Prodotti cartesiani l’insieme R 2 Argomenti: 1. Nuovi oggetti: coppie, terne, quaterne,…, ennuple 2.Nuovi insiemi: i prodotti cartesiani 2.1. l’insieme R 2 delle coppie di numeri reali, l’insieme R 3 delle terne di numeri reali, l’insieme R n delle ennuple di numeri reali. 3. Riferimenti cartesiani e modelli geometrici di R, R 2 e R 3 4. Sulla rappresentazione di parti di nel piano Cartesiano 4.1 Intervalli di R 2, intorni rettangolari di un punto e insiemi limitati 4.2 Circonferenza e cerchio di R 2, intorni circolari di un punto e insiemi limitati Prof. Livia D’Apuzzo 1

1. Nuovi oggetti coppie, terne, quaterne,…, ennuple 2

Coppie (a, b)= coppia di 1 a coordinata o componente a 2 a coordinata o componente b (a, b) è un nuovo ente individuato dai due oggetti a e b, non necessariamente distinti, e dall’ ordine in cui intervengono Concetto di uguaglianza (a, b) = (a',b')  a = a' e b = b' se a  b allora è (a, b)  (b, a) (b, a) è detta coppia inversa della coppia (a, b) 3

Confronto con il concetto di uguaglianza di insiemi {a, b} = {b, a} = {a, a, b}ma(a, b)  (b, a) se a  b (Es: {2, 3} = {3, 2}= {2, 2, 3}={3, 2, 3} ma (2, 3) ≠ (3, 2) ) {a, a} = {a}(a, a) = (a, a) Siano a e b due oggetti: -Nell’indicare l’insieme costituito dai due oggetti a e b, non importa l’ordine in cui li elenchiamo né se a o b è indicato più volte; se i due oggetti sono uguali l’insieme è in realtà un insieme con un solo oggetto -nell’indicare una coppia che ha per componenti a e b, con a ≠ b, è importante l’ordine in cui indichiamo le due componenti; cambiando l’ordine, la coppia (a, b) si trasforma nella sua inversa (b, a) che è altro da (a, b); se i due oggetti a e b sono uguali la coppia (a, b) =(a, a) ha ancora senso. 4

Esempi di uso delle coppie Gioco scacchi. In tale gioco ogni casella è indicata da una coppia (lettera, numero): (a, 1) (a, 2), …, (a, 8)….(b,1) (b,2),…., (b, 8), ………., (h,1), (h, 2) …, (h, 8). All’inizio del gioco il giocatore che conduce i Bianchi deve avere alla sua destra la casa d'angolo (h,1) di colore chiaro e il giocatore dei Neri deve alla sua destra la casa d'angolo (a,8) anche essa di colore chiaro Battaglia navale. La posizione sul campo di battaglia è individuata da una coppia (numero, lettera) 5

Equazioni o disequazioni in due incognite. Le soluzioni di una equazione o disequazione in due incognite x ed y sono coppie ordinate di numeri (a, b), che sostituite alle incognite, nell’ordine in cui compaiono nell’equazione o disequazione, rendono vera l’uguaglianza o la disuguaglianza a)x - y = 1 (*) Equazione in due incognite o coppia di incognite (x,y) : x = 1 a incognita y = 2 a incognita Una soluzione è la coppia (2,1): infatti sostituendo la prima coordinata della coppia a x e la seconda coordinata a y si ha 2-1 =1 che è una uguaglianza vera Altre soluzioni: (4,3), (3, 2), … (0, -1), (1, 0) … Nota: le coppie inverse (1, 2), (3, 4) (2, 3) (-1,0) (0,-1) non sono soluzioni Per risolvere l’equazione a) poniamo x = 1 + y y funge da parametro ed è detta incognita libera La generica soluzione di a) ha allora la forma (1+y, y) e le soluzioni particolari si ottengono dando a y valori reali. Esempio: ponendo y = -1, abbiamo la soluzione (0, -1) ponendo y = 0, abbiamo la soluzione (1, 0) ponendo y = 1, abbiamo la soluzione (2, 1) Per risolvere l’equazione a) poniamo y = 1 - x x funge da parametro ed è detta incognita libera La generica soluzione di a) può porsi nella forma (x, 1-x) e le soluzioni particolari si ottengono dando a x valori reali. Esempio: ponendo x = 0, abbiamo la soluzione (0, -1) ponendo x = 1, abbiamo la soluzione (1, 0) ponendo x = 2, abbiamo la soluzione (2, 1) 6

Equazioni o disequazioni in due incognite. Le soluzioni di una equazione o disequazione in due incognite x ed y sono coppie ordinate di numeri (a, b), che sostituite alle incognite, nell’ordine in cui compaiono nell’equazione o disequazione, rendono vera l’uguaglianza o la disuguaglianza a)x - y > 1 (*) Disequazione in due incognite o coppia di incognite (x,y) x = 1 a incognita y = 2 a incognita Una soluzione è (0, -3): infatti sostituendo la prima coordinata della coppia a x e la seconda coordinata a y si ha 0+3 >1 che è una disuguaglianza vera Altre soluzioni sono: (0, -2) (2, 0), (3, 1), … (1, -1), (1, -2) … mentre (-3, 0) (-2, 0), (0, 2), (1, 3) (-1, 1) (-2,1) non sono soluzioni la disequazione a) equivale alla seguente x > 1 + y La generica soluzione di a) è una coppia (x, y) con x >1+y Esempio: per y = -1, sono soluzioni tutte le coppie (x, -1) con x > 0 per y = 0, sono soluzioni tutte le coppie (x, 0) con x > 1 per y = 1, sono soluzioni tutte le coppie (x, 1) con x > 2 la disequazione a) equivale alla seguente y < x-1 La generica soluzione di a) è una coppia (x, y) con y < x - 1 Esempio: per x = 0, sono soluzioni tutte le coppie (0, y) con y < - 1 per x = 1, sono soluzioni tutte le coppie (1, y) con y < 0 per x = 2, sono soluzioni tutte le coppie (2, y) con y < 1 7

Terne (a, b, c)= terna di 1 a coordinata (o componente) a 2 a coordinata (o componente) b 3 a coordinata (o componente) c (a, b, c)è nuovo ente individuato da tre oggetti a, b e c non necessariamente distinti e dall’ordine in cui intervengono Concetto di uguaglianza (a, b, c) = (a’, b’, c’)  (a = a’ e b = b’ e c = c’) se b≠c allora (a b, c) ≠ (a, c, b) 8

Esempi di uso delle terne Coordinate geografiche: Latitudine e Longitudine e Altitudine La posizione di un punto sulla sfera terrestre è indicato con la terna (latitudine, longitudine, altitudine) La latitudine di un punto è la misura angolare dell’arco di meridiano compreso tra l’equatore e il parallelo passante per il punto. La latitudine si misura in gradi sessagesimali, da zero a novanta gradi, a partire dall’equatore, verso il polo Nord (latitudini positive) e da zero a novanta gradi verso il polo Sud (latitudini negative). Le latitudini positive e negative sono indicate rispettivamente con la dizione di latitudine Nord (+) e latitudine Sud (-). Il simbolo impiegato per indicare la latitudine è φ La longitudine di un punto è la misura angolare dell’arco di equatore o di un parallelo compreso tra il meridiano di Greenwich e il meridiano passante per il punto. La longitudine viene misurata in gradi sessagesimali da 0° a 180° ed assume segno positivo (+) partendo dal meridiano 0° verso Est e segno negativo (-) partendo dal meridiano 0° verso Ovest L’altitudine è la misura della distanza verticale tra il punto e il livello del mare. Nota: nel sistema UTM ( Universal Transverse of Mercator) si preferisce l’ordine: longitudine, latidudine. altitudine 9

a)x - y - z =0 Equazione in tre incognite x = 1 a incognita y = 2 a incognita z = 3 a incognita Una soluzione è la terna (1, 1, 0): infatti sostituendo in ordine 1 a x, 1 a y e 0 a z, si ha l’uguaglianza = 0, che è una eguaglianza vera. Altre soluzioni: (1, 0, 1), (2, 1, 1), (3, 2, 1) … Nota (0, 1, 1), (1, 1, 2) (2, 3, 1) non sono soluzioni Per risolvere a) poniamo x = y + z y e z fungono da parametro e sono dette incognite libere La generica soluzione ha allora la forma (y+z, y, z) e tutte le soluzioni si ottengono da (y+z, y, z) dando valori reali a y e z Esempio: ponendo y = 1 e z =1, si determina la soluzione (2, 1, 1) ponendo y = 0 e z =1, si determina la soluzione (1, 0, 1) Per risolvere a) poniamo y = x- z x e z fungono da parametro e sono dette incognite libere Allora la generica soluzione ha la forma (x, x-z, z) e tutte le soluzioni si ottengono da (x, x-z, z) dando valori reali a x e z. Equazioni o disequazioni in tre incognite. Le soluzioni di una equazione o disequazione in tre incognite x, y e z sono terne di numeri (a, b, c), che sostituite alle incognite, nell’ordine in cui compaiono, rendono vera l’uguaglianza o la disuguaglianza L’equazione a) ha “  2 ” soluzioni: ha cioè infinite soluzioni che dipendono dai valori dati a due delle incognite, che fungono da parametri. Per risolvere a) ………. ….. 10

a)x - y - z > 0 Disequazione in tre incognite x = 1 a incognita y = 2 a incognita z = 3 a incognita Una soluzione è la terna : (1, 1, -1), infatti sostituendo in ordine 1 a x, 1 a y e -1 a z, si ha =1> 0, che èuna disuguaglianza vera Altre soluzioni: (1, 0, -1), (1, -1, 1), (2, 1, 0),… Nota: (-1, 1, 1), (-1, 1, 0), (0, 2,1) non sono soluzioni Per risolvere a) poniamo x > y + z y e z fungono da parametro e sono dette incognite libere La generica soluzione è una terna (x, y, z) con x > y+z Esempio: per y = 1 e z =-1, sono soluzioni le terne (x, 1, -1) con x > 0 per y = 1 e z =1, sono soluzioni le terne (x, 1, 1) con x > 2 per y = 0 e z =1, sono soluzioni le terne (x, 0, 1) con x >1 Per risolvere a) poniamo y < x- z x e z fungono da parametro e sono dette incognite libere La generica soluzione è una terna (x, y, z) con y < x- z Esempio: per x = 1 e z =-1, sono soluzioni le terne (1, y, -1) con y < 2 per x = 2 e z =0, sono soluzioni le terne (2, y, 0) con y < 2 per x = 1 e z =1, sono soluzioni le terne (1, y, 1) con y < 0 Equazioni o disequazioni in tre incognite. Le soluzioni di una equazione o disequazione in tre incognite x, y e z sono terne di numeri (a, b, c), che sostituite alle incognite, nell’ordine in cui compaiono, rendono vera l’uguaglianza o la disuguaglianza Per risolvere a) poniamo z < x-y La generica soluzione è una terna (x, y, z) con z < x- y 11

Quaterne (a, b, c, d) =quaterna di 1 a coordinata (o componente) a 2 a coordinata (o componente) b 3 a coordinata (o componente) c 4 a coordinata (o componente) d (a, b, c, d)nuovo ente individuato da quattro oggetti a, b, c e d non necessariamente distinti e dall’ordine in cui intervengono Concetto di uguaglianza : (a, b, c, d) = (a’, b’, c’, d’)  (a = a‘, b = b‘, c = c’ e d= d’) 12

a) x - y – z + 2t = 0 Equazione in quattro incognite x = 1 a incognita y = 2 a incognita z = 3 a incognita t = 4 a incognita Alcune soluzioni: (1, 1, 0, 0), (1, 0, -1, -1), (2, 1, 1,0), (2, 0, 0, - 1)… ma (1, 0, 0,1) non è soluzione Per risolvere a) possiamo porre x = y + z-2t y, z e t fungono da parametro e sono dette incognite libere Allora la generica soluzione ha la forma (y+z-2t, y, z, t) e tutte le soluzioni si ottengono da (y+z-2t, y, z, t) dando valori reali a y, z e t Esempio: ponendo y = 1 e z =1, t =0, si determina la soluzione (2, 1, 1, 0), ponendo y = 0 e z =-1, t = -1,, si determina la soluzione (1, 0,, -1, -1) Per risolvere a) possiamo anche porre y = x- z +2t; oppure….. Allora la generica soluzione ha la forma (x, x- z +2t, z, t) e tutte le soluzioni si ottengono da (x, x- z +2t, z, t) dando valori reali a x, z e t; allora….. Equazioni e disequazioni in quattro incognite. Le soluzioni di una equazione o disequazione in quattro incognite x, y, z e t sono quaterne di numeri (a, b, c, d), che sostituite alle incognite, nell’ordine in cui compaiono, rendono vera l’uguaglianza o la disuguaglianza L’equazione a) ha “  3 ” soluzioni: ha cioè infinite soluzioni che dipendono dai valori dati a tre delle incognite, che fungono da parametri. 13 Esempio di uso delle quaterne

a) x - y – z + 2t > 0 Disequazione in quattro incognite x = 1 a incognita y = 2 a incognita z = 3 a incognita t = 4 a incognita Alcune soluzioni: (2, 1, 0, 0), (2, 0, -1, -1), (3, 1, 1, 0), (4, 0, 0, -1)… ma (1, 2, 0, 0) non è soluzione Per risolvere a) poniamo x > y + z-2t y, z e t fungono da parametro e sono dette incognite libere La generica soluzione è una quaterna (x, y, z, t) con x > y+z-2t Esempio: per y = 1 e z =1, t =0, sono soluzioni tutte le quaterne (x, 1, 1, 0) con x > = 2 per y = 0 e z =-1, t = -1, sono soluzioni tutte le quaterne (x, 0, -1, -1) con x >1 Per risolvere a) possiamo anche porre y < x- z +2t; oppure porre z < x- y +2t oppure porre t > (-x+ y +z)/2 La generica soluzione è una quaterna (x, y, z, t) con y < x-z+2t La generica soluzione è una quaterna (x, y, z, t) con z < x-y+2t La generica soluzione è una quaterna (x, y, z, t) con t > (-x+ y +z)/2 Equazioni e disequazioni in quattro incognite. Le soluzioni di una equazione o disequazione in quattro incognite x, y, z e t sono quaterne di numeri (a, b, c, d), che sostituite alle incognite, nell’ordine in cui compaiono, rendono vera l’uguaglianza o la disuguaglianza 14 Esempio di uso delle quaterne

Ennuple In generale per n  N e n >1 (a 1, a 2, …, a n ) =n-pla di 1 a coordinata (o componente) a 1 2 a coordinata (o componente) a 2 ·································· n a coordinata (o componente) a n Concetto di uguaglianza: (a 1, a 2, …, a n ) = (a’ 1, a’ 2, …, a’ n )  (a 1 = a’ 1, a 2 = a’ 2, …, a n = a’ n )  (a i = a’ i, per ogni i =1, 2, …,n ) 15

Esempio di uso delle ennuple a 1 x 1 + a 2 x a n x n + k = 0 equazione lineare nelle incognite x 1, x 2, …, x n x 1 = 1 a incognita x 2 = 2 a incognita ……… x n = n a incognita Per ottenere la generica soluzione dell’equazione, scelto un coefficiente a i ≠0, si risolve rispetto alla i-esima incognita, portando le altre al secondo membro dell’equazione x 1, x 2, …, x i-1, x i+1, …, x n sono dette incognite libere; il valore di x i dipende invece dai valori reali dati alle n-1 incognite x 1, x 2, …, x i-1, x i+1, …, x n. Si hanno perciò “  n-1 ” soluzioni cioè infinite soluzioni che dipendono dai valori dati alle n-1 incognite libere. Per risolvere una disequazione a 1 x 1 + a 2 x a n x n + k > 0 si procede in modo analogo 16 Equazioni e disequazioni in n incognite. Le soluzioni di un equazione o disequazione in x 1, x 2, …, x n, sono ennuple di numeri reali (s 1, s 2, …, s n ) le cui componenti, sostituite ordinatamente alle incognite rendono vera l’uguaglianza o disuguaglianza.

17 2. Nuovi insiemi: i prodotti cartesiani

Prodotto cartesiano di due insiemi A = {a, b, c} B = {1,2} A  B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c,2)} A  B ha 3  2 = 6 elementi B  A = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b), (1, c), (2, c)} B  A ha 2  3 =6 elementi B  A è costituito dalle coppie inverse delle coppie che appartengono ad a A  B Siano A e B due insiemi di oggetti non vuoti. Il prodotto cartesiano A  B di A e B è l’insieme di tutte le coppie con prima coordinata in A e seconda coordinata in B A  B = {(x, y): x  A e y  B} 18

Siano A = {a, b, c} B = {1, 2} -Mettere il simbolo giusto tra coppia e insieme (a, 2) A  B (a, a) A  B - Dire di quale insieme è elemento la coppia (1, b) - Mettere il simbolo giusto tra le seguente coppie di insiemi {(a, 2), (b, 2), (c, 1)} A  B {(1, a), (2, a), (1, c)} B  A {(1, a), (3, b), (2, a)} A  B Completare la frase: Se v  A  B allora v è una coppia (a, b) con a..…. e b…… 19 Sul prodotto cartesiano A  B= {(x, y): x  A e y  B}

Il caso A = B il prodotto cartesiano A  A è indicato con A 2 A 2 = A  A = {(x, y) : x  A e y  A} D = {(x, y)  A 2 : x = y} diagonale di A 2 D  A 2 D = {(a, a), (b, b), (c, c)} diagonale di A 2 A 2 ha 3  3=9 elementi Esempio: A = {a, b, c} A  A = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (a, b), (c, c)} 20

A 2 = A  A = {(x, y) : x  A e y  A} D = {(x, y)  A 2 : x = y} diagonale di A 2 A = {a, b, c} A 2 = A  A = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (a, b), (c, c)} D = {(a, a), (b, b), (c, c)} diagonale di A 2 D può essere rappresentata come insieme di punti della diagonale di un quadrato 21 Sulla diagonale di A 2 = A  A

Siano A, B e C tre insiemi di oggetti non vuoti. Il prodotto cartesiano A  B  C di A, B e C è l’insieme di tutte le terne con prima coordinata in A, seconda coordinata in B e terza coordinata in C A  B  C = {(x, y, z) : x  A, y  B e z  C)} prodotto cartesiano di A, B e C Esempio: A = {(a, b, c)}, B = {(1, 2)}, C = {(x, y)}, A  B  C = { (a, 1, x), (a, 1, y), (a, 2, x), (a, 2, y), (b, 1, x), (b, 1, y), (b, 2, x), (b, 2, y), (c, 1, x), (c, 1, y), (c, 2, x), (c, 2, y) } Gli elementi A  B  C sono in numero di 3  2  2 = 12 3 = possibili scelte della 1 a coordinata 2 = possibili scelte della 2 a coordinata 2 = possibili scelte della 3 a coordinata 22 Prodotto cartesiano di tre insiemi

Il caso A = B = C A 3 = A  A  A = {(x, y, z) : x  A, y  A e z  A} = {(x 1, x 2, x 3 ) : x i  A,  i = 1, 2, 3} D= {(x, y, z)  A 3 : x =y =z} diagonale di A 3 Esempio: A={a,b} A 3 = A  A  A = {(a, a, a),(a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a),(b, b, b)} D= {(a, a, a), (b, b, b)} 23

Prodotto cartesiano di n insiemi A 1, A 2, …, A n n insiemi I = {1, 2, …, n} insieme degli indici Il prodotto cartesiano di A 1, A 2, …, A n è l’insieme A 1  A 2  …  A n = {(x 1, x 2, …, x n ) : x i  A i, x 2  A 2, … x n  A n } = {(x 1, x 2, …, x n ) : x i  A i  i  I} = {(x 1, x 2, …, x n ) : x i  A i,  i = 1, 2, … n} Se A 1 = A 2 = … = A n = A poniamo: A n = A  A  …  A = {(x 1, x 2, …, x n ) : x i  A  i = 1, 2, … n} 24

2. 1 Particolari prodotti cartesiani L’insieme R 2 delle coppie di numeri reali L’insieme R 3 delle terne di numeri reali L’insieme R n delle ennuple di numeri reali 25

R insieme di numeri reali R 2 = R  R R 2 = { (x, y) : x  R e y  R} Insieme delle coppie di numeri reali D= { (x, y)  R 2 : x  R e y =x } = {(x, x)} x  R Diagonale di R 2 L’insieme R 2 delle coppie di numeri reali Allora v= (2, 3)  R 2 p= (π, √3)  R 2 A = {(-1, 0), (0, 1), (2, 3), (1,1)}  R 2 26

x – y = 0  y=xSono soluzioni le coppie (x, x) ottenute al variare di x  R. D = { (x, y)  R 2 : y =x } diagonale di R 2 è l’insieme delle soluzioni x+ y = 0  y = -xSono soluzioni le coppie (x, -x) ottenute al variare di x  R D’= { (x, y)  R 2 : y =-x } è l’insieme delle soluzioni L’unica soluzione del sistema è la coppia (0, 0) che verifica entrambe le equazioni S={(0, 0)} è l’ insieme delle soluzioni L’insieme delle soluzioni di una equazione in due incognite è una parte di R 2. 27

x 2 – y 2 = 0  x 2 = y 2  y= x o y= -x Sono soluzioni le coppie (x, x) e le coppie (x, -x) ottenute al variare di x  R. S={(x, y)  R 2 : “y =x o y = -x”}=D  D’ insieme delle soluzioni Sono soluzioni del sistema le coppie che verificano entrambe le equazioni e cioè le coppie (x, x) ottenute al variare di x  R. D = {(x, y)  R 2 : y =x } insieme delle soluzioni Il sistema è equivalente all’equazione x-y =0 e ha “  1 ” soluzioni L’insieme delle soluzioni di una disequazione in due incognite è una parte di R 2. 28

L’insieme R 3 delle terne di numeri reali R insieme di numeri reali R 3 = R  R  R R 3 = {(x, y, z) : x  R, y  R e z  R} insieme delle terne di numeri reali Allora v= (2, 3, 0)  R 3 p= (π, √3, -1)  R 3 A = {(-1, 0, 0), (0, 1, 1), (2, 3, π), (-√3, 1,1)}  R 3 29

a)x - y - z =0 Equazione in tre incognite (1, 1, 0) è una soluzione (1, 0, 1) è una altra soluzione Per risolvere a) x = y + z (y+z, y, z) generica soluzione. Tutte le soluzioni si ottengono da (y+z, y, z) al variare di y e z in R S={(x, y, z)  R 3 : x = y + z}={(y+z, y, z)} (y, z)  R 2 è l’insieme delle soluzioni Per risolvere a) y = x- z (x, y-z, z) generica soluzione. Tutte le soluzioni si ottengono da (x, x-z, z) al variare di x e z in R S={(x, y, z)  R 3 : y = x- z}={(x, y-z, z)} (x, z)  R 2 insieme delle soluzion L’insieme delle soluzioni di una equazione in tre incognite è una parte di R 3. L’equazione a) ha “  2 ” soluzioni: ha cioè infinite soluzioni che dipendono dai valori dati a due delle incognite, che fungono da parametri. Per risolvere a) z=x-y …………. 30

a)x - y - z >0 Equazione in tre incognite (2, 1, 0) è una soluzione, (1, 0, -1) è una altra soluzione Per risolvere a) poniamo x > y + z La generica soluzione è una terna (x, y, z) verificante la condizione x >y+z. Quindi S={(x, y, z)  R 3 : x > y + z} è l’insieme delle soluzioni Per risolvere a) poniamo y < x- z La generica soluzione è una terna (x, y, z) verificante la condizione y < x- z. Quindi S={(x, y, z)  R 3 : y < x- z} è l’ insieme delle soluzioni L’insieme delle soluzioni di una disequazione in tre incognite è una parte di R 3. Per risolvere a) poniamo ………. ………….. 31

L’insieme R n delle ennuple di numeri reali R insieme di numeri reali R n = {(x 1, x 2, …, x n ) : x 1  R, x 2  R ….. x n  R} R n = {(x 1, x 2, …, x n ) : x i  R  i  {1, 2, …, n}} (a 1, a 2, …, a n )  R n e k  R a 1 x 1 + a 2 x a n x n + k = 0 equazione lineare nelle incognite x 1, x 2, …, x n Le soluzioni dell’equazione sono ennuple di numeri reali (s 1, s 2, …, s n ) le cui componenti, sostituite ordinatamente alle incognite x 1, x 2, …, x n, rendono vera l’uguaglianza. Per ottenere la generica soluzione, scelto un coefficiente a i ≠0, si risolve rispetto alla i-esima incognita: Si hanno perciò “  n-1 ” soluzioni e l’insieme delle soluzioni è S= { (x 1, x 2, …, x n )  R n : } 32

3. Rappresentazione di R 2 nel piano cartesiano e la nozione di distanza rappresentazione di R come insieme di punti di una retta rappresentazione di R 2 come insieme di punti di un piano cartesiano 33

Se A e B sono due punti, AB indica il segmento di estremi A e B orientato nel verso che va da A a B; BA, indica il segmento con gli stessi estremi, ma di verso opposto; scriveremo allora: BA = - AB. La scrittura indica il segmento di estremi A e B senza alcun orientamento; allora Sia r una retta e OU un segmento orientato su di essa, scelto come unità di misura per i segmenti orientati. O U A B Indichiamo con o semplicemente con |AB| la lunghezza ( misura assoluta) del segmento rispetto al semento unitario Indichiamo con (AB) OU la misura relativa di AB rispetto al un segmento orientato OU, cosi definita: 34 Premessa: misura relativa di segmenti orientati di una retta

Una coppia (O, U) di punti distinti di una retta r crea una corrispondenza biunivoca tra r e l’insieme R dei numeri reali Una coppia (O, U) di punti distinti di una retta r individua: -un verso sulla retta, quello del segmento orientato OU, cioè quello in cui U segue O, detto verso positivo; -una unità di misura per i segmenti, quella rappresentata dal segmento u = ; - un punto origine, il punto O, dal quale riportare il segmento unitario o una sua parte nel verso positivo o in quello opposto (negativo) al fine di misurare i segmenti orientati di origine O. Allora: ogni punto P della retta individua il numero x = (OP) OU, misura relativa del segmento orientato OP rispetto al segmento orientato OU; ogni numero reale x individua il punto P della retta tale che il segmento orientato OP abbia misura relativa pari a x Quindi attraverso (O, U) ogni punto P della retta è identificato da un numero reale ed uno solo x. 35

Riferimento cartesiano sulla retta come coppia (O, U) di punti (O, U) è detto riferimento cartesiano sulla retta r O è detto punto origine; U e detto punto unità. La retta r, considerata insieme al riferimento cartesiano (O,U) è detta asse cartesiano. Il numero x = associato al punto P è detto ascissa di P nel riferimento (O, U) P è identificato sulla retta da tale numero: si scrive allora P = P(x) =P x 36 Attraverso il riferimento (O, U), l’insieme R dei numeri reali è rappresentato come insieme di punti dell’asse cartesiano r, che è allora detto asse reale; r è un modello geometrico di R

Distanza di due punti sull’asse cartesiano Distanza di due punti A e B sull’asse cartesiano è la misura della lunghezza |AB| del segmento non orientato di estremi A e B; essa coincide con il valore assoluto della differenza delle ascisse. Quindi, se A è il punto dell’asse cartesiano di ascissa a e B è il punto di ascissa b, è: d(A, B) =|AB| = |b-a| = |a-b| distanza di A e B 37 Con riferimento al segmento AB in figura è: (AB) OU = b-a 0 Distanza in R di due numeri reali a e b è il valore assoluto delle differenza dei due numeri: d(a, b) =|b-a| = |a-b| NOTA: La definizione di distanza di due numeri reali, suggerita dalla definizione di distanza di due punti dell’asse cartesiano, prescinde da ogni unità di misura.

Una terna (O, U 1, U 2 ) di punti non allineati di piano Π crea una corrispondenza biunivoca tra Π e l’insieme R 2 delle coppie di numeri reali Una terna (O, U 1, U 2 ) di punti non allineati di un piano Π individua: - l’asse x passante per O e U 1, orientato nel verso in cui U 1 segue O e, su di esso, il riferimento cartesiano (O, U 1 ); - l’asse y passante per O e U 2, orientato nel verso in cui U 2 segue O e, su di esso, il riferimento cartesiano (O, U 2 ). o ogni punto P punto del piano individua una coppia (x, y) di numeri reali: x è l’ascissa nel riferimento (O,U 1 ) del punto P x, proiezione di P sull’asse x secondo la direzione dell’asse y, y è l’ascissa nel riferimento (O,U 2 ) del punto P y, proiezione di P sull’asse y secondo la direzione dell’asse x ; o ogni coppia (x, y) di numeri reali individua il punto P del piano, intersezione delle parallele agli assi condotte dai punti P x dell’asse x avente ascissa x nel riferimento (O, U 1 ) e P y delll’asse y avente ascissa y nel riferimento (O, U 2 ) P x e P y sono ovviamente le proiezioni di P sull’asse x secondo la direzione di y e sull’asse y secondo la direzione di y. Quindi ad ogni punto P del piano corrisponde una coppia di numeri reali e viceversa y P y PxxPxx P(x,y) O U 1 U2U2 y x 38

Riferimento cartesiano nel piano Π come terna di punti non allineati (O, U 1, U 2 ) La terna (O, U 1, U 2 ) permette allora di identificare ogni punto P del piano con una coppia ed una sola coppia di numeri reali (x, y) La terna (O, U 1, U 2 ) è detta riferimento cartesiano del piano : - O è detto punto origine del riferimento; - U 1, è detto primo punto unità; - U 2, è detto secondo punto unità. Sia P un punto del piano e (x, y) e la coppia di numeri reali ad esso associata dal riferimento: si scrive allora P =(x, y) o P (x, y) y P y PxxPxx P(x,y) O U 1 U2U2 ( x, y) è detta coppia di coordinate di P: x = 1 a coord. di P o ascissa di P y = 2 a coord. di P o ordinata di P y x Gli assi x e y sono detti assi cartesiani: l’ asse x è detto 1° asse cartesiano o asse delle ascisse l’ asse y è detto 2° asse cartesiano o asse delle ordinate 39

Riferimento cartesiano monometrico ortogonale nel piano Un riferimento cartesiano (O, U 1, U 2 ) del piano Π è detto - ortogonale se i due due assi, x = OU 1 e y = OU 2 sono tra loro perpendicolari, - monometrico se i segmenti e sono congruenti. 40 II quadrante (-, +) x I quadrante (+, +) III quadrante (-, -) IV quadrante (+, -) Gli assi cartesiani suddividono il piano in quattro parti detti quadranti ordinati come indicato in figura: -i punti del 1° quadrante che non appartengono agli assi hanno coordinate entrambe positive, -i punti del 2° quadrante che non appartengono agli assi hanno ascissa negativa e ordinata positiva, -i punti del 3° quadrante che non appartengono agli assi hanno coordinate entrambe negative, -I punti del 4° quadrante che non appartengono agli assi hanno ascissa positiva e ordinata negativa

Rappresentazione di R 2 = {(x, y) : x  R e y  R} come insieme dei punti di un piano cartesiano Π Sia Π un piano e sia (O, U 1, U 2 ) un riferimento cartesiano su di esso: Π è detto piano cartesiano. (O, U 1, U 2 ) identifica ogni punto P del piano Π con la coppia (x, y) delle sue coordinate e quindi identifica l’insieme R 2 delle coppie di numeri reali con il piano Π Π costituisce un modello geometrico di R 2. Convenzione: Conveniamo di rappresentare R 2 come insieme di punti di un piano cartesiano Π in cui il riferimento fissato (O, U 1, U 2 ) sia monometrico ortogonale y P y PxxPxx P(x,y) O U 1 U2U2 x y x I quadrante (+, +) 41 y x

Riferimento cartesiano monometrico ortogonale nel piano e misura dei segmenti Un sistema monometrico ortogonale fornisce, in quanto monometrico, una unica unità di misura per i segmenti sui due assi e quindi per i segmenti del piano, e, in quanto ortogonale, permette, applicando il teorema di Pitagora, di esprimere la misura di un segmento attraverso le coordinate dei punti estremi Sia il segmento di estremi A(x 1,y 1 ) e B(x 2,y 2 ); applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo AHB che ha i cateti paralleli agli assi otteniamo la lunghezza di, 42

Distanza Euclidea di due punti del piano In particolare la distanza euclidea di A(x, y) dal punto origine O(0, 0) del riferimento cartesiano è d(A, O) =. A (x,y) √ x 2 +y 2 La distanza euclidea di due punti A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ) del piano è la misura del segmento AB A(x 1,y 1 ) √ ( x 2 -x 1 ) 2 + ( y 2 -y 1 ) 2. B(x 2,y 2 ) 43 La distanza in R 2 di due coppie di numeri reali (x 1,y 1 ), e (x 2,y 2 ) è definita da Tale definizione corrisponde alla distanza euclidea di due punti del piano (quelli con cui con cui si identificano le due coppie di numeri reali), ma prescinde da ogni unità di misura

Distanza Euclidea di due punti del piano Esempi: d(A(2, 4), B(3, 7)) = d(A(2, 4), O(0, 0)) =. C( 6, 8) 2√5 √ 10. B( 3,7) A (2, 4). d(C(6, 8), D(6, 0)) =. D (6, 0) A (2, 4)

Distanza euclidea di due punti del piano: casi particolari Se due punti A(x 1, y 1 ), B(x 1, y 2 ) hanno la stessa ascissa la distanza è uguale al valore assoluto della differenza delle ordinate Se due punti A(x 1, y 1 ), C(x 2, y 1 ) hanno la stessa ordinata la distanza è uguale al valore assoluto della differenza delle ascisse.B(x 1,y 2 ). A(x 1,y 1 )C(x 2, y 1 ). |y 2 -y 1 | = |y 1 -y 2 | | x 2 -x 1 |=|x 1 -x 2 | 45

Distanza di un punto dagli assi cartesiani la distanza di un punto A(x, y) dall’asse delle ascisse è la distanza tra A e la sua proiezione ortogonale A x su tale asse essa allora coincide con il valore assoluto dell’ordinata la distanza di A(x, y) dall’asse delle ordinate è è la distanza tra A e la sua proiezione ortogonale A y su tale asse essa allora coincide con il valore assoluto dell’ascissa. A ( x,y ) |y||y| |x||x| 46

Posizione nel piano dei punti di coordinate (x, y) e (y, x) Con convenzione di rappresentare R 2 come insieme di punti del piano attraverso un riferimento (O, U 1, U 2 ) monometrico ortogonale in Π si ottiene il seguente risultato. α) coppie inverse, (x, y) e (y, x), con componenti distinte, rappresentano punti che sono l’uno il simmetrico dell’altro rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.. A(x,y). C(x,x). B(y,x) x y. D(y,y) x y A e B sono vertici opposti sulla diagonale di un quadrato con i lati paralleli agli assi la cui altra diagonale sulla bisettrice del primo quadrante; allora, poiché in un quadrato le diagonali sono perpendicolari e si bisecano, A e B si trovano sulla perpendicolare alla bisettrice, da lati opposti e ad uguale distanza, il che prova l’ asserto 47

Distanza di Minkowski o di Manhattan o distanza urbana La distanza di Minkowski di due punti A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ) del piano, detta anche distanza di Manhattan o distanza urbana è definita come segue Costruito il parallelogramma di vertici opposti A e B con i lati paralleli agli assi, la distanza tra A e B è la somma delle lunghezze di due lati perpendicolari tra loro che collegano A e B: Nota: in città rappresenta la lunghezza del percorso che occorre compiere per andare da A a B quando A e B si trovano su spigoli opposti di un palazzo A B |x 2 -x 1 | |y 2 -y 1 | x2x2 x1x1 y2y2 y1y1 In particolare : Esempi: d(A(2, 4), B(-3, 7)) = |-3-2| + |7-4| = = 8 d(A(2, 4), O(0, 0)) = = 6 48

Confronto tra distanza di Minkowski e distanza euclidea Se due punti A e B hanno la stessa ascissa la distanza urbana coincide con la distanza euclidea ed è uguale al valore assoluto della differenza delle ordinate Se due punti A e C hanno la stessa ordinata la distanza urbana coincide con la distanza euclidea ed è uguale al valore assoluto della differenza delle ascisse In generale d(A, B) ≤ d U (A, B).B(x 1,y 2 ). A(x 1,y 1 )C(x 2, y 1 ). |y 2 -y 1 | | x 2 -x 1 | 49 √ ( x 2 -x 1 ) 2 + ( y 2 -y 1 ) 2 |y 2 -y 1 | | x 2 -x 1 |

50 4. Sulla Rappresentazione nel piano cartesiano di parti di R 2

La diagonale di R 2 D = {(x, y)  R 2 : y = x } è l’insieme delle soluzioni dell’equazione x-y =0 o y=x ; essa è rappresentata dalla regione di piano D Π = {P (x, y)  Π : y = x } costituita dai punti che sono punti del 1° e 3° quadrante ( perché le coordinate hanno lo stesso segno ) equidistanti dagli assi ( perché |x| = |y| ). D Π è allora la bisettrice di tali quadranti Rappresentando ogni coppia di numeri reali (x, y) con il punto P(x, y) di coordinate x e y del piano cartesiano, ogni sottinsieme di R 2 viene adessere rappresentato da una regione del piano. Ciò accade in particolare per l’insieme delle soluzioni di una equazione o disequazione in due incognite. P(x,x) | y | = |x| x y= x |x||x| P * ( x *,x * ). |x*| |x*| |x*| |x*| DΠDΠ y = x 51 L’uguaglianza y = x, che definisce i punti di D Π, è detta equazione della bisettrice del 1° e 3° quadrante

Il sottinsieme di R 2 D’ = {(x, y)  R 2 : y = - x } si identifica con la regione del piano D’ Π = {P (x, y)  Π : y = - x } costituita dai punti del piano del 2° e 4° quadrante ( perché le coordinate hanno lo segno opposto ) equidistanti dagli assi ( perché |x| = |y| ). D’ Π è allora la bisettrice del 2° e 4° quadrante L’uguaglianza y = -x, è detta equazione della bisettrice D’ Π P( x,x ). x y= -x |x||x| |-x|=|x| D’ΠD’Π y = -x 52

L’equazione x 2 - y 2 = 0 ha per insieme delle soluzioni la parte di R 2 S = {(x, y)  R 2 : x 2 - y 2 = 0} Risultando x 2 - y 2 = 0  (x-y) (x+y) = 0 è S = {(x, y)  R 2 : y=x o y =-x} = D  D’ S è quindi rappresentato nel piano dall’unione delle due bisettrici D Π e D’ Π Si identifica perciò con il luogo dei punti del piano equidistanti dai due assi. 53

54 L’equazione x - y = 1 è equivalente all’equazione y = 1- x ; pertanto la generica soluzione può porsi anche nella forma (x, x-1) e tutte le soluzioni particolari si ottengono dando valori reali a x L’insieme delle soluzioni è S={(x, y)  R 2: y= x-1}={(x, x-1)} x  R S è rappresentato nel piano dalla retta y = x-1 parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante. (x,x) x x* x* x* x* 1 y= x-1. (x,x-1)

Y = {(x, y) ∈ R 2 : x = 0}, insieme delle soluzioni di “x=0”, è rappresentato nel piano dall’insieme dei punti di ascissa zero, cioè dai punti dell’asse y. Viceversa, L’asse y è l’insieme dei punti del piano le cui coordinate verificano l’equazione x=0, ed è quindi individuato datale equazione: diremo che l’asse y è la retta di equazione x = 0 X = {(x, y) ∈ R 2 : y = 0}, insieme delle soluzioni di “y=0”, è rappresentato nel piano dall’insieme dei punti di ordinata 0, cioè dai punti dell’asse x. Identificando tale asse attraverso l’equazione y=0, diremo che l’asse x è la retta di equazione y = 0 X x yYyY 55

Y a = {(x, y) ∈ R 2 : x = a}, insieme delle soluzioni dell’equazione “x=a”, è rappresentato nel piano dall’insieme dei punti di ascissa a, cioè dalla retta parallela all’asse y e passante per il punto di coordinate (a, 0). Diremo che tale retta è la retta di equazione x=a X b = {(x, y) ∈ R 2 : y = b}, insieme delle soluzioni dell’equazione “y = b”, è rappresentato nel piano dall’insieme dei punti di ordinata b, cioè dalla retta parallela all’asse x e passante per il punto di coordinate (0, b). Diremo tale retta è la retta di equazione y = b (a, 0) x y (0, b) YaYa XbXb 56

(a, 0) X y=0 x y x=0 (0, b) Y 57

S x+ = {(x, y) ∈ R 2 : x ≥0}, insieme delle soluzioni della disequazione “x ≥0”, è rappresentato da un semipiano chiuso, il semipiano delle x non negative che è uno dei semipiani chiusi che hanno origine dall’asse delle ordinate e comprendono tale asse. x ≥0 disequazione rappresentante il semipiano che denominiamo brevemente come semipiano x ≥ 0 S° x+ = {(x, y) ∈ R 2 : x > 0}, insieme delle soluzioni della disequazione “x>0”, è rappresentato da un semipiano aperto, il semipiano delle x positive, che è uno dei semipiani aperti che hanno origine dall’asse delle ordinate ma non comprendono tale asse x > 0 disequazione rappresentante il semipiano apertp Lo denominiamo brevemente come semipiano x >0 C 58

L’insieme S x- = {(x, y) ∈ R 2 : x≤ 0} è rappresentato da un semipiano chiuso, il semipiano delle x non positive che ha origine dall’asse delle ordinate e comprende tale asse x≤ 0 disequazione rappresentate il semipiano Lo denominiamo brevemente come semipiano x≤ 0 L’insieme S° x- = {(x, y) ∈ R 2 : x< 0} è rappresentato da un semipiano aperto, il semipiano delle x negative che ha origine dall’asse delle ordinate ma non lo comprende x< 0 disequazione rappresentate il semipiano Lo denominiamo brevemente come semipiano x < 0 59

L’insieme S y+ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥0} è rappresentato da un semipiano chiuso, semipiano delle y non negative che è uno dei semipiani chiusi che hanno origine dall’asse delle ascisse e comprendono tale asse. semipiano y ≥0 L’insieme S° y+ = {(x, y) ∈ R 2 : y > 0} è rappresentato da un semipiano aperto, semipiano delle y positive che è uno dei semipiani aperti che hanno origine dall’asse delle ascisse mano comprendono tale asse. semipiano y >0 C 60

L’insieme S y- = {(x, y) ∈ R 2 : y ≤ 0} è rappresentato da un semipiano chiuso, semipiano delle y non positive che ha origine dall’asse delle ascisse e comprende tale asse. semipiano y ≤ 0 L’insieme S° y- = {(x, y) ∈ R 2 : y < 0} è rappresentato da un semipiano aperto, semipiano delle y negative che ha origine dall’asse delle ascisse ma non comprende tale asse. semipiano y < 0 C 61

Gli insiemi S x+ = {(x, y) ∈ R 2 : x ≥0}S° x+ = {(x, y) ∈ R 2 : x > 0} S x- = {(x, y) ∈ R 2 : x≤ 0}S° x- = {(x, y) ∈ R 2 : x< 0} S y+ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥0}S° y+ = {(x, y) ∈ R 2 : y > 0} S y- = {(x, y) ∈ R 2 : y ≤ 0}S° y- = {(x, y) ∈ R 2 : y < 0} che sono graficamente rappresentati da semipiani limitati da uno degli assi, sono insiemi di soluzioni di particolari disequazioni: …… Indichiamo i semipiani rappresentati tali insiemi con le disequazioni che li individuano: Semipiano x ≥0Semipiano x >0 ( di origine l’asse delle ordinate) Semipiano x ≤0Semipiano x < 0 (di origine l’asse delle ordinate) Semipiano y ≥0Semipiano y > 0 (di origine l’asse delle ascisse) Semipiano y ≤0Semipiano y < 0 (di origine l’asse delle ascisse) x≥0 x ≤ 0 y ≥0 y ≤0 62

A= {(x, y)  R 2 : a ≤ x ≤ b} H= {(x, y)  R 2 : c ≤ y ≤ d } y=c a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d x=a x=b a b c d y=d I= {(x, y)  R 2 : a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d } a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d 63

C= {(x, y)  R 2 : y≥x} H= {(x, y)  R 2 : y≤x} y≥x y≤x Semipiano chiuso y≥x ( di origine la bisettrice del 1° e 3° quadrante ) Semipiano chiuso y ≤ x (di origine la bisettrice del 1° e 3° quadrante) 64

Rappresentare nel piano l’insieme delle soluzioni delle seguenti equazioni e disequazioni o sistemi di equazioni e disequazioni 1.x ≤ 2 1. y=|x| 1.x≤y≤ y ≤ 2 6. y=- |x| 7. x≤y≤2 8. x 2 +y 2 =

66

Intervallo chiuso o rettangolo chiuso di R 2 = prodotto cartesiano di due intervalli chiusi di R I =[a 1, b 1 ]×[a 2, b 2 ]={(x, y)  R 2 : a 1 ≤ x ≤ b 1 e a 2 ≤ x ≤ b 2 } Se assumiamo a 1 ≤ b 1 e a 2 ≤ b 2 : I=[a 1, b 1 ]×[a 2, b 2 ] è denotato anche con la scrittura I = [(a 1, a 2 ), (b 1, b 2 )] I punti A=(a 1, a 2 ) e B=(b 1, b 2 ) sono detti rispettivamente primo e secondo estremo di I Il punto è detto centro dell' intervallo I. Con l’assunzione a 1 ≤ b 1 e a 2 ≤ b 2, i numeri non negativi δ 1 =b 1 - a 1 e δ 2 =b 2 – a 2 diconsi prima e seconda dimensione di I e il loro prodotto 67 a 1 b 1 b2a2b2a2 B=(b 1, b 2 ) A=(a 1, a 2 ) c

Rappresentazione degli intervalli chiusi di R 2 L’ intervallo o rettangolo chiuso I =[a 1, b 1 ]×[a 2, b 2 ], con a 1 ≤ b 1 e a 2 ≤ b 2, è detto degenere se una almeno delle dimensioni è nulla, e cioè se a 1 = b 1 o a 2 = b 2. Un rettangolo I =[a 1, b 1 ]×[a 2, b 2 ] non degenere è rappresentato nel piano in cui è fissato un riferimento monometrico ortogonale da un un rettangolo con i lati paralleli agli assi. Un rettangolo I =[a 1, b 1 ]×[a 2, b 2 ] degenere è rappresentato: - da un segmento parallelo all' asse delle ascisse se a 2 = b 2, e a 1 ≠ b 1, - da un segmento parallelo all'asse delle ordinate se a 1 = b 1 e a 2 ≠ b 2 ; - dal singleton {(a 1, a 2 )}={(b 1,b 2 )}, cioè da un insieme costituito da un solo punto, se entrambe le dimensioni sono nulle, cioè a 1 = b 1 e a 2 = b 2 a 1 =b 1 a 2 =b 2 (a 1, a 2 ) =(b 1, b 2 ) a 1 b 1 a 2 =b 2 (a 1, a 2 ) (b 1, a 2 ) a 1 =b 1 (a 1, a 2 ) b 2 a 2 (a 1, b 2 ) b2a2b2a2 (b 1, b 2 ) (a 1, a 2 ) α(I)=0 α(I)>0

Rappresentazione degli intervalli chiusi di R 2 Supposto a 1 ≤ b 1 e a 2 ≤ b 2, l’ intervallo o rettangolo chiuso I =[a 1, b 1 ]×[a 2, b 2 ] dicesi degenere se uno almeno dei due intervalli di R il cui prodotto cartesiano dà I è degenere, e cioè se una almeno delle dimensioni di I è nulla Un rettangolo I =[a 1, b 1 ]×[a 2, b 2 ] è rappresentato nel piano in cui è fissato un riferimento monometrico ortogonale: - da un rettangolo con i lati paralleli agli assi se le dimensioni sono entrambe positive; - da un segmento parallelo all' asse delle ascisse se a 2 = b 2, parallelo invece all'asse delle ordinate se a 1 = b 1 - dal singleton {(a 1, a 2 )}={(b 1,b 2 )},cioè da un insieme costituito da un solo punto, se entrambe le dimensioni sono nulle a 1 =b 1 a 2 =b 2 (a 1, a 2 ) =(b 1, b 2 ) a 1 b 1 a 2 =b 2 (a 1, a 2 ) (b 1, a 2 ) a 1 =b 1 (a 1, a 2 ) b 2 a 2 (a 1, b 2 ) 69

Intervallo o rettangolo aperto di R 2 è il prodotto cartesiano di due intervalli aperti di R I =]a 1, b 1 [×]a 2, b 2 [={(x, y)  R 2 : a 1 < x < b 1 e a 2 < x < b 2 } I è denotato anche con la scrittura I = ](a 1, a 2 ), (b 1, b 2 )[ ed è detto intervallo aperto di estremi (a 1, a 2 ) e (b 1, b 2 ) Il centro e le dimensioni sono definite come nel caso dell’intervallo chiuso. Un intervallo aperto a dimensioni positive è rappresentato nel piano da un rettangolo che non include i lati. Un intervallo aperto con almeno una dimensione nulla è la parte vuota di R 2. a 1 b 1 b2a2b2a2 70

Intervallo o rettangolo di R 2 semiaperto superiormente è il prodotto cartesiano di due intervalli di R semiaperti superiormente: I =[a 1, b 1 [×[a 2, b 2 [={(x, y)  R 2 : a 1 ≤ x < b 1 e a 2 ≤ x < b 2 } Gli estremi, il centro e le dimensioni sono definite come nel caso dell’intervallo chiuso. Un intervallo semiaperto superiormente a dimensioni positive è rappresentato nel piano da un rettangolo che include solo due dei suoi lati lati. Un intervallo aperto con almeno una dimensione nulla è la parte vuota di R 2. a 1 b 1 b2a2b2a2 71

Intervallo o rettangolo di R 2 semiaperto inferiormente è il prodotto cartesiano di due intervalli di R semiaperti inferiormente: I =]a 1, b 1 ]×]a 2, b 2 ]={(x, y)  R 2 : a 1 < x ≤ b 1 e a 2 < x ≤ b 2 } Gli estremi, il centro e le dimensioni sono definite come nel caso dell’intervallo chiuso. Un intervallo semiaperto superiormente a dimensioni positive è rappresentato nel piano da un rettangolo che include solo due dei suoi lati lati. Un intervallo aperto con almeno una dimensione nulla è la parte vuota di R 2. a 1 b 1 b2a2b2a2 72

Misure elementare (area) di un rettangolo di R 2 Area o misura elementare di un rettangolo chiuso I=[a 1, b 1 ]×[a 2, b 2 ] è il numero a(I) = (b 1 - a 1 ) (b 2 - a 2 ), prodotto delle dimensioni di I. Esempi Il rettangolo I=[2, 4]  [3, 8] misura a(I)= (4-2)  (8-3)=10. Il rettangolo J=[-1, 2]×[5, 5] =[-1, 2]×{5} misura a(I)= 3  0=0. Il rettangolo degenere J o =[2, 2]  [5, 5] ={2}  {5} = {(2,5)} misura a(I)= (2-2)  (5-5)=

Intorni rettangolari-Punti interni- Insiemi limitati È detto intorno rettangolare di un punto C(x 0, y 0 ) ogni intervallo aperto di centro C. Un punto C è detto interno ad una parte S di R 2 se esiste un intorno rettangolare di C incluso in S. S Un punto interno a un rettangolo è un punto del rettangolo non appartenente ai lati Una parte S di R 2 è detta limitata se è contenuta in un rettangolo chiuso. C. S 74

Circonferenza Sia r ≥0 L’insieme C= { (x, y)  R 2 : } è l’insieme delle coppie che distano r dalla coppia (x 1, y 1 ) e anche insieme delle soluzioni dell’equazione C è detto circonferenza di R 2 di centro (x 1, x 2 ) e raggio r, perché rappresentato nel piano, in cui è fissato un riferimento monometrico ortogonale, dalla circonferenza di raggio r con centro in P 1 (x 1, y 1 ) che indichiamo con C(P 1 (x 1, y 1 ); r) Se r = 0 la circonferenza è degenere ed è costituita solo dal punto P 1 (x 1, y 1 ). P 1 x1x1 y1y1 è detta equazione di C(P 1 (x 1, y 1 ); r) r 75

Forme equivalenti dell’equazione Sia r ≥0 L’equazione 1) che rappresenta la circonferenza C(P 1 (x 1, y 1 ); r), si può porre nella forma equivalente 2). P 1 x1x1 y1y1 r Sviluppando i quadrati al primo membro: x 2 + y 2 -2x 1 x-2y 1 y+x 1 2 +y 1 2 = r 2, r≥0 e ponendo a= -2x 1, b= -2y 1 c= x 1 2 +y 1 2 – r 2, si giunge all’equazione 3) x 2 + y 2 + ax+by+ c= 0 Una equazione di tipo 3) rappresenta una circonferenza di centro P 1 (x 1, y 1 )= (-a/2, -b/2) e raggio r = purché risulti verificata la condizione di realtà: 76

2 (x-3) 2 +y 2 =4 (3,0) (5,0)(1,0) Circonferenza di centro P 1 (3,0) e raggio 2 Circonferenza di centro O(0,0) e raggio 2 3 x 2 +y 2 - 8x-6y+16=0. (4, 3) Circonferenza di centro P 2 (4,3) e raggio 3 77

Cerchio aperto e intorni circolari Sia r ≥0 ={(x, y)  R 2 : } è l’insieme delle coppie la cui distanza dalla coppia (x 1, y 1 ) è minore di r e anche l insieme delle soluzioni dell’equazione è detto cerchio aperto di R 2 di centro (x 1, x 2 ) e raggio r, perché rappresentato nel piano, in cui è fissato un riferimento monometrico ortogonale, dal cerchio di raggio r con centro in P 1 (x 1, y 1 ) privo della circonferenza e che indichiamo con Se r = 0 il cerchio è degenere e coincide con l’insieme vuoto Intorno circolare di un punto P è un cerchio aperto di cento P e raggio positivo Si dimostra un punto C è interno ad un insieme S se e solo se esiste un intorno circolare di C incluso in S. P 1 x1x1 y1y1 r.C.C 78

Cerchio chiuso e insiemi limitati Sia r ≥0 = { (x, y)  R 2 : } è l’insieme delle coppie che distano r o meno di r dalla coppia (x 1, y 1 ) e anche l’insieme delle soluzioni di è detto cerchio chiuso di R 2 di centro (x 1, x 2 ) e raggio r, perché rappresentato nel piano, in cui è fissato un riferimento monometrico ortogonale dal cerchio chiuso di raggio r con centro in P 1 (x 1, y 1 ) che indichiamo con Se r = 0 il cerchio è degenere ed è costituito dal solo punto P 1 (x 1, y 1 ) Si dimostra che Una parte S di R 2 è limitata se e solo se è contenuta in un cerchio chiuso. P 1 x1x1 y1y1 r S 79

Riferimento cartesiano nello spazio come quaterna di punti non complanari (O, U 1, U 2,, U 3 ) Una quaterna (O, U 1, U 2, U 3 ) di punti non allineati del piano individua: -l’asse x per O e U 1, orientato nel verso in cui U 1 segue O e, su di esso, il riferimento cartesiano (O, U 1 ); -l’asse y per O e U 2, orientato nel verso in cui U 2 segue O e, su di esso, il riferimento cartesiano (O, U 2 ); -l’asse z per O e U 3, orientato nel verso in cui U 3 segue O e, su di esso, il riferimento cartesiano (O, U 3 ); -il piano xy individuato dagli assi x e y e, su di esso, il riferimento cartesiano (O, U 1, U 2 ); -il piano xz individuato dagli assi x e z e, su di esso, il riferimento cartesiano (O, U 1, U 3 ); -il piano y z individuato dagli assi y e z e, su di esso, il riferimento cartesiano (O, U 2, U 3 ). Le rette parallele agli assi condotte per un punto P del piano intersecano i suindicati piani nei punti:  P xy sul piano xy,  P xz sul piano xz,  P yz sul piano yz; I piani per P paralleli ai piani yz, xz e xy intersecano gli assi nei punti: P x sull’asse x, P y sull’asse y, P z sull’asse z. 80

Riferimento cartesiano nello spazio come quaterna di punti non complanari (O, U 1, U 2,, U 3 ) Allora ogni punto P del piano una terna di numeri reali (x, y, z): x è l’ascissa di P x sull’asse x, y è l’ascissa di P y sull’asse y z è l’ascissa di P z sull’asse z. P è allora il vertice opposto ad O del parallelepipedo di lati OP x, OP y e OP z : viceversa ogni terna di numeri reali (x, y, z) individua un punto P del piano: infatti se P x è il punto di ascissa x sull’asse x, P y è il punto di ascissa y sull’asse y e P z è il punto di ascissa z sull’asse z, allora P, è il vertice opposto ad O del parallelepipedo di lati OP x, OP y e OP z In conclusione: attraverso la quaterna (O, U 1, U 2,, U 3 ) Ogni punto dello spazio individua una terna di numeri reali (x, y, z) ed è da essa individuato 81

Scriviamo allora: P = (x, y. z) o P (x, y. Z) ( x, y, z) è detta terna delle coordinate di P x = 1 a coord. di P o ascissa di P y = 2 a coord. di P o ordinata di P z = 3 a coord. di P o quota di P Riferimento cartesiano nello spazio come quaterna terna di punti non complanari (O, U 1, U 2,, U 3 ) La quaterna (O, U 1, U 2, U 3 ) è detta riferimento cartesiano dello spazio: - O è detto punto origine del riferimento; - U 1, è detto primo punto unità; - U 2, è detto secondo punto unità; - U 3, è detto terzo punto unità. Fissato un riferimento cartesiano (O, U 1, U 2, U 3 ) nello spazio, ogni punto P viene ad essere identificato con una terna di numeri reali ( x, y, z) 82 x, y e z sono detti assi cartesiani l’asse x è detto 1° asse coordinato o asse delle ascisse l’asse y è detto 1° asse coordinato o asse delle ordinate l’asse z è detto 3° asse coordinato o asse delle quote

83 Rappresentazione di R 3 = {(x, y, z) : x  R, y  R, z  R} come insieme dei punti dello spazio cartesiano Fissato un riferimento monometrico nello spazio ogni terna (x, y, z) di numeri reali è identificato con un punto P dello spazio e viceversa (x, y. z) è detta terna delle coordinate di P Allora, identificando ogni terna di numeri reali (x, y, z) con i punto P dello spazio che ha tale terna come terna delle coordinate, l’ insieme R 3, è rappresentato come insieme di punti dello spazio. Conveniamo di rappresentare R 3 come insieme di punti dello spazio attraverso un riferimento (O, U 1, U 2 ) monometrico ortogonale e di adottare come distanza nello spazio la distanza euclidea.

84 (O, U 1, U 2, U 3 ) è un riferimento ortogonale se gli assi sono a due a due perpendicolari, monometrico se i segmenti, e sono congruenti In un riferimento monometrico ortogonale è individuata una unica unità di misura per tutti i segmenti dello spazio -la distanza euclidea di due punti A(x 1,y 1, z 1 ), B(x 2,y 2, z 2 ) è la misura del segmento AB -La distanza di Minkowski è Essa è la somma delle lunghezze dei lati del parallelepipedo con i lati paralleli agli assi che ha A e B come vertici opposti Riferimento cartesiano monometrico ortogonale nello spazio e distanza di due punti

R 3 = {(x, y. z) : x  R, y  R e z  R)} T = {(x, y, z)  R 3 : z = 2} T = {(x, y, 2)} x  R y  R P = (1,2,3) R3R3 T 85