IISS "E.Medi" Galatone (LE) PARABOLA Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

La parabola: definizione analitica La parabola è una conica definita come il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta fissa d detta direttrice Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Consideriamo come asse y la retta per il fuoco F e perpendicolare alla direttrice e come asse x la retta passante per il punto medio tra fuoco e la direttrice P’ K’ Q’ P K O F(0;m) d:y= -m Q Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Elementi caratteristici della parabola Fuoco: F(0;m) Direttrice: y=-m Vertice: O(0;0), punto equidistante da F e da d Asse di simmetria: x=0 retta passante per il vertice e perpendicolare alla direttrice O≡V F(0;m) y= -m P(x;y) K P’(-x;y) K’ x=0 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Equazione della parabola P(x;y) K(x;-m) O F(0;m) y= -m P’(-x;y) K’ Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Per a>0 le y sono positive, la parabola si trova tutta nel semiasse positivo delle y Per a<0 le y sono negative, la parabola si trova tutta nel semiasse negativo delle y Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) La (1), rappresenta dunque l'equazione di una parabola con il vertice V nell'origine , avente asse di simmetria coincidente con l'asse y, fuoco in F(0;1/4a) e direttrice y=-1/4a O≡V F(0;m) y= -m Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Il coefficiente a determina la concavità a > 0 →y≥0 concavità verso l’alto a < 0 →y≤0 concavità verso il basso Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Il valore assoluto di a determina l’apertura y=2x2 y=x2 y=0.5x2 y=0.25x2 y=0 y=-0.25x2 y=-0.5x2 y=-x2 y=-2x2 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

RIASSUMIAMO NELLO SCHEMA Parabola: y = ax2 con a=1/4m e m=1/4a Vertice O(0;0) Asse di simmetria x = 0 Fuoco F(0;m) F(0;1/4a) Direttrice y=-m y=-1/4a a > 0 concavità verso l’alto a < 0 concavità verso il basso |a| apertura Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Equazione generale della parabola con asse parallelo all'asse y Vogliamo ora determinare l’equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y e vertice in V(x0;y0). A tal proposito consideriamo il sistema di assi cartesiani XO'Y, con origine O’ coincidente con V(x0;y0). Rispetto a tale sistema di riferimento la parabola passa per l’origine Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) x y O x0 y0 X Y Y=aX2 O’ Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio 1 Scrivere l’equazione della parabola avente fuoco F(6;10) e dalla retta d di equazione y= - 4 F(6;10) y= - 4 O P(x;y) K(x;-4) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio 2 Scrivere l’equazione della parabola avente vertice V(-2;1) e ordinata all’origine -3 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Determinazione delle coordinate del vertice, del fuoco e le equazioni dell’asse e della direttrice per la parabola di equazione y=ax2+bx+c Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Y=aX2 x y O Y -/4a V≡O’ X -b/2a Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Riepilogando Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) ESEMPIO Data la parabola y=x2-6x+5 determinare vertice, fuoco, asse, direttrice. Tracciare poi il diagramma della parabola Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Per disegnare il grafico della parabola è sufficiente conoscere il vertice, la concavità e le intersezioni con gli assi Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Intersezioni con gli assi Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) x y -4 3 V 5 1 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Parabole in posizione particolare In base ai valori assunti dai coefficienti a, b, c la parabola assume una particolare posizione rispetto agli assi. Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

1° caso:b=0 La parabola ha il vertice sull’asse delle ordinate Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

2° caso:c=0 La parabola passa per l’origine Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio Disegnare il diagramma della parabola y = x2-9 -3 3 -9 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio Disegnare la parabola di equazione y = -x2+3x 3 V 9/4 3/2 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle x Se nell’equazione generale della parabola y=ax2+bx+c si scambia la x con la y si ottiene l’equazione x=ay2+by+c che rappresenta l’equazione di una parabola con asse parallelo a quello delle x Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Parabola con asse parallelo all’asse y 5 y=x2-6x+5 1 3 5 x -4 V Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Parabola con asse parallelo all’asse x x=y2-6y+5 5 V 3 1 -4 5 