) e da un terzo avvolgimento (0), a sua volta non concatenato con i precedenti. Il nuovo modello coincide con quello che descrive il comportamento del seguente sistema di avvolgimenti

I parametri degli avvolgimenti che compaiono nella rappresentazione bifase sono legati a quelli degli avvolgimenti originari dalle seguenti relazioni. Si può, infine, osservare che, se i tre avvolgimenti 1, 2 e 3 sono collegati a stella senza neutro, la somma delle tre correnti i 1, i 2 e i 3 risulta nulla; pertanto la corrente i 0 è sempre nulla e l’avvolgimento 0 è aperto. Dualmente, nel caso di collegamento a triangolo è la somma delle tensioni v 1, v 2 e v 3 ad essere nulla e l’avvolgimento 0 si trova cortocircuitato.

Pertanto, siccome l’avvolgimento 0 non è concatenato con gli altri due, quando l’avvolgimento trifase è alimentato con solo tre fili (come sempre avviene quando l’alimentazione è ottenuta impiegando un convertitore statico), sia la tensione v 0 che la corrente i 0 sono nulle ed è sufficiente, nella schematizzazione bifase, considerare solo gli avvolgimenti  e .

Il modello bifase equivalente risulta, quindi, costituito dalle seguenti due equazioni differenziali: e dai seguenti legami istantanei tra le componenti del flusso e quelle della corrente:

In questa situazione, inoltre, la trasformazione inversa si semplifica in:

Per ricavare una interpretazione fisica della schematizzazione bifase equivalente, conviene introdurre il concetto di vettore rappresentativo di una grandezza trifase. A tale scopo, si consideri il piano in cui giacciono gli assi dei tre avvolgimenti 1, 2 e 3

Associando, ad ognuna delle componenti secondo i tre avvolgimenti della generica grandezza trifase x (tensione o corrente o flusso), un vettore avente il modulo pari al valore istantaneo della componente, la direzione dell’asse del relativo avvolgimento e il verso positivo o negativo a seconda del segno, la terna di grandezze trifasi (x 1, x 2, x 3 ) può venire, istante per istante, rappresentata dai tre vettori (x 1, x 2, x 3 ). Il vettore x’ pari alla somma vettoriale dei tre vettori x 1, x 2 e x 3, può essere, quindi, considerato come il vettore rappresentativo della grandezza trifase x.

La trasformazione dai valori istantanei x 1, x 2 e x 3 al vettore x’ non è biunivoca; infatti, se si somma a tutte e tre le componenti x 1, x 2 e x 3 un generico termine D x, si ottiene lo stesso vettore rappresentativo x’. Affinché la trasformazione risulti biunivoca, occorre, pertanto, considerare, oltre al vettore x’, uno scalare, x’ 0, pari alla somma scalare dei valori istantanei delle tre componenti, cioè:

Il vettore rappresentativo x’ può essere decomposto nelle sue componenti secondo due assi perpendicolari tra loro. Iin generale si sceglie un sistema di riferimento caratterizzato da una coppia di assi  e  ortogonali tra loro e orientati in modo tale che l’asse  abbia la stessa direzione dell’asse dell’avvolgimento 1.

Confrontando le due trasformazioni:

I due coefficienti sono stati introdotti nella trasformazione bifase equivalente al fine di mantenere, come si vedrà in seguito, uguali le potenze nei due sistemi (trifase e bifase). e si ricava:

Si vuole ora determinare come si modificano le relazioni che legano tra loro le componenti della tensione, della corrente e del flusso quando, invece delle proiezioni dei loro vettori rappresentativi secondo gli assi  e , fissi con l’avvolgimento trifase, si consi- derano le proiezioni secondo due assi ortogonali, d e q, fittizi e rotanti con una velocità angolare  rispetto agli assi  e .

o, equivalentemente:

Sostituendo queste espressioni in quelle del modello bifase equivalente si ottiene:

Si può, quindi, affermare che: è possibile studiare il comportamento di un avvol- gimento trifase ricorrendo ad un circuito equivalente com- posto da una coppia di avvolgimenti,  e , fissi ri- spetto all’avvolgimento trifa- se e ortogonali tra loro, e un avvolgimento 0, che non si concatena con nessuno dei due precedenti.

E’, inoltre, possibile prendere in considerazione le componenti della tensione, della corrente e del flusso secondo due assi ortogonali d e q, fittizi e rotanti con una velocità angolare w qualsiasi rispetto all’avvolgimento reale; in quest’ultimo caso, però, occorre tenere conto dei termini mozionali -  q e  d.

Dalle relazioni si ottiene:

Sostituendo queste espressioni in

si ottiene: essendo:

Come già osservato, l’andamento della variabile di stato relativa ad un avvolgimento dipende anche dalle tensioni applicate agli altri avvolgimenti. Per ottenere un sistema di equazioni tra loro indipendenti, occorre effettuare una trasformazione di variabili; in particolare, indicate con il pedice b le variabili relative al sistema trasformato, si può impiegare la seguente trasformazione: in cui la matrice non singolare C deve essere tale da rendere diagonale la matrice

con , k 1 e k 2 costanti qualsiasi. E’ facile verificare che tale condizione è soddisfatta se si sceglie per la matrice C la seguente struttura:

Infatti, scegliendo tale matrice di trasformazione, si ottiene: e

scegliendo: la matrice C diventa ortogonale:

Se la matrice di trasformazione C è ortogonale, il prodotto C T C = C -1 C risulta pari alla matrice identità per cui: La potenza P b nel sistema bifase è pari a:

Infine, scegliendo  = 0, la trasformazione di variabili coincide con quella già utilizzata

La trattazione presentata può essere estesa anche al caso in cui l’angolo  non sia costante. In questo caso, indicando con il pedice r le nuove variabili, si ha: Si ottiene, quindi: con

Avendo scelto: la derivata di  rispetto al tempo è pari a  inoltre Il modello così ottenuto coincide, quindi, con quello precedentemente ricavato.

Trasformazione bifase Quando l’alimentazione è con solo tre conduttori si ha: x 0 =0

La trasformazione inversa si semplifica in:

Il modello bifase equivalente risulta, quindi, costituito dalle seguenti due equazioni differenziali: e dai seguenti legami istantanei tra le componenti del flusso e quelle della corrente:

Assi rotanti

Quando un avvolgimento trifase è alimentato con una terna simmetrica di tensioni sinusoidali si ha:

Applicando la trasformazione bifase equivalente, si ottiene: Due tensioni sfasate di 90° e di ampiezza pari a cioè pari al valore efficace della tensione concatenata.

Assumendo, quindi, un sistema di riferimento ruotante, rispetto agli assi fissi, con una velocità angolare pari alla pulsazione  a delle tensioni di alimentazione ed indicato con  0 l’angolo che l’asse d forma con l’asse  nell’istante iniziale t = 0, si ricavano le seguenti espressioni delle tensioni v d e v q : cioè due tensioni costanti.

Conseguentemente, nel funzionamento a regime permanente, anche le componenti delle correnti e dei flussi, riferite agli stessi assi, saranno costanti; a regime, quindi, i vettori rappresentativi di tutte le grandezze trifasi sono caratterizzati da un modulo ed una fase costanti. E’, pertanto, possibile effettuare una rappresentazione polare delle grandezze elettromagnetiche relative all’avvolgimento. La rappresentazione polare è del tutto analoga alla rappresentazione con fasori, utilizzata in Elettrotecnica per studiare il comportamento a regime permanente di un circuito elettrico lineare con alimentazione sinusoidale.

Sulla base di tale analogia, vari Autori utilizzano, per rappresentare le grandezze trifasi, la dizione fasore invece che quella di vettore rappresentativo; occorre, comunque, notare che, la rappresentazione a fasori è impiegata in Elettrotecnica per analizzare il comportamento a regime permanente e con alimentazione sinusoidale mentre quella con i vettori rappresentativi delle grandezze trifasi può essere utilizzata anche per analizzare il comportamento transitorio e non implica andamenti sinusoidali delle grandezze elettromagnetiche.

Se, poi, l’angolo  0 viene scelto uguale a  0, si ottiene: Asse diretto orientato secondo la direzione del vettore di tensione.

Occorre, infine, osservare che spesso l’avvolgimento statorico delle macchine in corrente alternata è realizzato in modo da presentare più coppie di poli. Quando il numero p di coppie polari è diverso dall’unità, ad ogni periodo della tensione di alimentazione il suo vettore rappresentativo compie una rotazione pari all’angolo giro diviso per il numero di coppie polari. Per semplificare l’impiego della trasformazione da assi fissi ad assi rotanti è, allora, conveniente fare riferimento ad un avvolgimento equivalente, realizzato con una sola coppia di poli;

In questo avvolgimento equivalente, il vettore rappresentativo della tensione statorica compie un giro ad ogni periodo, cioè ruota con una velocità angolare pari a p volte quella effettiva. La velocità di rotazione dei vettori rappresentativi, riferiti all’avvolgimento equivalente con una sola coppia di poli, sarà indicata come velocità elettrica ed espressa in radianti elettrici al secondo; la dizione velocità elettrica si giustifica con la considerazione che, quando l’alimentazione è sinusoidale, questa risulta coincidente con la pulsazione dell’alimentazione.