L’unità frazionaria 1 2 1 4 1 8 1 2 1 4 1 8 ESEMPIO Rappresentazione DEFINIZIONE. L’unità frazionaria – (con n ≠ 0) rappresenta una sola delle n parti uguali in cui è stato diviso l’intero. 1 n ESEMPIO 1 2 1 4 1 8 Sono unità frazionarie: ognuna di esse indica che l’intero è stato diviso rispettivamente in 2, 4, 8 parti. Rappresentazione 1 2 1 4 1 8 I numeri razionali

Termini della frazione La frazione come operatore DEFINIZIONE. La frazione è un operatore che divide l’intero in tante parti uguali, quante ne indica il denominatore, e ne prende in considerazione tante quante ne indica il numeratore. ESEMPIO 5 8 Numeratore Termini della frazione Linea di frazione Denominatore Rappresentazione 5 8 5 8 1 2 r I numeri razionali

È una quantità maggiore della grandezza stessa. La classificazione delle frazioni DEFINIZIONE. Le frazioni proprie sono frazioni che hanno il numeratore minore del denominatore. ESEMPIO Rappresentazione 2 3 DEFINIZIONE. Le frazioni improprie sono frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore. ESEMPIO Rappresentazione 8 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 È una quantità maggiore della grandezza stessa. intero I numeri razionali

Esse rappresentano quantità intere. La classificazione delle frazioni DEFINIZIONE. Le frazioni apparenti sono frazioni che hanno il numeratore uguale o multiplo del denominatore. ESEMPIO 3 8 4 Esse rappresentano quantità intere. e Rappresentazione 1 3 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 intero intero intero 2 interi I numeri razionali

Le frazioni equivalenti DEFINIZIONE. Due o più frazioni si dicono equivalenti se, operando sulla stessa grandezza, ne rappresentano sempre una parte uguale. ESEMPIO 2 3 4 6 6 9 Rappresentazione 2 3 Le tre frazioni rappresentano la stessa grandezza, per questo si dicono equivalenti. 4 6 6 9 I numeri razionali

Le frazioni equivalenti ESEMPIO 4 6 6 9 2 3 Le frazioni e si originano dalla frazione moltiplicando contemporaneamente numeratore e denominatore per una stessa quantità (rispettivamente per 2 e per 3). 2 3 2 3 2 4 6 2 3 2 3 3 6 9 4 6 6 9 Dividendo per uno stesso numero il numeratore e il denominatore delle due frazioni e otteniamo la frazione di partenza. 4 6 4 6 2 2 3 6 9 6 9 3 2 3 PROPRIETÀ invariantiva delle frazioni. Se si moltiplicano o si dividono per uno stesso numero, diverso da zero, entrambi i termini di una frazione, si ottiene una frazione equivalente alla data. I numeri razionali

Questa classe di equivalenza rappresenta il numero razionale Le frazioni equivalenti DEFINIZIONE. Si chiama numero razionale assoluto una classe di frazioni equivalenti; l’insieme di tutti i numeri razionali forma l’insieme dei numeri razionali assoluti. ESEMPIO 3 5 3 5 6 10 9 15 12 20 25 , , , , … Questa classe di equivalenza rappresenta il numero razionale 3 5 TEOREMA. L’insieme dei numeri naturali N è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri razionali assoluti Q. I numeri razionali

Semplificazione di una frazione DEFINIZIONE. Una frazione si dice riducibile se numeratore e denominatore ammettono divisori comuni; si dice ridotta ai minimi termini o irriducibile se il numeratore e il denominatore sono primi fra loro. ESEMPIO 32 40 Applichiamo la proprietà invariantiva delle frazioni dividendo successivamente numeratore e denominatore per i loro divisori comuni. 32 40 32 40 2 16 20 16 20 2 8 10 8 10 2 4 5 Osserviamo che avremmo potuto dividere il numeratore e il denominatore della frazione di partenza per 8, che è il M.C.D. (32; 40). REGOLA. Per ridurre ai minimi termini una frazione basta dividere numeratore e denominatore per il loro M.C.D. I numeri razionali

Trasformazione di una frazione in un’altra equivalente di denominatore dato REGOLA. Per trasformare una frazione ridotta ai minimi termini in un’altra di denominatore assegnato, basta moltiplicare entrambi i termini della frazione per il quoto tra il denominatore assegnato e quello della frazione data. I° caso: frazione ridotta ai minimi termini 3 4 Vogliamo trasformare la frazione in un’altra equivalente di denominatore 24. 3 4 3 4 6 18 24 I numeri razionali

Trasformazione di una frazione in un’altra equivalente di denominatore dato II caso: frazione non ridotta ai minimi termini 55 120 Vogliamo trasformare la frazione in un’altra equivalente di denominatore 72. 55 120 55 120 5 11 24 Frazione ridotta ai minimi termini 11 24 11 24 3 33 72 I numeri razionali

Trasformazione di più frazioni allo stesso minimo comune denominatore (m.c.d.) REGOLA. Per trasformare due o più frazioni in altre con lo stesso denominatore: 1. si riducono le frazioni ai minimi termini se necessario; 2. si calcola il m.c.m. dei denominatori (m.c.d.); 3. si divide il m.c.d. per il denominatore di ciascuna frazione; 4. si moltiplicano i numeratori di ogni frazione per i corrispondenti quoti precedentemente ottenuti. ESEMPIO 5 2 4 3 7 4 m.c.d. (2, 3, 4) = 12 12 2 = 6 12 3 = 4 12 4 = 3 5  6 = 30 4  4 = 16 7  3 = 21 30 12 16 12 21 12 I numeri razionali

< > > Il confronto di frazioni 4 7 6 7 3 4 7 11 33 44 28 44 Primo caso - Frazioni con denominatori uguali PROPRIETÀ. Se due frazioni hanno i denominatori uguali e i numeratori diversi, la maggiore è quella che ha il numeratore maggiore. ESEMPIO 4 7 6 7 < Secondo caso - Frazioni con denominatori disuguali PROPRIETÀ. Se due frazioni hanno i denominatori disuguali, dopo averle ridotte allo stesso denominatore, è maggiore quella che ha il numeratore maggiore. ESEMPIO 3 4 7 11 33 44 28 44 33 44 28 44 3 4 7 11 e e > > I numeri razionali