A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini La crisi della fisica classica Circa un secolo fa evidenze sperimentali contraddissero le teorie classiche, la meccanica newtoniana e l’elettromagnetismo “ à la Maxwell ” 1 A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli in realta’ per le velocità e le distanze in gioco nella nostra vita quotidiana la meccanica classica funziona perfettamente tuttavia a scale di distanze molto piccole (confrontabili con le dimensioni di un atomo, ~ m) o a velocità molto grandi (confrontabili con la velocita’ della luce, c ~ m/s) una riformulazione della fisica  meccanica relativistica e fisica quantistica le violazioni dalla fisica classica divengono apprezzabili dunque si rese necessaria viviamo in un mondo tridimensionale, nel quale il movimento e’ scandito dal tempo gli intervalli spaziali e temporali sono invarianti rispetto al sistema di riferimento in cui vengono misurati alcuni ingredienti basilari della fisica classica sono che: l’universo e’ omogeneo e isotropo; il tempo e’ omogeneo i sistemi fisici elementari vengono descritti attraverso il formalismo o delle particelle o delle onde le variabili che descrivono i sistemi sono continue

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini i fenomeni “protagonisti” della crisi la stabilità degli atomi non si spiega con la fisica classica la spettroscopia atomica: in contrasto con la continuità delle variabili fisiche, gli atomi emettono luce solo a determinate lunghezze d’onda la radiazione emessa dai corpi caldi si comporta in modo diverso da quanto predetto dall’elettromagnetismo classico ( radiazione del corpo nero ) alcune proprietà della luce non si spiegano con la teoria ondulatoria (es.: effetto fotoelettrico, effetto Compton ) alcune proprietà delle particelle non si spiegano con il modello corpuscolare 2 A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 3 Radiazione del corpo nero legge di Kirchhoff sulla radiazione da parte di un corpo materiale  = potere emissivo o emittanza monocromatica (energia irradiata per unità di tempo, per unità di superficie, in un intervallo di lunghezza d’onda d ) a = potere assorbente (rapporto tra energia assorbita e energia incidente, è la frazione di energia incidente che viene effettivamente assorbita) le due grandezze, in generale, sono funzione della temperatura del corpo considerato e delle grandezze fisiche (dimensioni geometriche, composizione chimica …) che lo caratterizzano il loro rapporto, invece, dipende solo dalla frequenza e dalla temperatura: in altri termini è una funzione “universale”: definiamo: A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 4 Definizione di Corpo Nero il Corpo Nero è un oggetto ideale che assorbe il 100% delle radiazioni che lo colpiscono (a = 1 ). Dunque non riflette alcuna radiazione e, “se messo in condizione di non emettere”, appare perfettamente nero (?) definizione alternativa: un corpo nero è un corpo all’equilibrio termico in cui l’energia irradiata si bilancia con l’energia assorbita una buona approssimazione di corpo nero (messo in condizione di non emettere) può essere quella di immaginare una cavità di materiale opaco, nella quale è praticato un piccolo foro. il corpo nero è il foro stesso A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 5 Legge di Kirchhoff sulla radiazione del corpo nero “il rapporto tra il potere emissivo di un corpo ed il suo potere assorbente è lo stesso per tutti i corpi ad una data temperatura, e coincide con il potere emittente di un corpo nero alla stessa temperatura.” inizia la ricerca, teorica e sperimentale, sullo “ spettro di emissione del corpo nero ” A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 6 Kirchhoff mostrò, con considerazioni termodinamiche, che, all'equilibrio termico, la radiazione contenuta in una cavità con pareti impermeabili alla radiazione è della stessa “qualità ed intensità” di quella di un corpo nero alla stessa temperatura. C. Christiansen (1884 ) esprime l'idea che cavità isotermiche possono essere usate per lo studio della radiazione di corpo nero. Lummer e Wien (1895) costruiscono la prima cavità e la usano per tali misure. Primo approccio teorico – sperimentale Legge di Stefan (1879 esperimento) – Boltzmann (1884 teoria: TD+EM) Spettro di emissione del corpo nero A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 7 Leggi di Wien (1893) con considerazioni basate su TD ed EM Wien ricava una espressione per la densità di energia elettromagnetica nella cavità …... e, per analogia con la distribuzione di Maxwell delle velocità delle molecole in un gas: legge dello spostamento legge della radiazione NB.: La distribuzione della densità di energia è proporzionale alla intensità di radiazione emessa. I = u em c:

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 8 invenzione del bolometro da parte dell'astrofisico americano Langley (1880), con sensibilità di un ordine di grandezza superiore a quella delle termocoppie in serie (termopile) usate prima. determinante fu quindi il fatto che, verso la fine del secolo, si potesse disporre, per lo studio della radiazione di corpo nero, di una nuova sorgente e di un nuovo rivelatore. primi dati sperimentali significativi: Paschen (1897) e Paschen e Wanner (1899). - la distribuzione della intensità (per unità di ) è abbastanza simile per tutte le superfici materiali - l’emissione tende ad annullarsi a piccole o grandi lunghezze d’onda, e si ha un massimo per un valore di che dipende dalla temperatura secondo la legge di Wien

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini inoltre nella cavita’ la radiazione sara’ distribuita in modo uniforme ed isotropicamente su tutto l’angolo solido 4  la frazione di angolo solido sotteso da dS, rispetto a tutto l’angolo solido e’ e la densita’ di energia e.m. contenuta nella regione delimitata da d  sara’ Sia data una cavita’ sferica di pareti sottili perfettamente riflettenti mantenuta alla temperatura costante T. all’interno della porzione di spazio delimitata da d  vi sono onde stazionarie formate dalla sovrapposizione di perturbazioni che viaggiano avanti ed indietro in tutte le direzioni e’ l’angolo solido sotto cui, dal punto F, e’ vista la superficie dS sia dS una porzione infinitesima della superficie interna della sfera e si prenda un punto F in una posizione qualunque sulla superficie della sfera se F Gli atomi delle pareti interne della cavita’ si muoveranno per agitazione termica ed emetteranno ed assorbiranno continuamente onde e.m. all’equilibrio la densita’ w e.m. ( o semplicemente w ) di energia e.m. all’interno della cavita’ avra’ un valore medio costante nel tempo alcune viaggeranno da dS verso F e se in F vi fosse un foro, di superficie infinitesima d  le onde che viaggiano in questa particolare direzione potrebbero fuoriuscire dal foro dunque possono essere considerati come oscillatori elementari che emettono isotropicamente in tutte le direzioni A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini e l’intensita’ dell’onda e.m. si dimostra essere pari al prodotto della velocita’ dell’onda per la densita’ volumetrica di energia e.m. trasportata dall’onda pratichiamo intorno al punto F un foro di superficie infinitesima d  e domandiamoci se quanta energia, emessa da dS, raggiungera’ l’esterno della cavita’ fluendo attraverso d  e’ il vettore di Pointing (infinitesimo) quindi l’energia emessa da dS che nell’unita’ di tempo attraversa d  il modulo del vettore di Poynting fornisce l’intensita’ delle onde e.m. il modulo del vettore di Poynting risulta in questo caso pari a l’energia proveniente da dS ed irraggiata all’esterno dal foro nell’unita’ di tempo e per unita’ di superficie : ossia ma per definizione l’energia irraggiata all’esterno per unita’ di tempo e di superficie e’ il potere emissivo d  dd sara’ d  e’ orientata positivamente nella direzione del versore In effetti si puo’ esprimere l’intensita’ in funzione della densita’ volumetrica di energia e della velocita’ di propagazione dell’onda e riesce:  = energia/volume c = velocita’ della luce sara’ :

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini integrando tra 0 e 2  in  e tra 0 e  /2 in  l’espressione dell’angolo solido infinitesimo in coordinate polari sferiche e’ quindi si otterra’ il potere emissivo totale di d  in conclusione relazione che si dimostra essere valida qualunque sia la forma della cavita’

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini se si pratica un piccolo foro su di una parete della scatola non si alterera’ di molto l’equilibrio del sistema si abbia una scatola a forma di parallellepipedo di grandi dimensioni dotata di pareti interne perfettamente riflettenti mantenuta a temperatura costante nel tempo al valore T. la densita’ di energia e.m. all’interno della scatola per unita’ di lunghezza d’onda w  sara’ data da si ha che la radiazione uscente dal piccolo foro verso l’esteno e’ detta radiazione di corpo nero la superficie del forellino e’ detta corpo nero Corpo nero l’energia emessa dal corpo nero per unita’ di tempo e di superficie nell’intervallo di lunghezze d’onda compreso tra e l’energia emessa dal corpo nero per unita’ di tempo e di superficie e’ detta potere emissivo  e’ detta potere emissivo specifico e l’energia emessa per per unita’ di tempo dal corpo nero e’ uguale alla energia che arriva sulla sua superficie dall’interno della cavita’ per unita’ di tempo vale la relazione

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini all’equilibrio termico nella cavita’ le onde elettromagnetiche formeranno un sistema di onde stazionarie da cui si ricava per e le relazioni di quantizzazione della frequenza sono si ha se L 1, L 2 e L 3 sono i lati della scatola si avra’ dalla A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini il numero di modi con frequenza minore o uguale a e’ pari ad un ottavo del volume della sfera e per unita’ di volume moltiplicando per un fattore due per tenere conto dei due possibili stati indipendenti di polarizzazione delle onde e.m. si ha che la densita’ di volume degli oscillatori nella cavita’ e’ supponiamo per semplicita’ di avere una scatola cubica di lato L 1 = L 2 = L 3 = l si ha la frequenza fondamentale 1 per n 1 = n 2 = n 3 =1 di una sfera di raggio per n 1 n 2 n 3 >> 1 si passa al continuo per determinare quale sia il numero di modi con frequenza compresa tra la frequenza fondamentale e la massima frequenza possibile bisogna contare quante sono le possibili terne di numeri che soddisfano la e la La formula di Rayleigh-Jeans quindi diviene l’ equazione A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini nell’intervallo infinitesimo di frequenze comprese tra e + d gli oscillatori per unita’ di volume sono: quindi si puo’ differenziare N rispetto a il numero dN  di oscillatori con frequenza compresa tra e + d e’ e, in termini di lunghezze d’onda, il numero dN  di oscillatori con frequenza compresa tra e + d sara’ e avranno energia data da dalla relazione tra potere emissivo specifico e densita’ di energia riesce per n 1 n 2 n 3 >> 1 il numero di modi di oscillazione N e’ funzione, continua, di dadifferenziando A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini Boltzmann aveva dimostrato basandosi su argomenti di fisica classica che se un insieme di oscillatori e’ in equilibrio alla temperatura T, la probabilita’ di trovare un qualsiasi oscillatore con energia compresa tra E ed E + dE e’ data da se l’energia dell’oscillatore puo’ assumere con continuita’ tutti i valori da zero all’infinito allora il valore medio dell’energia si ottiene cacolando la media della distribuzione in energia ossia per cui ottenuta sostituendo W e.m. ad E e dunque formula di Rayleight-Jeans