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) x y -4 3 V 5 1 y=x2-6x+5 Per ottenere il secondo grafico dal primo fare nel seguente modo: Disegnare il 1° grafico su un foglio bianco Girare il foglio in modo che l’asse x diventi l’asse y e l’asse y diventi l’asse x Ricalcando il grafico che si vede in controluce si ottiene il 2° grafico -4 3 V 1 5 x=y2-6y+5 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Parabola x=ay2+by+c Per ottenere le coordinate del vertice e del fuoco e le equazione dell’asse e della direttrice basta scambiare la x con la y nelle precedenti formule asse direttrice Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Parabola x=ay2+by+c -4 3 V 1 5 x=y2-6y+5 4 3 V 1 5 x=-y2 +6y-5 -5 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) ESEMPIO Data la parabola di equazione x=-y2+7y-6 determinare vertice, fuoco, asse, direttrice. Tracciare poi il diagramma della parabola Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) 6 25/4 V 1 -6 6 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Parabole sovrapponibili Due parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle y si dicono congruenti se si possono sovrapporre mediante traslazioni, rotazioni. Due parabole sono congruenti se hanno uguale il valore assoluto del termine di 2° grado. Dei tre parametri a, b, c il 1° determina la forma e gli altri due la posizione nel piano cartesiano. Sono congruenti le parabole Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) y=2x2 x=-2y2 x=2y2 y=-2x2 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio 1 Scrivere l’equazione della parabola avente vertice V(-2;1) e congruente alla parabola di equazione y=-x2 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio 2 Stabilire se le parabole y=x2+4x+5 e y=-x2-4x-3 sono congruenti Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) 1 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Y 1 O' X o Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Intersezioni della parabola con una retta Per trovare l'intersezione della parabola con una retta, basta far sistema fra l'equazione della parabola e quella della retta. Calcolato il discriminante dell'equazione risolvente del sistema,possono presentarsi tre casi: 1) Se è Δ > 0, si hanno due intersezioni distinte e la retta è secante. 2) Se è Δ = 0, si hanno due intersezioni coincidenti nello stesso punto; la retta è tangente. 3) Se è Δ < 0, non si hanno soluzioni reali, quindi la retta è esterna. Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Δ>0 Δ=0 Δ<0 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) esempio Determinare le intersezioni della parabola di equazione y= x2-2x con la retta di equazione y=x-2 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Tangenti alla parabola Per determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola condotte da un punto non interno alla concavità si procede nel seguente modo: Si deve costruire il sistema formato dalla equazione generale della curva e dal fascio di rette con centro in P(x0,y0). Si impone la condizione di tangenza, cioè Δ=0, all’equazione risolvente il sistema Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio Scrivere le equazioni delle tangenti condotte dal punto P(-2;-7) alla parabola di equazione y=2x2+5x-3 P Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Formula dello sdoppiamento Per determinare la tangente condotta da un punto P(x0;y0) della parabola si può utilizzare la formula dello sdoppiamento Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio Determinare l’equazione della retta tangente alla parabola y = (1/2)x2 +2x nel suo punto A(-4;0) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Tangenti alla parabola Il coefficiente angolare della retta tangente condotta da un punto P(x0;y0) della parabola è dato dalla formula: Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio Determinare l’equazione della retta tangente alla parabola y = (1/2)x2 +2x nel suo punto A(4;0) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Risoluzione grafica di una equazione di 2° grado Una equazione di 2° grado ax2+bx+c=0 può essere interpretata come equazione risolvente il sistema Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Il problema consiste nel determinare le intersezione della parabola con l’asse delle ascisse di equazione y=0 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Si possono presentare 3 casi con a>0 <0 a>0 =0 x1x2 >0 x1 x2 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Altri 3 casi con a<0 =0 x1x2 a<0 >0 x1 x2 <0 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Esempio 1 Risolvere l’equazione x2-9=0 -3 3 -9 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Esempio 2 Risolvere l’equazione -x2+3x=0 3 Prof. G.Frassanito 3 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Risoluzione grafica di una disequazione di 2° grado La disequazione: ax2+bx+c>0 equivale a risolvere il sistema misto cioè a determinare gli intervalli in cui la parabola è al di sopra dell’asse x Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Caso a>0 Δ>0 x1 x2 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Caso a>0 Δ=0 x1x2 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Caso a>0 Δ<0 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio Risolvere graficamente la disequazione x2-4<0 Consideriamo la parabola di equazione y=x2-4 e tracciamo il suo grafico -2 2 -4 y=x2-4<0 per Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio Risolvere graficamente la disequazionex2-2x<x-2 2 1 La disequazione equivale a determinare gli intervalli in cui la parabola di equazione y=x2-3x+2 ha ordinata minore di zero Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Caso a<0 Δ>0 x1 x2 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Caso a<0 Δ=0 x1x2 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Caso a<0 Δ<0 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Segmento parabolico Dati in un piano una parabola γ e una retta r che interseca γ in due punti distinti A e B, la parte finita di piano delimitata dall'arco AB di γ e dal segmento AB di r è detta segmento parabolico. In particolare, se la retta r è perpendicolare all'asse della parabola γ, il segmento parabolico si dice retto. Segmento parabolico retto Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Area del segmento parabolico retto Data la parabola di equazione y=ax2 l'area del segmento parabolico retto è due terzi dell'area del rettangolo circoscritto AA’H’H.  A’(b;ab2) A(b;ab2) S H’(-b;0) H(b;0) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Area del segmento parabolico obliquo La regola vale anche nel caso in cui la corda AB non sia perpendicolare all’asse della parabola. Tracciata la retta tangente alla parabola e parallela alla retta AB, l’area del segmento parabolico è uguale ai 2/3 dell’area del rettangolo avente base AB e altezza uguale alla distanza tra la retta t e la retta AB: Area(S) =2/3(AB●AH).  Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio 1 Determinare l’area del segmento parabolico S limitato dalla parabola y = 1 – x2 e dall’asse x y=1-x2 A(-1;0) B(1;0) V(0;1) S Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esempio 2 Determinare l’area del segmento parabolico S limitato dalla parabola y = x2 -2x e dalla retta y = -2x+4 y=x2-2x B(-2;8) A(2;0) S H y+2x=0 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Approfondimenti:fascio di parabole Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) FASCIO DI PARABOLE Consideriamo due parabole (dette parabole generatrici)in forma implicita Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Il fascio di parabole è rappresentato dalla combinazione lineare delle due equazioni Al variare del parametro reale k tale combinazione lineare rappresenta le infinite parabole generate da γ1 e γ2. In particolare per k = 0 si ha γ1 mentre γ2 non si può ottenere per nessun valore di k anche se impropriamente si dice che si ottiene per k=∞ Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) L’equazione moltiplicando e mettendo in evidenza può anche essere scritta nella forma Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Per k-1 l’equazione Si può anche scrivere nella forma Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Tre modi diversi di scrivere un fascio di parabole Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Vogliamo ora descrivere le carat-teristiche geometriche del fascio in relazione ai coefficienti a, b, c, a’, b’, c’ delle due parabole generatrici e al segno del Δ ottenuto risolvendo il sistema formato da γ1 e γ2. Si hanno diversi casi:esaminiamoli uno alla volta Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) 1°caso : a ≠ a’ Δ > 0 Le parabole generatrici hanno due punti in comune e tutte le parabole del fascio passano per tali punti (punti base). B A Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Appartengono al fascio anche la retta passante per A e B e la coppia di rette x = xA e x = xB (parabole degeneri) . B A xA xB Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) 2°caso : a ≠ a’ Δ = 0 Le parabole generatrici hanno un solo punto in comune e tutte le parabole del fascio passano per tale punto (punto base) A Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Appartengono al fascio anche la retta passante per A e tangente a tutte le parabole e la retta x = xA (parabole degeneri) . A xA Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) 3°caso : a ≠ a’ Δ < 0 Il fascio non ha punti base e contiene un’unica retta(parabola degenere). Due curve distinte del fascio non si intersecano mai Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) 4°caso : a = a’ e b ≠ b’ Tutte le parabole del fascio sono congruenti e volgono la concavità tutte nello stesso verso. Hanno un solo punto base e appartiene al fascio anche la retta x = xA (parabola degenere) . A xA Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

5°caso : a = a’ e b =b’ e c≠c’ Tutte le parabole del fascio sono congruenti e volgono la concavità tutte nello stesso verso e hanno tutte lo stesso asse di simmetria. Non hanno punti base e non contengono rette . x=-b/2a Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

6° caso : a = a’ e b =b’ e c = c’ In questo caso le due generatrici coincidono e la combinazione lineare delle parabole non rappresenta fascio alcun fascio Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) osservazione Un fascio di parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y può essere assegnato mediante una equazione del tipo seguente e, in questo caso, non contiene rette parallele all’asse y: Per ottenere i punti base si scrive il fascio come segue: Le ascisse dei punti base si ottengono risolvendo l’equazione: Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Equazioni di particolari fasci di parabole Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Equazione di un fascio di parabole passanti per due punti dati Siano A(x1, y1) e B(x2, y2) due punti con x1≠x2 Per determinare il fascio avente come punti base A e B basta fare la combinazione lineare tra due parabole del fascio. Le più semplici parabole da determinare sono quelle degeneri e precisamente: la retta passante per A e B e la coppia di rette parallele all’asse y e passanti sempre per A e B Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Equazione di un fascio di parabole passanti per due punti dati Sia y = mx + q l’equazione della retta passante per A e B e x=x1 e x=x2 la coppia di rette parallele all’asse y e passanti sempre per A e B. L’equazione del fascio è: Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) esempio Scrivere l’equazione del fascio di parabole con asse parallelo all’asse delle y e passante per A(1;1) e B(2;0). Retta passante per A e B: y = 2-x Rette parallele all’asse y e passanti per A e B: x-1=0 ; x-2=0 Il fascio richiesto ha equazione: Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Equazione di un fascio di parabole tangenti ad una retta in un suo punto Per determinare il fascio basta fare la combinazione lineare tra due parabole del fascio. Le più semplici parabole da determinare sono quelle degeneri e precisamente: la retta tangente e la retta parallela all’asse y e passante per il punto dato contata due volte Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Equazione di un fascio di parabole tangenti ad una retta in un suo punto Sia y = mx + q l’equazione della retta tangente e (x0;y0) le coordinate di un suo punto. L’equazione del fascio è: Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Equazione di un fascio di parabole con vertice in un punto assegnato V(x0;y0) Per determinare il fascio basta fare la combinazione lineare tra due parabole del fascio. Le più semplici parabole da determinare sono quelle degeneri e precisamente: le rette parallele agli assi cartesiani e passanti per V(x0;y0) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Esercizi sui fasci di parabole Negli esercizi che seguiranno sarà dato il fascio di parabole e si stabiliranno le sue caratteristiche, cioè si determineranno gli eventuali punti base e se vi sono parabole degeneri (rette o coppie di rette) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esercizio 1 Per come è dato il fascio le parabole generatrici sono evidenti. Per determinare i punti base risolviamo il seguente sistema Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) per determinare l’ulteriore parabola degenere bisogna scrivere il fascio in modo da rendere zero il coefficiente della x2 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esercizio 2 In questo caso conviene prima determinare le parabole degeneri annullando prima il coefficiente della x2 e poi quello della y. Successivamente determineremo i punti base Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Il coefficiente della y si annulla per k = -1 Sostituendo questi valori nella prima parabola degenere trovata si ottengono i punti base del fascio Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esercizio 3 Anche in questo caso conviene prima determinare le parabole degeneri annullando prima il coefficiente della x2 e poi quello della y. Successivamente determineremo i punti base Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Il coefficiente della y si annulla per k = -1 Sostituendo questo valor nella prima parabola degenere trovata si ottiene il punto base del fascio Le parabole del fascio sono tutte tangenti in (1;-2) alla retta y = -2x Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esercizio 4 Determiniamo le parabole degeneri annullando prima il coefficiente della x2 e poi quello della y. Successivamente determineremo i punti base Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Il coefficiente della y si annulla per k = -1 Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esercizio 5 Notiamo che nei primi tre termini del fascio compare k+1 Riscriviamo l’equazione del fascio Il parametro k compare solo nel termine noto. Questo vuol dire che le parabole del fascio sono tutte congruenti, volgono la concavità verso il basso e hanno tutte il vertice sulla retta x = 3/4 Il fascio non ha parabole degeneri (5° caso) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esercizio 6 Notiamo che nei primi due termini del fascio compare k+1 Riscriviamo l’equazione del fascio Il parametro k compare solo negli ultimi due termini. Questo vuol dire che le parabole del fascio sono tutte congruenti e volgono la concavità verso l’alto. (4° caso) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Il coefficiente della y si annulla per k = -1 Per determinare l’ordinata del punto base riscriviamo l’equazione del fascio in quest’altro modo Sostituendo -1 in una delle due parabole generatrici otteniamo y=-2 Punto base (-1;-2) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esercizio 7 Quando l’equazione del fascio è data in questo modo sappiamo che non esiste parabola degenere formata da coppia di rette parallele all’asse y. Riscriviamo l’equazione del fascio Per k = 0 y = x + 2 parabola degenere Per determinare i punti base risolviamo x2+2x=0 x=0 e x=-2. Sostituendo tali valori nella parabola degenere si ottengono le ordinate dei punti base(-2;0) (0;2) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esercizio 8 Scriver l’equazione del fascio di parabole, con asse parallelo all’asse y, passanti per A(2;3) e B(4;5) L’equazione del fascio è la seguente: Dove x1 e x2 sono le ascisse dei punti base e mx+q la retta passante per tali punti Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Determiniamo l’equazione della retta passante per A(2;3) e B(4;5) L’equazione del fascio sarà: Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esercizio 9 Scriver l’equazione del fascio di parabole, con asse parallelo all’asse y, tangenti alla retta di equazione y = 2x – 1 nel suo punto di ascissa 2 L’equazione del fascio è la seguente: Dove x1 è l’ascissa 2 e mx+q l’equazione della retta data L’equazione del fascio sarà: Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esercizio 10 Scriver l’equazione del fascio di parabole, con asse parallelo all’asse y, e aventi vertice in (2;-3) L’equazione del fascio è la seguente: Dove x0 e y0 sono le coordinate del vertice L’equazione del fascio sarà: Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Esercizio 11 Scriver l’equazione del fascio di parabole, con asse parallelo all’asse y, passanti per A(2;3) , B(4;5), C(1;1) Consideriamo A e B comepunti base. L’equazione del fascio è la seguente: Dove x1 e x2 sono le ascisse dei punti base e mx+q la retta passante per tali punti Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Determiniamo l’equazione della retta passante per A(2;3) e B(4;5) : L’equazione del fascio sarà: Sostituendo le coordinate di C(1;1) nel fascio si determina K e quindi la parabola cercata Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Proprietà del fuoco della parabola Supponiamo che la superficie interna della parabola sia riflettente. Un raggio che esce dal fuoco e colpisce la superficie parabolica viene riflesso parallelamente all’asse della parabola (fenomeno sfruttato nella costruzione di proiettori) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Proprietà del fuoco della parabola Supponiamo che la superficie interna della parabola sia riflettente. Un raggio proveniente  secondo una direzione parallela all'asse della parabola ed incidente la superficie parabolica viene riflesso sul fuoco (fenomeno sfruttato nelle antenne paraboliche) Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

Proprietà della tangente alla parabola in un suo punto Se P è un punto qualunque della parabola γ, si dimostra che la bisettrice dell’angolo FPG è la retta h tangente a γ in P. F V H G L P Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Inoltre la retta tangente nel vertice è il luogo dei piedi delle perpendicolari condotte dal fuoco alle tangenti a γ. Tale luogo prende il nome di podaria di F rispetto γ F V H G L P Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)

IISS "E.Medi" Galatone (LE) Fine presentazione Prof. G.Frassanito IISS "E.Medi" Galatone (LE)