Prof.ssa Livia Brancaccio 2015/16 Il Teorema di Pitagora Prof.ssa Livia Brancaccio 2015/16

Il Teorema di Pitagora Un teorema è una proposizione la cui validità è assicurata da una dimostrazione rigorosa.

Obiettivi Conoscere il teorema di Pitagora e apprendere le formule applicative Acquisire il significato di terna pitagorica e saperla scrivere Saper applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo e alle figure piane studiate Comprendere e risolvere problemi con l’uso del teorema di Pitagora

Competenze iniziali Conoscere le figure piane studiate e le proprietà ad esse relative Conoscere il concetto di equivalenza di figure piane Saper calcolare le aree delle figure piane

Competenze da raggiungere Riconoscere e denominare le forme del piano e coglierne le relazioni tra gli elementi Spiegare i procedimenti seguiti Riconoscere e risolvere problemi in contesti diversi

Contenuti Teorema di Pitagora PREREQUISITI: riconoscere e costruire poligoni equiscomponibili. Scheda di lavoro 2 Corde e terne Scheda di lavoro 3 Esercizi Scheda di lavoro 4 Visione di video dimostrativi Scheda di lavoro 1 Le mattonelle

Attività 1 – Le mattonelle Costruzione di modelli in carta di triangoli, rettangoli e quadrati da comporre tra loro alla ricerca della proprietà fondamentale scoperta da Pitagora Obiettivo didattico: far costruire modelli geometrici e visualizzare concretamente le proprietà scoperte da Pitagora. Tempo: 1h

Fase 1 - I triangoli rettangoli I lati di tali triangoli hanno nomi particolari:  Si chiamano cateti di un triangolo rettangolo ABC i due lati AB e AC che sono contenuti in rette perpendicolari.  Il terzo lato BC, opposto all’angolo retto, si chiama ipotenusa.

Fase 1 - I triangoli rettangoli Ripassa con la matita rossa i cateti e con quella verde l’ipotenusa dei triangoli rettangoli della figura seguente.

Fase 2 - L’attesa di Pitagora. Osserva, deduci e relaziona. (In gruppo) Secondo la leggenda Pitagora scoprì il suo teorema mentre era in attesa di essere ricevuto dal tiranno della città greca di Samo.  Il pavimento della sala di ricevimento si presentava piastrellato come in figura, dove in giallo è evidenziato quanto Pitagora osservò, a partire dal triangolo ottenuto dividendo una piastrella lungo la sua diagonale. Scrivi cosa osservi relativamente ai quadrati costruiti sui cateti:

Fase 3 – Quasi un gioco Nella figura seguente abbiamo 8 triangoli rettangoli uguali e 3 quadrati: ritagliali lungo i bordi. Utilizza i triangoli e i quadrati componendoli e scomponendoli opportunamente per svolgere la dimostrazione dei Pitagorici del teorema.

Fase 3 – Quasi un gioco (La dimostrazione dei Pitagorici) Il quadrato Q3 ha il lato lungo quanto l’ipotenusa di ciascuno dei triangoli, Q1 ha il lato del cateto maggiore e Q2 il lato del cateto minore. Puoi verificarlo disponendoli come nella figura riportata a destra. Q3 Q1 Q2

Fase 3 – Quasi un gioco (La dimostrazione dei Pitagorici) Disponi Q1 e Q2 e 4 triangoli e Q3 e gli altri 4 triangoli come nella figura seguente: I due quadrati così composti sono uguali e sottraendo a ciascuno di essi uno alla volta i 4 triangoli rettangoli rimangono a sinistra i due quadrati Q1 e Q2 costruiti sui cateti e nella composizione di destra rimane il quadrato Q3 costruito sull’ipotenusa. RICORDA - L’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti: Area(Q1) + Area(Q2) = Area(Q3) Questa importante proprietà di un triangolo rettangolo è nota come Teorema di Pitagora.

Fase 3 – Quasi un gioco (La dimostrazione dei Pitagorici) L’enunciato “Nel triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”.

Fase 3 – Quasi un gioco (La dimostrazione dei Pitagorici) Il triangolo rettangolo (9 + 16) q = 25 q

Fase 3 – Quasi un gioco (La dimostrazione dei Pitagorici) Le applicazioni Per il teorema di Pitagora vale la relazione: c2 = a2 +b2 . Da cui: Per trovare la misura dell’ipotenusa basta fare la radice quadrata della somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Fase 3 – Quasi un gioco (La dimostrazione dei Pitagorici) Le applicazioni Sapresti dire come fare a trovare la misura di un cateto conoscendo la misura dell’ipotenusa e dell’altro cateto? Se c2 = a2 + b2 , allora a2 = c2 - b2 e quindi…

Fase 3 – Quasi un gioco (La dimostrazione dei Pitagorici) Esercizi Chiamando con a e b le misure dei cateti e con c la misura dell’ipotenusa, calcola il termine mancante: a = 8 b = 15 c = ? a = 10 b = 24 c = ? a = 16 b = ? c = 34 a = ? b = 24 c=25

Attività 2 – Cordicelle e terne Pitagoriche Riprodurre , con l’uso di una corda opportunamente annodata, il metodo usato dai tenditori di corde degli antichi Egizi Obiettivo didattico: Introdurre il teorema inverso di Pitagora con attività di gruppo Tempo: 1h

Fase 1 - Cordicelle e terne pitagoriche Prendi una cordicella lunga e suddividila in 12 parti uguali, applicando 13 nodi equidistanti in tutto.  Con l’aiuto di un tuo compagno fissa il quarto e l’ottavo nodo e tendi la corda unendo gli estremi della stessa.   OSSERVA – La terna 3 - 4 - 5 determina un triangolo rettangolo. Questo procedimento usato anche dagli antichi Egizi per delimitare le basi delle piramidi, ci dice che se i lati di un triangolo hanno misure tali che la somma dei quadrati di due è uguale al quadrato della terza allora il triangolo è rettangolo.

Fase 2 - Cordicelle e terne pitagoriche Pitagora elaborò un metodo per generare terne di numeri che indicheremo con a, b, c per i quali a2+b2=c2 . Completa la tabella sottostante seguendo le operazioni indicate. a dispari 3 5 a2 b2 c2 9 16 25

Fase 3 - Cordicelle e terne pitagoriche Le terne pitagoriche Quali, tra le seguenti terne, sono terne pitagoriche? (7, 9, 11) (8, 15, 17) (12, 15, 16) (10, 24, 26) Quali, tra le seguenti terne, sono terne pitagoriche? (7, 9, 11) (8, 15, 17) (12, 15, 16) (10, 24, 26)

Attività 3 – Esercizi e problemi (1) Disegna sul tuo quaderno il triangolo rettangolo con i cateti di 5 cm e 12 cm e l’ipotenusa di 13 cm. Verifica che sia rettangolo e vedi se il quadrato costruito sulla sua ipotenusa è equivalente (o no) alla somma dei due costruiti sui suoi cateti.

Attività 3 – Esercizi e problemi (2) Ripeti l’esperienza con un rettangolo che ha i lati di 6 cm, 8 cm e 10 cm. Verifica che sia rettangolo e vedi se il quadrato costruito sulla sua ipotenusa è equivalente (o no) alla somma dei due costruiti sui suoi cateti.

Attività 3 – Esercizi e problemi (3) Misura sulla mappa la distanza tra Firenze il casello autostradale e tra Firenze e San Jacopo al Girone e poi calcola la distanza tra quest’ultimo e il casello autostradale.

Attività 3 – Esercizi e problemi (4) Completa la tabella e calcola la misura del lato mancante del triangolo rettangolo ABC rettangolo in C:  cateto a cateto b Ipotenusa c 9m 12m 5cm 13cm 9cm 15cm 24cm 30cm

Attività 3 – Esercizi e problemi (5) Una scala a pioli lunga 3 metri è appoggiata al muro . La sua base dista dal muro 1 metro. A quale altezza dal suolo è appoggiata l’altra estremità della scala

Attività 4 – LIM (lavagna interattiva multimediale) Tipologia: attività di visione video dimostrativi, esplicativi da svolgere nel laboratorio di informatica o con la lavagna interattiva multimediale  La tragedia di Pitagora https://www.youtube.com/watch?v=AVFSdIAUu-A Dimostrazione facile con l’acqua https://www.youtube.com/watch?v=tYhQj0PeGHk L’intuizione di Pitagora guardando il mosaico di un palazzo https://www.youtube.com/watch?v=sMVGvCb_9eQ E se usassimo i chicchi di riso? https://www.youtube.com/watch?v=LviHf2_wtWM Dimostrazione di Perigal

Fine