Raccogliamo x al primo membro e 2 al secondo: Equazioni risolvibili per scomposizione Ogni equazione polinomiale del tipo E(x) = 0 di grado n > 2 si può risolvere solo se il polinomio E(x) è scomponibile in fattori al più di secondo grado; in tal caso, per trovare le soluzioni, si applica la legge di annullamento del prodotto. ESEMPIO Raccogliamo x al primo membro e 2 al secondo: Trasportiamo tutti i termini al primo membro: Raccogliamo (x2 − 8) a fattor comune: Applichiamo la legge di annullamento del prodotto: continua

Risolvendo la prima equazione otteniamo: Equazioni risolvibili per scomposizione Risolvendo la prima equazione otteniamo: Risolvendo la seconda otteniamo: L’insieme delle soluzioni è quindi:

Equazioni reciproche L’equazione E(x) = 0, dove E(x) è un polinomio di grado n, si dice reciproca se i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti uguali oppure opposti. Esempi: Coefficienti opposti Coefficienti uguali Coefficienti opposti

Equazioni reciproche Un’equazione reciproca di terzo grado E(x) = 0 ammette: la soluzione 1 se i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti opposti: ax3 + bx2 − bx − a = 0 soluzione 1 la soluzione −1 se i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti uguali: ax3 + bx2 + bx + a = 0 soluzione −1 le altre soluzioni si ottengono scomponendo E(x) in fattori Il nome “reciproca” deriva dal fatto che se l’equazione ammette soluzione k, ammette anche soluzione 1 k

Equazioni reciproche ESEMPIO Sappiamo che E(1) = 0; per determinare le altre soluzioni dividiamo il polinomio E(x) per (x − 1) con la regola di Ruffini e calcoliamo il polinomio quoziente. 3 −13 13 −10 −3 1 Dobbiamo risolvere l’equazione L’insieme delle soluzioni è Come puoi notare oltre alla soluzione 1, abbiamo trovato i due valori reciproci

x + 1 e per x − 1, e risolvendo poi l’equazione Q(x) = 0. Equazioni reciproche Un’equazione reciproca di quarto grado E(x) = 0, nella quale il termine centrale di secondo grado è nullo e nella quale i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti opposti, ammette sia la soluzione +1 che la soluzione −1. ax4 + bx3 − bx − a = 0 soluzioni −1 e +1 Le altre soluzioni si determinano calcolando il polinomio quoziente Q(x), ottenuto dividendo E(x) per x + 1 e per x − 1, e risolvendo poi l’equazione Q(x) = 0.

Equazioni reciproche ESEMPIO Per la forma assunta dall’equazione, sappiamo che E(1) = 0 ed anche che E(−1) = 0. Determiniamo il quoziente della divisione di E(x) per (x − 1) e (x + 1): 12 −13 −12 25 −1 −25 1 continua

Equazioni reciproche Risolviamo l’equazione Dunque Anche in questo caso puoi notare che a S appartengono le soluzioni reciproche e .

Equazioni binomie Un’equazione si dice binomia se si può scrivere nella forma dove n è un intero positivo e k un numero reale. Per risolvere un’equazione binomia si applica la definizione di radicale: se n è pari l’equazione ammette: due soluzioni opposte se k ≥ 0 : nessuna soluzione se k < 0 se n è dispari l’equazione ammette: una sola soluzione per qualsiasi valore di k :

1. 2. Equazioni binomie ESEMPI Se calcoliamo la radice cubica di entrambi i membri otteniamo: cioè ossia 2. Se calcoliamo la radice quarta di entrambi i membri otteniamo: cioè ossia

Equazioni trinomie Un’equazione si dice trinomia se si può scrivere nella forma dove n è un intero positivo e gli esponenti dell’incognita sono uno il doppio dell’altro. Per risolvere l’equazione trinomia ax2n + bxn + c = 0 si opera la sostituzione di variabile xn = t si risolve l’equazione di secondo grado in t così ottenuta at2 + bt + c = 0 Indicate con t1 e t2 le due soluzioni, se esistono reali, si risolvono le due equazioni binomie xn = t1 ∨ xn = t2

Equazioni trinomie ESEMPIO Risolviamo l’equazione Essendo n = 2 l’equazione è biquadratica. Risolviamo ora l’equazione ottenuta nell’incognita t: Operando la sostituzione x2 = t otteniamo 2t2 − t − 3 = 0 Operando poi la sostituzione inversa si ha: impossibile da cui Dunque

Equazioni irrazionali Si dice irrazionale un’equazione che contiene radicali nei cui argomenti compare l’incognita. sono equazioni irrazionali e Esempi: non sono equazioni irrazionali e Per risolvere un’equazione irrazionale bisogna eliminare i segni di radice e per far questo è necessario elevare a potenza i due membri dell’equazione. Ricordiamo che: Non esiste un principio di equivalenza che afferma che l’equazione A(x) = B(x) è equivalente all’equazione [A(x)]n = [B(x)]n per qualsiasi valore di n. Si può affermare che: un elevamento di entrambi i membri di un’equazione a potenza pari non conduce in generale a un’equazione equivalente a quella data un elevamento di entrambi i membri di un’equazione a potenza dispari conduce sempre a un’equazione equivalente a quella data.

Equazioni irrazionali Le equazioni irrazionali con un solo radicale possono essere ridotte alla forma: Il caso n dispari Se n è dispari, basta elevare a potenza n entrambi i membri; il caso più frequente è quello in cui n = 3: ESEMPIO Isoliamo il radicale al primo membro: Eleviamo al cubo e svolgiamo i calcoli: Scomponiamo:

Equazioni irrazionali Il caso n pari Se n è pari, e il caso più frequente è n = 2, abbiamo a disposizione due metodi risolutivi: Primo metodo Secondo metodo Risolvere l’equazione Risolvere il sistema Procedere alla verifica delle soluzioni

Equazioni irrazionali ESEMPIO Primo metodo Secondo metodo Eleviamo al quadrato: Per la condizione di equivalenza deve essere e questo insieme rappresenta l’insieme di accettabilità delle soluzioni. L’equazione polinomiale che si ottiene elevando al quadrato è la stessa del primo metodo. Delle due soluzioni trovate non è accettabile perché non è maggiore di La sola soluzione è quindi . Sviluppiamo i calcoli: Risolviamo: Verifichiamo sostituendo nell’equazione: non è soluzione è soluzione

Equazioni irrazionali Equazioni con due o più radicali ESEMPIO Si eleva una prima volta al quadrato: Si svolgono i calcoli e si isola il radicale: Si eleva una seconda volta al quadrato: Si trova la soluzione: Si verifica: Come metodo alternativo si può determinare l’insieme di esistenza dell’equazione e, ad ogni passaggio di elevamento a potenza, trovare le condizioni di concordanza di segno.

Equazioni irrazionali Equazioni con i radicali al denominatore ESEMPIO Imponiamo le condizioni di esistenza dei radicali: cioè Riduciamo l’equazione in forma intera: Isoliamo il radicale: Le soluzioni saranno accettabili se: Eleviamo al quadrato e risolviamo: La soluzione trovata appartiene all’insieme di accettabilità, quindi

Disequazioni irrazionali Le disequazioni sono equivalenti rispettivamente a ESEMPIO continua Eleviamo al cubo entrambi i membri: Svolgiamo i calcoli e risolviamo: Primo fattore: Secondo fattore: Sempre positivo

Disequazioni irrazionali ESEMPIO Tabella dei segni 3 R + − Soluzione

Disequazioni irrazionali La disequazione è equivalente ai due sistemi Se E1 è l’insieme delle soluzioni del primo sistema e E2 è l’insieme delle soluzioni del secondo, l’insieme delle soluzioni della disequazione è

Disequazioni irrazionali ESEMPIO Impostiamo i due sistemi:

Disequazioni irrazionali La disequazione è equivalente al sistema

Disequazioni irrazionali ESEMPIO Impostiamo il sistema

Sistemi non lineari Un sistema è non lineare se almeno una delle sue equazioni è di grado superiore al primo. In particolare: in un sistema di secondo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di secondo; in un sistema di terzo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di terzo; Per risolvere un sistema non lineare si applicano i principi di sostituzione e di riduzione. Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad una incognita la sua espressione ricavata da un’altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (tutte o solo alcune) e si sostituisce l’equazione ottenuta ad una di esse, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Sistemi di due equazioni Se nel sistema è presente un’equazione di primo grado, conviene ricavare l’espressione di una delle incognite da tale equazione e sostituire poi nell’altra. ESEMPIO 1° grado 2° grado Si tratta di un sistema di terzo grado. Ricaviamo una delle incognite dall’equazione di primo grado, ad esempio la y, e sostituiamo il valore ottenuto nell’altra. continua

Sistemi di due equazioni Il polinomio di terzo grado al primo membro della seconda equazione può essere scomposto in fattori mediante la regola di Ruffini, tenendo presente che è P(−1) = 0 4 −33 -28 −4 37 9 −9 −1 −37 Le sue soluzioni sono continua

Sistemi di due equazioni Risostituendo i valori trovati nell’espressione di y otteniamo le tre coppie soluzioni del sistema Quindi

Sistemi simmetrici Si dice simmetrico un sistema di due equazioni nelle due incognite x e y che rimane invariato se x si scambia con y. Se un sistema simmetrico ammette come soluzione la coppia (a, b), allora ammette anche la coppia (b, a). Un sistema simmetrico di secondo grado è sempre riconducibile alla forma dove s e p sono numeri reali. Questo sistema è il modello algebrico di un problema che abbiamo già affrontato nel capitolo relativo alle equazioni di secondo grado: trovare due numeri x e y conoscendo la loro somma s ed il loro prodotto p.

Sistemi simmetrici Applicando il metodo di sostituzione Un sistema simmetrico di questo tipo si può quindi risolvere: Utilizzando l’equazione di secondo grado associata

Ricava x dalla prima equazione Sistemi simmetrici ESEMPIO (metodo 1) Ricava x dalla prima equazione e sostituisci Calcola ∨ L’equazione di secondo grado ha soluzioni −1 e 5

∨ Sistemi simmetrici ESEMPIO (metodo 2) Risolvere il sistema significa trovare le coppie di numeri che hanno somma −2 e prodotto −15. Impostiamo allora l’equazione ausiliaria le cui soluzioni sono ∨ Allora le soluzioni del sistema sono le coppie ordinate (x, y) tali che cioè

Sistemi simmetrici Se il sistema simmetrico è di grado superiore al secondo ci si deve ricondurre alla forma canonica del sistema simmetrico di secondo grado. Per far questo può essere utile ricordare le seguenti uguaglianze:

Sistemi simmetrici ESEMPIO Il sistema è simmetrico di terzo grado. Per risolverlo dobbiamo usare la seconda delle uguaglianze ricordate e scriverlo in questo modo: Sostituendo −6 al posto di x + y nella prima equazione, otteniamo il sistema continua

∨ Sistemi simmetrici Risolviamo l’equazione associata Le soluzioni reali del sistema sono le coppie ordinate (x, y) tali che ∨ cioè