Ancora sulle equazioni di secondo grado….

Equazione di secondo grado completa Relazione tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado

Determinare due numeri conoscendone la somma e il prodotto

Problemi di natura geometrica di secondo grado –Esempio 1

Problemi di natura geometrica di secondo grado – Esempio 2

Equazioni in più incognite

Equazioni di primo grado a due incognite

Prende il nome di equazione di primo grado a due incognite una equazione contenente due variabili con esponente pari a uno. Ad esempio è una equazione di primo grado in due incognite:

Equazioni di primo grado a due incognite La soluzione di una equazione di primo grado a due incognite è data da una coppia di valori che sostituiti alla x e alla y soddisfano l’equazione stessa ossia determinano che il primo membro sia eguale al secondo membro dell’equazione stessa. La soluzione si rappresenta con una coppia di numeri separati da un punto e virgola. Il primo elemento della coppia è il valore da attribuire alla lettera x mentre il secondo elemento è il valore da attribuire alla lettera y.

Equazioni di primo grado a due incognite Ad esempio nel caso una soluzione è data da (12; 2) in quanto è immediato verificare che:

Equazioni di primo grado a due incognite Una equazione di primo grado a due incognite se ammette una soluzione ne ammette infinite. Ad esempio nel nostro caso altre soluzioni saranno:

I sistemi di primo grado in due incognite

Prende il nome di sistema di primo grado in due incognite un insieme di due equazioni di primo grado in due incognite che devono essere risolte simultaneamente. Risolvere un sistema significa trovare la coppia di valori x e y che, sostituita alle incognite, rende le equazioni delle identità. Un esempio di questo tipo di sistemi è dato da: la soluzione di questo sistema sarà data da quella coppia di numeri che sostituiti alle due incognite soddisfano simultaneamente le due equazioni.

I sistemi di primo grado in due incognite Nel nostro caso la soluzione sarà data dalla coppia (0; 1) infatti:

La ricerca delle soluzioni dei sistemi di primo grado

Un sistema di primo grado in due incognite potrà avere: o una sola soluzione o nessuna soluzione e si dirà quindi impossibile o infinite soluzioni e si dirà allora indeterminato

La ricerca delle soluzioni dei sistemi di primo grado La ricerca delle soluzioni di un sistema di primo grado in due incognite può essere effettuata attraverso vari metodi, dopo aver però ridotto il sistema in forma normale ossia scritto nella forma:

La ricerca delle soluzioni dei sistemi di primo grado Vari metodi …… 1. metodo dei determinati 2. metodo di addizione e sottrazione 3. metodo di sostituzione 4. metodo del confronto

Metodo dei determinanti Prima di trovare la soluzione di un sistema lineare con il metodo dei determinanti vediamo come calcolare un determinante di ordine due. Un determinante non è altro che un numero ottenuto da altri 4 numeri scritti nel seguente modo: il suo valore sarà sempre dato dal prodotto dei numeri della diagonale principale meno il prodotto dei numeri della diagonale secondaria, ossia nel nostro caso da:

Metodo dei determinanti Il metodo dei determinanti è molto meccanico: tale procedimento sarà sempre lo stesso per ogni tipo di sistema da risolvere…..cambieranno solamente i numeri.

Metodo dei determinanti Si costruiscono tre determinanti di due righe per due colonne; il primo, , contiene i coefficienti delle incognite; nel secondo,  x, bisogna sostituire i coefficienti della x con il termine noto, e analogamente per  y e y. Calcolo dei determinanti:

Metodo dei determinanti Risolvere il seguente sistema: Dobbiamo allora calcolare il determinante principale che si ottiene con i coefficienti delle x e delle y scritti esattamente come nel sistema principale

Metodo dei determinanti

Il metodo dei determinanti è detto anche Metodo di Cramer

Metodo di sostituzione Tale metodo consiste nel trovare il valore di una incognita da una delle due equazioni e di sostituirne il valore nell’altra. In questo modo si ottiene una equazione di primo grado in una incognita che sappiamo risolvere. Vediamo il seguente esempio: Dalla prima equazione ricaviamo la x ottenendo: che sostituita nella seconda da:

Metodo di sostituzione Abbiamo ottenuto una equazione in una variabile la y che possiamo risolvere nel seguente modo:

Metodo di sostituzione Il valore della x sarà dato da: La soluzione del sistema è quindi

Metodo di sostituzione Questo è il metodo concettualmente più semplice, ma talvolta antipatico da applicare. Si risolve un’equazione rispetto a un'incognita e si sostituisce l'espressione trovata nell’altra. Alla fine abbiamo un’equazione in una sola incognita e possiamo risolverla.

Metodo del confronto Questo metodo è analogo al precedente. Si avvale del principio che se a = b e b = c, allora a = c. Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa variabile, e poi si pongono uguali i secondi membri.

Metodo del confronto Questo metodo consiste nel ricavare la stessa incognita dalle due equazioni e farne l’uguaglianza. Si ottiene in questo modo una equazione di primo grado in una sola variabile che sappiamo risolvere. Esempio: Ricaviamo la lettera x dalle due equazioni ottenendo:

Metodo del confronto Uguagliando le due equazioni si ottiene:

Metodo del confronto Basterà sostituire tale valore in una delle due equazioni trovate. Ad esempio sostituendo nella prima si avrà: Quindi la soluzione del sistema sarà data da

Metodo di addizione e sottrazione …o di combinazione lineare Questo metodo è concettualmente più difficile ma spesso risulta più semplice da applicare. Si moltiplica ogni equazione per un numero in modo tale che i coefficienti di un’incognita siano uguali nelle due equazioni. Per il principio di combinazione lineare, si può sostituire una delle due equazioni con la differenza fra le due equazioni.

Metodo di addizione e sottrazione Anche questo metodo verrà risolto con l’utilizzo di un esempio. Si debba risolvere il seguente sistema: Eliminiamo prima di tutto la lettera x ottenendo una equazione nella sola lettera y per fare questo applichiamo il principio dell’addizione e della sottrazione alle due equazioni moltiplicando la prima per 2 e la seconda per -3 Ottenendo:

Metodo di addizione e sottrazione Basterà ora sommare membro a membro le due equazioni ottenendo una equazione aduna variabile appunto la y nel seguente modo: Dobbiamo ora risolvere l’equazione di primo grado:

Metodo di addizione e sottrazione Per eliminare la lettera x ed ottenere una equazione nella sola variabile x operiamo nello stesso modo moltiplicando la prima equazione per 5 e la seconda per due ottenendo: Dobbiamo ora risolvere l’equazione di primo grado: La soluzione del sistema è allora

Quando un sistema ammette soluzioni? Questo sistema generico ammette soluzioni se invece il sistema è impossibile se: il sistema è indeterminato se

Quando le incognite e le equazioni non sono due  Quando un sistema di primo grado ha più incognite che equazioni è indeterminato.  Quando un sistema di primo grado ha più equazioni che incognite è normalmente impossibile, a meno che un’equazione non sia combinazione lineare delle altre; in tal caso si può eliminare un’equazione sovrabbondante e risolvere il sistema.  I sistemi di tre equazioni in tre incognite si possono risolvere usando i metodi precedenti, ricordando che il calcolo dei determinanti di tre righe e tre colonne si esegue in questo modo: