Fausto Borgonovi Dal Caos alla Complessità Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Cattolica BRESCIA Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, PAVIA

Ordine e Caos

Modelli e realtà  La Fisica e l’importanza dei modelli  I modelli e la realtà  Il linguaggio della natura  Il ruolo del fisico

Il punto di vista di Boltzmann

La Meccanica di Newton

Il Sogno deterministico di Laplace  Come può esserci Caos in un mondo deterministico?

Poincarè e la nonlinearità  I sistemi buoni e quelli cattivi  Integrabilità e Non- integrabilità  Il problema dei tre corpi di Poincarè  La nascita della complessità

La dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali

Il coefficiente di Lyapunov

Il crollo della fiducia nel meccanicismo

Un esempio fisico : il biliardo

Effetto Butterfly UUUUn’altra possibile fonte di caos è costituita dalla mancanza di una conoscenza effettiva di tutte le forze in gioco. LLLLa realtà viene semplificata e ridotta a modello matematico di cui sono note le soluzioni, ma può accadere che l’aggiunta di una piccola perturbazione le cambi in modo radicale

 La presenza delle interazioni non lineari provoca una dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, quindi anche una piccola perturbazione può avere un effetto molto grande pur di aspettare un tempo sufficientemente lungo. La sua esistenza rappresenta una verifica a posteriori della bontà del nostro modello.

La standard map

Dal microscopico al macroscopico : l’emergenza dei moti collettivi  1. Possono le leggi microscopiche dare origine a quelle macroscopiche?  2. Possono le equazioni microscopiche reversibili originare l’irreversibilità macroscopica?  3. Possono i moti disordinati microscopici originare le strutture ordinate macroscopiche?

Dalla Meccanica Newtoniana alla Termodinamica

Reversibilità ed Irreversibilità

Strutture ordinate sperimentali (Patterns)

Strutture ordinate matematiche: l’equazione di Ginzburg-Landau

Strutture turbolenti

Solidificazione di una lega organica tra due lastre di vetro

Frattali

Nuovi stati della materia : vetri, grani

Il punto di vista di Von Neumann

Conclusioni La realtà fisica può essere descritta convenientemente da modelli matematici. Il modello matematico ha necessariamente dei limiti che non possono essere estrapolati liberamente alla complessa realtà fisica.   Al determinismo “matematico” delle equazioni di Newton fa riscontro l’indeterminismo della realtà fisica. Ciò è spiegabile anche in termini matematici.   Il Caos non ci complica la vita, al contrario rende possibile un’analisi probabilistica dei sistemi complessi. In questo modo anche sistemi costituiti da poche particelle ma caotici possono essere analizzati in termini statistici.

Grazie per l’attenzione