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 17 densità di energia EM per frequenze con valori tra  e  +d : catastrofe ultravioletta A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 18 Approccio di Planck 1) Calcolo del numero di “modi” alla Rayleigh – Jeans : 3)Quantizzazione dell’energia: 2)Distribuzione delle probabilità di stati energetici di Maxwell Boltzmann (per Rayleigh – Jeans l’energia è continua ed il valore medio è 2KT) la grande novità fisica: l’energia e’ quantizzata per Rayleigh – Jeans (Maxwell – Boltzmann): per Planck: per cui A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 19 Approccio di Planck un oscillatore, di frequenza propria, può assorbire o cedere energia solo in (n) pacchetti di valore dove h, costante di Planck, è una nuova costante fondamentale della natura originariamente la quantizzazione venne formulata in relazione agli atomi delle pareti della scatola gli elettroni di questi atomi vennero assimilati ad oscillatori e l’ipotesi di quantizzazione fu fatta per le energie a disposizione di questi elettroni oscillanti in un secondo tempo l’ipotesi di Planck fu estesa anche al campo e.m. presente nella cavita’ e con il quale gli elettroni in oscillazione dovrebbero essere equilibrio a causa del continuo scambio di energia tra il campo e.m. e gli oscillatori A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini derivando rispetto a ed uguagliando a zero, si ottiene il massimo: misurando max e T si ottiene h/K infine dalla precedente, conoscendo K si ottiene h 20 riassumendo, Planck riproduce i dati sperimentali dello spettro di emissione del corpo nero partendo da una teoria microscopica, assumendo lo scambio di quanti discreti di energia tra atomi e radiazione della cavità, con un parametro libero da aggiustare, che risulta essere una costante fondamentale della natura: sarà Einstein a suggerire che la radiazione elettromagnetica è costituita da un insieme di particelle di energia h  : i fotoni A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini il calcolo classico e’ accurato nel limite di grandi lunghezze d’onda, o quando h può essere considerato piccolo a piacere: gli oscillatori elementari possono assumere solo energie quantizzate che soddisfano alla relazione E=nh, dove h e’ una costante universale –n e’ detto numero quantico le transizioni di livello vengono accompagnate dall’emissione/assorbimento di quanti di radiazione (fotoni) la fisica quantistica coincide con la fisica classica nel limite h  0 n E 4h 3h 2h h Interpretazione dell’ipotesi di Planck 21 A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 22 L’effetto fotoelettrico se si investe con un fascio di luce una superficie metallica lucida, in determinate condizioni la luce può espellere elettroni dalla superficie la relazione avrebbe già potuto suggerire che la radiazione elettromagnetica è un insieme di particelle (di energia h  ); ma fu Einstein a formulare per primo l’ipotesi corretta l’effetto fotoelettrico trova oggigiorno applicazione in molti dispositivi (interruttori a fotocellula, telecamere, ecc.) A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 23 Osservazioni sperimentali 1.Si ha emissione elettronica solo se la frequenza della radiazione incidente è maggiore di un certo valore 0 chiamato soglia fotoelettrica o frequenza di taglio. 2.L'energia cinetica degli elettroni emessi dipende dalla frequenza della radiazione incidente e non dalla sua intensità. 3.Il numero di fotoelettroni emessi nell’unità di tempo (fotocorrente) dipende dalla intensità della radiazione incidente. Previsioni classiche 1.Secondo la fisica classica si dovrebbe avere fotoemissione per ogni frequenza della luce, purchè abbastanza intensa 2.Secondo la fisica classica l'energia cinetica dipende dall'intensità della radiazione incidente ! A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 24 La sintesi di Einstein (1905) lo scambio di energia tra onda elettromagnetica ed elettroni avviene per quanti (nel 1926 verranno chiamati “fotoni”), di energia E = h  = lavoro di estrazione (energia di legame) metodo per misurare h : coefficiente angolare della retta risulta lo stesso h del Corpo Nero questa spiegazione ipotizza una natura corpuscolare (singole particelle) della radiazione A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 25 L’effetto fotoelettrico - riepilogo ClassicamenteQuantisticamente La radiazione e.m. è onda, con intensità La radiazione e.m. è fatta di fotoni con E = h Serve una energia minima (lavoro di estrazione, ~ qualche eV) È effettivamente necessaria una energia minima Aumentando l’intensità (a parità di altro), dovrebbe crescere l’energia cinetica degli elettroni L’energia degli elettroni è indipendente dall’intensità A bassa intensità si può trasferire ogni energia aspettando un tempo adeguato (da cui, un ritardo nell’emissione) Ex.: radiazione da 520 nm (5.77 x Hz luce visibile verde) estrae elettroni dal sodio senza ritardo, indipendentemente dall’intensità! L’energia cinetica non dipende da ( ovvero ) Ex.: radiazione da 550 nm (5.45 x Hz luce visibile giallo verde) non estrae elettroni,  frequenza di soglia ! A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 26 L’effetto Compton le onde e.m. trasportano energia e momento visto l’aspetto corpuscolare della radiazione e.m., la si dovrebbe trattare (anche) sulla base della teoria degli urti e della conservazione dell’impulso nel 1916 Einstein ipotizza l’impulso del fotone (n f = n o di fotoni per unità di volume) Es.: Raggi X, h/ = (6.63 x )/(50 x ) = 0.13 x Js/m; h  = 0.39 x J Luce, h/ = (6.63 x )/(50 x ) = 0.13 x Js/m ; h  = 0.39 x J

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 27 Gli esperimenti di Arthur H. Compton (1923) Raggi X incidenti: ~ 71 pm. Raggi X diffusi: un picco a ’ = , un secondo picco con ’ >. Osservazione sperimentale: Nella collisione della luce con un elettrone in quiete, la luce diffusa cambia la sua lunghezza d’onda (e la nuova dipende dall’angolo di scattering)  non esiste spiegazione classica

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 28 Interpretazione dei dati Lunghezza d’onda Compton

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini ancora una volta si spiegano i risultati sperimentali trattando la luce come un insieme di particelle (fotoni) tali che E = h  in collisione elastica contro gli elettroni la dimostrazione assume solo che il fotone e l’elettrone siano particelle puntiformi, e che il momento e l’energia siano conservate nell’urto 29 L’effetto Compton – riepilogo l’elettrone si mette a oscillare, emettendo radiazione della stessa frequenza (inizialmente) l’elettrone trasla lentamente, producendo effetto Doppler: la radiazione all’indietro avrà progressivamente  crescente Classicamente: