STUDIO DI UNA DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO Liceo Scientifico “ B. Rescigno” di Roccapiemonte Progetto DIGISCUOLA STUDIO DI UNA DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO Metodo algebrico e metodo grafico Unità didattica progettata e realizzata dalle docenti: Rita Montella, Gelsomina Carbone e Vincenzina Sessa classi II A e II D Anno Scolastico 2007/2008 Hanno collaborato alla realizzazione della presentazione le alunne della II A: Agnese Pedone e Melania Santoro

INTRODUZIONE Il progetto è rivolto ad alunni che frequentano il biennio del Liceo Scientifico, gli argomenti affrontati sono di notevole importanza per gli studi successivi, sono sviluppati sia algebricamente sia graficamente, utilizzando tutte le risorse multimediali disponibili, dalla LIM, al WEB, ai CDD, ai programmi applicativi quali Geogebra o Cabrì, al Notebook, alla Piattaforma di Fruizione ed infine i libri di testo.

Prerequisiti:. Calcolo in R. Disequazioni lineari Prerequisiti: *Calcolo in R *Disequazioni lineari *Grafico della funzione ax+by+c=0 *Equazioni di secondo grado *Grafico della funzione y=ax2+bx+c OBIETTIVI Conoscere e saper riconoscere disequazioni intere di secondo grado. Conoscere le tecniche di risoluzione di una disequazione di secondo grado. Saper studiare risolvere algebricamente e graficamente il segno del trinomio. Saper risolvere algebricamente e graficamente disequazioni secondo grado. Saper risolvere un sistema di disequazioni di secondo grado; Saper risolvere disequazioni razionali fratte; Saper risolvere disequazioni di secondo grado con valori assoluti

COS’È UNA DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO? Consideriamo un polinomio di secondo grado nella sola lettera x e studiamo il suo segno al variare di x in R, otterremo che per alcuni valori di x il trinomio assumerà segno positivo, per altri segno negativo oppure si annullerà. La disequazione intuitivamente è una “domanda” che ci poniamo “Per quali valori di x il polinomio assumerà valori >,<,= 0?” Una disequazione di secondo grado si presenta nella forma tipica nel seguente modo: ax2 + bx + c > 0 oppure ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c >= 0 oppure ax2 + bx + c <= 0 E' possibile affrontare lo studio di una disequazione di secondo grado in due modi..

STUDIO DEL SEGNO DEL TRINOMIO Grafico Algebrico

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Studiamo una disequazione di secondo grado mediante il metodo grafico e facciamo ricorso alla parabola. Ricordiamo che nel piano cartesiano, l'equazione: y = ax2 + bx + c rappresenta una curva chiamata parabola,essa è simmetrica,nel nostro caso,all'asse y che pertanto è detto asse di simmetria. Rappresentiamo nel piano cartesiano la nostra funzione e studiamo i seguenti casi {y = ax2 + bx + c ^ y>=0 {y = ax2 + bx + c ^ y<=0

Prima di “operare” RICORDIAMO che: l'equazione associata: ax2 + bx + c = 0 ammette radici: a. reali distinte Δ>0, b. coincidenti Δ=0, c. complesse Δ<0. Procediamo.... Ricordando che: - se a >0, la parabola volge la concavità verso l'alto - se a <0, la parabola volge la concavità verso il basso Facciamo un grafico “approssimato” della parabola tenendo conto del segno della a e delle intersezioni che essa ha con l’asse delle ascisse (ricordate che sono le soluzioni della equazio- ne associata). Questi due elementi ci interessano: intersezioni e concavità. Fatto questo, si potrà risolvere la disequazione assegnata semplicemente osservando il grafico, rispondendo a questa domanda:

Per quali valori di x la parabola sta sopra, sotto o interseca l’asse x?

                                                                             1) Se Δ>0 e a >0, la situazione è la seguente: Pertanto, se si vuole risolvere la disequazione: ax2 + bx + c > 0 l’intervallo delle soluzioni sarà dato dai valori di x per i quali la parabola sta sopra l'asse x perché le ordinate sono positive (y>0) ,cioè, come si vede dalla figura, dagli intervalli esterni alle inter-sezioni tra la parabola e l'asse delle x: x<x1; x>x2 Se si vuole risolvere la disequazione: ax2 + bx + c < 0, si devono considerare i valori di x per i quali la parabola sta sotto l'asse x, cioè l' intervallo interno alle intersezioni tra la parabola e l’asse delle ascisse perché le ordinate sono negative (y<0): x1 <x<x2

                                                                 2) Se Δ=0 e a >0, la situazione è la seguente: La parabola è tutta al di sopra dell’asse della x, se si vuole risolvere la disequazione: ax2 + b x+ c > 0, le soluzioni saranno date da qualsiasi valore di x, purchè diverso dal punto di intersezione (x1):                                                       Infatti, per ogni x di R la parabola sta sopra l'asse x, ma in x = x1 lo interseca. La disequazione, invece, ci “chiede” i valori di x per i quali la parabola è strettamente sopra l'asse x. Se la disequazione da risolvere è ax2 + b x+ c ≥ 0, per quanto detto, la soluzione è data da tutto l'insieme dei Reali. Se la disequazione da risolvere è ax2 + b x+ c < 0, non ci sono soluzioni. Se la disequazione da risolvere è ax2 + b x+ c ≤ 0, l'unica soluzione è data proprio dal punto di intersezione x1 .

3) Se Δ<0 e a >0, la situazione è la seguente:                                                                                      La parabola è tutta sopra l'asse x; non ci sono punti di intersezione. Pertanto, se la disequazione da risolvere è ax2 + b x+ c > 0, L’intervallo delle soluzioni è rappresentato da tutto l'insieme dei numeri Reali. Se, invece, la disequazione da risolvere è ax2 + b x+ c < 0 oppure ax2 + b x+ c ≤ 0, non ci sono soluzioni. APPROFONDIAMO

Studio del segno del trinomio Grafico Algebrico

Risoluzione Algebrica La risoluzione tramite il metodo algebrico si basa sulla scomposizione del polinomio di secondo grado e sullo studio del segno di questa fattorizzazione. Dato un polinomio di secondo grado nella variabile x: ax2 + bx + c per determinare gli intervalli in cui assume valori positivi e gli intervalli in cui assume valori negativi (studio del segno) o dove si annulla, basta fare due osservazioni: - segno di a (positivo o negativo) - segno del delta (Δ) dell’equazione associata Sulla base di queste osservazioni si potrà concludere immediatamente se e dove il trinomio è maggiore , minore o uguale a zero. Andiamo a considerare i casi che si possono verificare.

Premesso che il generico polinomio di secondo grado: y=ax2 + bx + c si scompone nel modo seguente quando considerando l’equazione associata essa ha il Δ>0 o Δ=0 : ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2) x1 e x2 rappresentano le radici dell’equazione associata al trinomio. Studiamo, quindi, il segno di questo prodotto esaminando i vari casi.

Δ>0 con a>0 Studiamo il segno del prodotto facendo ricorso alla positività f1>=0 x>=x1 supponiamo per x>= x1 con x1 reale e positivo f2>=0 x>=x2 supponiamo per x<=x2 con x2 reale e negativo La situazione grafica è la seguente: -∞_______________ x2 ________0_______ x1 ___________ +∞ f1>=0 ------------------------------------------------___________________ f2>=0 --------------------________________________________________________ + - + I l trinomio assume segno concorde con a all’esterno dell’intervallo delle radici e segno discorde con a all’interno dell’intervallo delle radici, si annulla per x=x1 e x=x2

La disequazione ax2 + bx + c>< = 0 sarà soddisfatta per valori esterni all’intervallo delle radici se a e il verso della disequazione concordano in segno Valori interni all’intervallo delle radici se il segno di a e il verso della disequazione discordano insegno

Δ=0 a>0 y = ax2 + bx + c = a (x - x1)2 Il Trinomio assume sempre lo stesso segno (e questo segno è lo stesso di a, nel nostro caso sempre positivo), tranne nel punto x=x1, in cui si annulla. La disequazione ax2 + bx + c>< = 0 a)sarà sempre soddisfatta se a e il verso della disequazione concordano in segno (la soluzione per cui il trinomio si annulla x=-b/2a, sarà accettata, se la disequazione richiederà anche i valori uguali a 0, altrimenti si escluderà dall’intervallo delle soluzioni); b) sarà mai soddisfatta se a e il verso della disequazione discordano in segno (la soluzione per cui il trinomio si annulla x=-b/2a, sarà accettata, se la disequazione richiederà anche i valori uguali a 0, altrimenti si escluderà dall’intervallo delle soluzioni).

Per cui, la disequazione:              Δ<0 a>0 Il trinomio non potrà essere fattorizzato nel campo reale ma con qualche artificio si presenta nella seguente forma y=a[(x+b/2a)2 –Δ/4a2] Da notare che la quantità in parentesi è sempre positiva perché somma di quantità positive, dunque il segno del trinomio è dato dal segno della a e non si annulla mai. Questo è il caso più semplice di tutti, a differenza del caso precedente, non ci sono punti da riportare sul grafico e non ci sono considerazioni particolari da fare sui casi di disuguaglianza debole: è tutto definito in maniera univoca. Per cui, la disequazione: ax2 + bx + c > 0 È sempre verificata se il segno della a è concorde con il verso della disequazione. E’ mai verificata se il segno della a è discorcorde con il verso della disequazione.

SCHEMA RIASSUNTIVO Δ>0 Segno di a Segno opposto ad a Segno di a _______________ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _________________ x1 x2 Δ=0 Segno di a Segno di a ________________________ . _________________________ x = -b/2a Δ<0 Segno di a __________________________________________________

Esercizi proposti: X2 – 4x > 0 [ x<0; x>4] 3 x2 - 5x + 9 > 0 [S: R] 36 - x2 ≤ 0 [ x ≤ -6; x ≥ 6] X2 - 3x + 2 ___________________ > 0 [x <-1; 1<x<2; x>3] (x-3)(x+1) 2x x ____________________ > __________________ [x<-5; -5/2<x<-1; x>0] 2 x2 + 7x +5 x2 + 6x + 5

SITOGRAFIA Disequazioni fratte Esercizi Test

Ed è così che impariamo insieme …

DISEQUAZIONI di SECONDO GRADO. ... le DISEQUAZIONI di SECONDO GRADO.

Grazie alle alunne della II A Agnese Pedone - Melania Santoro – per aver collaborato con noi e a tutti voi studenti che avete partecipato a questo progetto dando sempre validi contributi. GRAZIE PER LA CORTESE ATTENZIONE