I LIMITI

Sia D un sottoinsieme di R Sia D un sottoinsieme di R. Consideriamo una funzione y = f(x) e supponiamo che il suo grafico sia rappresentato dalla figura seguente: Possiamo osservare che più scegliamo x vicino al valore x0, più il valore di f(x), cioè di y, si avvicina a un certo valore l.

Consideriamo, per esempio, la funzione , definita in , e costruiamo un intorno completo e circolare del valore “critico” 3. Andiamo ad analizzare che valore assume la funzione, quando assegniamo a x valori appartenenti all’intorno considerato. In altre parole: se x3 , f(3)  ????? Osserviamo che quanto più x si avvicina al valore 3, tanto più f(x) si avvicina al valore 6. Se prendiamo un qualunque valore di x in un intorno di 3 sempre più piccolo, allora f(x) si trova in un intorno di 6 sempre più piccolo. Per comodità consideriamo degli intorni circolari.

Se consideriamo un qualunque intorno circolare di 6 di ampiezza , che indichiamo con I (6), esiste sempre un intorno di 3 i cui punti hanno immagine f(x) contenuta in I (6). Non è necessario che il punto x0 = 3 appartenga al dominio D della funzione, e poiché dobbiamo considerare le immagini di punti sempre più vicini a x0, occorre che la funzione sia definita in questi punti. Ciò significa che x0 deve essere un punto di accumulazione per il dominio D.

IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE Fissiamo e > 0. Individuiamo un intorno I di x0 tale che per ogni . Qual è il significato intuitivo della definizione? L’esistenza del limite assicura che: se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l . In simboli .

3. LA VERIFICA Verifichiamo che ESEMPIO Dobbiamo provare che, scelto  >0, piccolo a piacere, esiste un intorno completo di 2 tale che, per ogni x di questo intorno (escluso al più 2) la funzione assume valori in un intorno di 3, cioè: Precisamente: In termini di intervalli:

Se , si dice anche che la funzione diverge positivamente.

Se , si dice anche che la funzione diverge negativamente.

Limite per x che tende a x0

IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che assume, in un intorno di x0, sempre valori maggiori di l, si dice che f(x) tende a l per eccesso e si scrive . Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori maggiori. DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che assume, in un intorno di x0, sempre valori minori di l, si dice che f(x) tende a l per difetto e si scrive . Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori minori.

IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo: Il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simbolo ESEMPIO Consideriamo la funzione e verifichiamo che

Limite sinistro Verifichiamo se |f(x) – 2| < e è soddisfatta in un intorno sinistro di 1. Limite destro Verifichiamo se |f(x) – 3| < e è soddisfatta in un intorno destro di 1. | (3x – 1) – 2 | < e | (2x + 1) – 3 | < e Soddisfatta in . Soddisfatta in .

ESEMPI GRAFICI

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