INTRODUZIONE Il progetto è rivolto ad alunni che frequentano il biennio del Liceo Scientifico, gli argomenti affrontati sono di notevole importanza per gli studi successivi, sono sviluppati sia algebricamente sia graficamente, utilizzando tutte le risorse multimediali disponibili, dalla LIM, al WEB, ai CDD, ai programmi applicativi quali Geogebra o Cabrì, al Notebook, alla Piattaforma di Fruizione ed infine i libri di testo.

 Prerequisiti: Scomposizione di un polinomio Frazioni algebriche Operazioni con le frazioni algebriche Grafico della retta Obiettivi  Conoscere e saper riconoscere un equazione algebrica di primo grado.  Conoscere il concetto d’identità  Conoscere il concetto di grado.  Conoscere i principi di equivalenza  Saper risolvere algebricamente un’equazione di primo grado

EQUAZIONI LINEARI Perchè bisogna saper risolvere delle equazioni? Perché le equazioni servono a risolvere dei problemi! Un problema è una proposizione che richiede di determinare i valori di alcune grandezze (dette “incognite”) che abbiano relazioni con altre grandezze (dette “dati”) di cui siano noti i valori Un problema si dice possibile se esistono valori dell’incognita che verificano le condizioni poste. Questo insieme di valori si dice soluzione del problema Perchè bisogna saper risolvere delle equazioni?

DAL PROBLEMA … … ALL’EQUAZIONE IL PROBLEMA DATI INCOGNITA SOLUZIONE RAPPRESENTABILE CON DUE DIVERSE ESPRESSIONI CONTENENTI I DATI E L’ INCOGNITA LE DUE ESPRESSIONI DEVONO ESSERE UGUALI Se si toglie 1 al triplo di un numero, si ottiene il doppio dello stesso numero aumentato di 3. Determinare questo numero. Prima espressioneSeconda espressione Dato il numero: x Prenderne il triplo: 3x Togliere 1: 3x-1 Dato il numero: x Prenderne il doppio: 2x Aggiungere 3: 2x+3 3x-1=2x+3 3x-2x=3+1 X=4 equazione

UGUAGLIANZE TRA ESPRESSIONI A = B PRIMO MEMBRO DELL’UGUAGLIANZA SECONDO MEMBRO DELL’UGUAGLIANZA UGUAGLIANZA POSSIBILEIMPOSSIBILE IDENTITA’DETERMINATA Qualunque siano i valori attribuiti alle lettere purché non facciano perdere il significato ad almeno una di esse S=D Se è verificata solo da particolari valori attibuiti alle lettere Quando la soluzione non esiste S=Ø

EQUAZIONI Date due espressioni algebriche A e B, delle quali almeno una contenga una lettera detta incognita, si dice equazione ad una incognita un’uguaglianza: A = B scritta per stabilire l’esistenza di valori assunti dall’incognita che rendano l’uguaglianza un’uguaglianza numerica vera e per determinare, in caso affermativo, tali valori. L’incognita si indica, di solito, con una delle ultime lettere dell’alfabeto. … x, y, z,…

Gli eventuali valori dell’incognita che fanno assumere valori uguali ai due membri dell’equazione si dicono soluzioni (o radici) dell’equazione L’insieme S di tutte le soluzioni si chiama insieme soluzione, o insieme delle soluzioni Risolvere un’equazione significa stabilire se ammetta o meno soluzioni e, in caso affermativo, determinarle In altre parole significa trovare S L’ insieme D dei valori per i quali hanno significato entrambe le espressioni A(x) e B(x), si chiama dominio dell’equazione

EQUAZIONE DETERMINATA EQUAZIONE IMPOSSIBILE IDENTITA’ X²-1=0 X=-1X=1 X=-1 1 = X Le due frazioni hanno lo stesso denominatore e pertanto, per essere uguali, devono avere lo stesso numeratore. Questo implica che deve essere x=1, ma tale valore annulla il denominatore di entrambe le frazioni. IMPOSSIBILE (X+1)(X-1)=X²-1 Come è noto, il prodotto (X+1)(X-1) da x²-1; pertanto il primo e il secondo membro danno, per ogni x, lo stesso valore TUTTI gli x APPARTENENTI a Q

CLASSIFICAZIONE delle EQUAZIONI RISPETTO ALLE SOLUZIONI … DETERMINATA IMPOSSIBILEIDENTITA’ RISPETTO ALLA FORMA ALGEBRICA … INTERA Se tutti i termini sono interi rispetto all’incognita FRAZIONARIA Se l’incognita compare almeno in un denominatore RISPETTO AI COEFFICIENTI … NUMERICA Se, oltre all’incognita, contiene solo numeri LETTERALE Se, oltre all’incognita, contiene altre lettere da considerare costanti

PRINCIPI DI EQUIVALENZA PRINCIPIO DI ADDIZIONE Se si aggiunge ai due membri di un’equazione uno stesso numero (o una stessa espressione che abbia sempre Significato), si ottiene un’ equazione equivalente a quella data A(x)=B(x) A(x)+M(x)=B(x)+M(x) Se ad ambo i membri dell’equazione: 3x + 5 = 2 + x 2 Aggiungiamo il numero 7, otteniamo l’equazione: 3x = 2 + x Se ad ambo i membri dell’equazione: 2x + 7 = 3 + x 2 Aggiungiamo l’espressione intera -9 x 2 +5 otteniamo l’equazione: 2x x 2 +5 = 3 + x 2 -9 x 2 +5

PRINCIPIO DEL TRASPORTO – Se si trasportano alcuni termini di un’equazione da un membro all’altro cambiandone il segno, si ottiene un’equazione equivalente Nell’equazione: 4x+5 = 2x + 7 Trasportiamo +5 al secondo membro cambiando il segno : 4x+5-5 = 2x+7-5 E giacché +5-5=0, si ha: 4x = 2x+7-5 COROLLARIO 1:

SOPPRESSIONE DI TERMINI UGUALI – Se nei due membri di un’equazione compare uno stesso termine, questo termine può essere soppresso in entrambi i membri. COROLLARIO 2: Nell’equazione: x+3x = 2 + 3x Si sottrae nei due membri il termine comune 3x : x = 2

COROLLARIO 3: RIDUZIONE DI UNO DEI MEMBRI A ZERO – Un’equazione si può sempre ridurre ad un’altra equivalente nella quale uno dei membri sia zero. L’equazione: 3x-4= 2x 2 -x 3 E’ equivalente all’equazione: 3x-4- 2x 2 +x 3 = 0 ottenuta addizionando ai due membri - 2x 2 +x 3

PRINCIPIO DI MOLTIPLICAZIONE E CONSEGUENZE Moltiplicando o dividendo i due membri di un’equazione per uno stesso numero (o una stessa espressione algebrica che non perda significato e che non si annulli mai), si ottiene un’ equazione equivalente a quella data. A(x)=B(x) A(x)∙M(x)=B(x)∙M(x) Se ambo i membri dell’equazione: 2x + 3 = 5 - x Li moltiplichiamo per il numero 3, otteniamo l’equazione: 6x + 9 = 15 -3x Equivalente alla precedente Se ambo i membri dell’equazione: 2x + 3 = 5 - x Li moltiplichiamo per 1/2, otteniamo l’equazione: x + 3 / 2 = 5 / / 2 x Equivalente alla precedente

CAMBIAMENTO DEL SEGNO CAMBIAMENTO DEL SEGNO – Si può cambiare il segno a tutti i termini presenti nei due membri di un’equazione ottenendone un’altra equivalente a quella data. Nell’equazione: -2x+3 = x-4 cambiando il segno ( che equivale a moltiplicare ogni membro per -1): Otteniamo: 2x-3 = -x+4 COROLLARIO 1:

DIVISIONE PER UN DIVISORE COMUNE DIVISIONE PER UN DIVISORE COMUNE – Se tutti i termini dei due membri di un’equazione sono divisibili per uno stesso numero, si può sostituire, all’equazione data, un’equazione equivalente più semplice, ottenuta dividendone tutti i termini per questo divisore comune. Nell’equazione: 16x+12 =4(x-3)-20 dividiamo tutti i termini per 4 e otteniamo un’equazione equivalente più semplice 4 x+3 = x-3-5 COROLLARIO 2:

MOLTIPLICAZIONE PER UN MULTIPLO COMUNE MOLTIPLICAZIONE PER UN MULTIPLO COMUNE – Se in un’equazione sono presenti frazioni in cui l’incognita non compare a denominatore, si può sostituire, all’equazione data, un’equazione equivalente (i cui termini sono tutti interi) ottenuta moltiplicando i due membri per un multiplo comune di tutti i denominatori. Data l’equazione: x / / 3 -3x = 1 / 4 moltiplichiamo tutti i termini per 12 che è il m.c.m. dei denominatori ed otteniamo un’equazione equivalente più semplice, priva di denominatori 6 x +4-36x = 3 COROLLARIO 3:

FORMA NORMALE E GRADO DI UN’ EQUAZIONE Se, nell’ equazione P(x)=0, il polinomio P(x) è ridotto a forma normale, si dice che l’equazione è ridotta a forma normale Il grado del polinomio P(x) si dice grado dell’ equazione IN PRATICA … Per trovare il grado di un’ equazione numerica intera, occorre scriverla in forma normale: il suo grado è il grado del polinomio che costituisce il primo membro.

EQUAZIONI LINEARI in UNA INCOGNITA Un’ equazione in una sola incognita x è di 1° grado (o lineare) quando, scritta in forma normale, si riduce ad un binomio di grado 1 nell’incognita x uguagliato a zero. ax = b Coefficiente dell’incognita Termine noto Incognita Termine incognito a = 0 b = 0b ≠ 0 Equazione di 1° grado effettivo Dividendo i due membri per a si Ottiene b / a che è anche la soluzione Dell’equazione data e poiché il Quoziente dei due numeri è unico un’equazione di 1° grado ha una ed una sola soluzione a ≠ 0 Equazione di 1° grado apparente Il termine incognito è denticamente nullo Equazione è identica Essendo verificata per qualunque valore assegnato ad x 0 ∙ x = 0 equazione identica Equazione è impossibile Non potendo essere verificata Da alcun valore assegnato ad x 0∙ x = b, con b ≠ 0 equazione impossibile Se…

RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DI 1° GRADO IN UN UNA INCOGNITA Si effettuano se sono presenti, i prodotti indicati; Si libera l’equazione dagli eventuali denominatori; Si riuniscono i termini che contengono l’incognita in un membro ed i termini noti nell’altro; Si riducono i termini simili in ciascun membro. A questo punto si possono presentare due casi Il coefficiente dell’incognita è diverso da zero In questo caso, si dividono i due membri dell’equazione per il coefficiente dell’incognita e si ottiene così un valore che risulta soluzione dell’equazione proposta se, sostituito in essa al posto dell’incognita ed effettuati tutti i calcoli indicati, si ottengono risultati uguali nei due membri Il coefficiente dell’incognita è nullo In questo caso, l’equazione è: - un’identità se anche il termine noto è nullo; - impossibile se il termine noto è diverso da zero.

INTERPRETAZIONE GRAFICA DEI SISTEMI LINEARI INTERPRETAZIONE GRAFICA DEI SISTEMI LINEARI a / a 1 ≠ b / b 1 Il sistema ammette una e una sola soluzione e le rette sono INCIDENTI y=2x-1 e 3x+2y-12=0 le coordinate del punto d’incontro sono la soluzione del sistema a due incognite. Risolvendo si ha l’unica soluzione: x=2 y=3 Il punto di incontro delle due rette è dunque: P(2,3) y x O2 3 P

a / a 1 = b / b 1 ≠ c / c 1 Il sistema è impossibile e le rette sono PARALLELE E DISTINTE Le rette di equazioni 2x+4y-1=0 e 4x+4y+1=0 sono PARALLELE E DISTINTE perché 2 / 4 = 4 / 8 ≠ -1 / 1 y x O

a / a 1 = b / b 1 = c / c 1 Il sistema è indeterminato e le rette sono COINCIDENTI Le rette di equazioni 3x+2y-1=0 e 6x+4y-2=0 sono COINCIDENTI perché 3 / 6 = 2 / 4 = -1 / -2 y x O

EQUAZIONI FRAZIONARIE Le equazioni frazionarie, cioè quelle che presentano l’incognita in qualche denominatore, si risolvono come le equazioni intere, con la necessità però di liberarle dai denominatori. Per fare ciò è necessario moltiplicare ambo i membri dell’equazione per un multiplo comune dei denominatori, che è un’espressione M(x) che contiene l’incognita. A questo punto si possono presentare due casi 1 1 – L’espressione M(x) non si annulla per alcun valore della x In questo caso, per il principio di moltiplicazione, l’equazione che si ottiene è equivalente all’equazione data. 2 2 – L’espressione M(x) si annulla per qualche valore della x In questo caso, fra le soluzioni della nuova equazione, si possono accettare solo quelle che non annullano M(x), ovvero quelle che non annullano alcun denominatore all’equazione data. I valori che annullano M(x) si dicono vietati all’incognita I valori per i quali hanno significato tutti i termini dell’equazione formano il Dominio D Le condizioni che determinano il dominio si chiamano condizioni di accettabilità

EQUAZIONI LETTERALI Le equazioni letterali sono quelle che oltre all’incognita presentano altre lettere a, b, c, …, che si dicono parametri e che si suppone rappresentino valori noti. Risolvere un’ equazione letterale equivale a risolvere le infinite equazioni numeriche che essa rappresenta, ciascuna delle quali si ottiene assegnando, ad ogni lettera, un determinato valore numerico È importante ricordare che: Il valore letterale assegnato alle lettere non deve far perdere significato a qualche termine dell’equazione; gli eventuali valori dei parametri per i quali l’equazione risulti impossibile o identica devono essere specificati.

ESPRESSIONI ALGEBRICHE Equazioni Numeriche Intere o Fratte Equazioni lineari ax = b Indeterminate Sistemi di equazioni lineari Letterali Intere o Fratte Impossibili Determinate Disequazioni Numeriche Intere o Fratte Disequazioni lineari ax ‹ b Indeterminate Sistemi di disequazioni lineari Letterali Intere o Fratte Impossibili Determinate Unite dal segno = sono Unite dai segni ‹,›, ≤,≥, sono Algebra lineare

Esercizi Test

Grazie all’alunno Antonio Rispoli per aver collaborato con noi e a tutti gli studenti che hanno partecipato a questo progetto dando sempre validi contributi. GRAZIE PER LA CORTESE ATTENZIONE