angoli orientati negativamente se la rotazione avviene in verso orario Definizione di angolo Un angolo è la parte di piano descritta da una semiretta a che ruota attorno alla sua origine. Inoltre, poiché la rotazione può avvenire in due modi diversi conveniamo di considerare: angoli orientati positivamente se la rotazione avviene in verso antiorario angoli orientati negativamente se la rotazione avviene in verso orario dalla definizione precedente deriva che è possibile considerare angoli maggiori di un angolo giro: basta continuare a far ruotare la semiretta oltre tale angolo. L’angolo α supera l’amgolo giro dell’angolo β.

Misure di angoli Grado sessagesimale: novantesima parte dell’angolo retto. Il grado non ha multipli, ma ha dei sottomultipli: il primo, corrispondente a di grado il secondo, corrispondente a di primo, cioè a di grado. Con gli angoli si possono eseguire le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione per un numero reale.

Misure di angoli ESEMPIO Sommiamo gradi con gradi, primi con primi e secondi con secondi. Il valore ottenuto per i secondi supera 60, cioè in esso è contenuto 1 primo, quindi: aggiungiamo 1 ai primi ottenendo Anche il valore ottenuto per i primi supera 60, quindi in esso è contenuto 1 grado: aggiungiamo 1 ai gradi ottenendo La somma dei due angoli, in forma normale, è quindi:

Misure di angoli Un radiante è l’ampiezza di un angolo al quale corrisponde un arco AB la cui lunghezza è uguale al raggio r. In questo modo, ad esempio, un angolo giro misura: angolo giro angolo piatto angolo retto

Misure di angoli In generale, per passare dalla misura di un angolo in gradi a quella in radianti, e viceversa, si usa la proporzione x : misura nell’angolo in radianti y : misura nell’angolo in gradi ESEMPIO se vogliamo sapere quanto misura in gradi l’angolo di radianti, basta risolvere la proporzione rispetto a y oppure più semplicemente attribuire a π il suo valore in gradi:

Se a due angoli α e β è associato lo stesso punto P allora: Circonferenza goniometrica Circonferenza goniometrica: circonferenza nel piano cartesiano con centro nell’origine degli assi e raggio unitario. In una circonferenza goniometrica ad un angolo orientato α, avente il vertice nel centro O e il primo lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse, possiamo associare un punto P appartenente alla circonferenza stessa. Se a due angoli α e β è associato lo stesso punto P allora: k indica il numero di giri che OP deve compiere per ritornare su se stessa. Si possono anche descrivere angoli negativi facendo compiere una rotazione oraria a OP.

Definizione Un angolo α, a meno di multipli di 360°, è completamente individuato se sono date le coordinate del punto P sulla circonferenza. Possiamo allora definire le seguenti funzioni goniometriche: seno dell’angolo α, e scriviamo sin α, l’ordinata del punto P: sin α = yP coseno dell’angolo α, e scriviamo cos α, l’ascissa del punto P: cos α = xP Tracciando la semiretta tangente in A alla circonferenza goniometica e indicando con Q la sua intersezione con la semiretta OP, chiamiamo: tangente dell’angolo α, e scriviamo tan α, l’ordinata del punto Q: tan α = yQ

Caratteristiche la funzione seno e la funzione coseno hanno periodo 360°, cioè: la funzione tangente è periodica di periodo 180°, cioè: Al reciproco della funzione tangente viene dato il nome di cotangente, cioè:

Grafici delle funzioni goniometriche Passa per i punti: x y 0° 2π 1 −1 π 2 3 Insieme di definizione: R −1 ≤ y ≤ 1 Periodo: 360° (2π) Il grafico della funzione seno è simmetrico rispetto all’origine

Grafici delle funzioni goniometriche Passa per i punti: x y 0° 2π 1 −1 π 2 3 Insieme di definizione: R −1 ≤ y ≤ 1 Periodo: 360° (2π) Il grafico della funzione coseno è simmetrico rispetto all’asse y

Grafici delle funzioni goniometriche Insieme di definizione: la tangente non è definita in Periodo: 180° (π) Gli angoli compresi tra 0 e hanno la tangente positiva che cresce molto rapidamente al crescere di x π 2 Gli angoli compresi tra e 0 hanno la tangente negativa che diminuisce molto rapidamente quando x si avvicina a π 2 − Il grafico della funzione tangente è simmetrico rispetto all’origine

Relazioni fondamentali Tra le funzioni che abbiamo definito esistono delle relazioni: Deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo OHP nella circonferenza goniometrica. Prima relazione fondamentale della goniometria Deriva dalla similitudine dei triangoli OHP e OKQ nella circonferenza goniometrica. Seconda relazione fondamentale della goniometria

sin α cos α tan α Relazioni fondamentali Dalle due relazioni fondamentali si possono ricavare le formule che permettono di calcolare le funzioni goniometriche di un angolo a partire dal valore di una di esse. sin α cos α tan α Il segno ± viene attribuito in funzione del quadrante in cui cade la semiretta OP che definisce l’angolo α.

funzioni goniometriche Valori delle funzioni goniometriche Con considerazioni di carattere geometrico si possono ricavare i valori delle funzioni goniometriche di alcuni angoli particolari. x (in gradi) 30° 45° 60° x (in radianti) sin x cos x tan x

I triangoli rettangoli Risolvere un triangolo significa trovare le lunghezze di tutti i suoi lati e le misure di tutti i suoi angoli. Per il triangolo rettangolo valgono i seguenti due teoremi. Primo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale: al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto (al cateto che si deve trovare), oppure al prodotto della misura dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente (al cateto che si deve trovare).

I triangoli rettangoli Secondo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di ciascun cateto è uguale: al prodotto della misura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto (al cateto che si deve trovare), al prodotto della misura dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente (al cateto che si deve trovare).

I triangoli rettangoli ESEMPIO Di un triangolo rettangolo sono note le misure in cm di due cateti: b = 12,4, c = 9,6. Vogliamo risolvere il triangolo e determinare la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa. Con il teorema di Pitagora possiamo subito determinare la misura dell’ipotenusa: Dalle relazioni della slide precedente ricaviamo che: Possiamo ora calcolare Per trovare l’altezza relativa all’ipotenusa, basta applicare il primo teorema ad uno dei triangoli rettangoli indicati in figura; relativamente al triangolo arancio, dove c rappresenta la misura dell’ipotenusa, si ha che:

Area di un poligono I teoremi sui triangoli rettangoli permettono di risolvere il problema del calcolo dell’area di un poligono. Il calcolo dell’area di un poligono può sempre essere ricondotto al calcolo dell’area di un triangolo, per esempio tracciando le diagonali uscenti da un vertice. La misura dell’area di un triangolo è data dal semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso.

Triangoli qualsiasi Teorema della corda. In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda. Applicando il teorema della corda a un triangolo qualsiasi: Uguagliando i rapporti otteniamo: Teorema dei seni. In ogni triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

Triangoli qualsiasi Teorema di Carnot. In ogni triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, diminuita del loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell’angolo fra essi compreso. Questo teorema è anche noto come teorema del coseno.

Triangoli qualsiasi ESEMPIO L’applicazione del teorema dei seni e del teorema di Carnot permette di risolvere qualunque triangolo. Risolviamo il triangolo sapendo che Calcoliamo β = 180° − (60° + 45°) = 75° Usiamo poi il teorema dei seni per calcolare le misure degli altri due lati a e c:

Scalari e vettori In fisica si lavora con due tipi di grandezze: le grandezze scalari e le grandezze vettoriali. Le grandezze scalari sono quelle grandezze che sono individuate in modo completo da un numero, il quale esprime la misura della grandezza rispetto all’unità prefissata. Esempi: Il tempo (si misura in secondi con i suoi multipli) La massa (si misura in chilogrammi con i suoi multipli e sottomultipli) L’angolo (si misura in gradi oppure in radianti) Le operazioni tra grandezze scalari si svolgono come le operazioni tra numeri.

Scalari e vettori Altre grandezze fisiche, per poter essere descritte, necessitano di maggiori informazioni. Esempio: se dobbiamo indicare uno spostamento, non basta dire “Mi sono spostato di tre metri”, dobbiamo anche indicare in quale direzione e verso ci siamo mossi. Queste grandezze si definiscono vettoriali. Le grandezze vettoriali sono quelle grandezze che sono individuate da tre caratteristiche: una direzione, che indica la retta lungo cui agisce la grandezza un verso, determinato dal senso di percorrenza della retta che rappresenta la direzione un’intensità o modulo , che è il valore numerico che esprime la misura della grandezza rispetto a una certa unità.

I vettori Per rappresentare una grandezza vettoriale si usa un vettore. Un vettore si rappresenta mediante un segmento orientato e si indica di solito con una lettera maiuscola cui viene sovrapposta una freccia. Il modulo di un vettore si indica con la stessa lettera senza la freccia:

I vettori Vettore nullo: vettore in cui il segmento orientato ha gli estremi coincidenti. Il vettore nullo si indica con il simbolo: Vettori opposti: vettori con la stessa direzione, stesso modulo ma versi opposti.

Operazioni con i vettori L’addizione Dati due vettori a e b, si definisce loro somma il vettore c che si ottiene che la seguente regola: si dispongono i due vettori in modo che b sia consecutivo ad a si considera il vettore c che ha come origine l’origine di a e come secondo estremo il secondo estremo di b Di c si dice che è il vettore risultante dalla somma di a + b.

Operazioni con i vettori La sottrazione Dati due vettori a e b, si definisce loro differenza il vettore c che si ottiene sommando a con l’opposto di b.

Operazioni con i vettori Le definizioni date di somma e differenza di due vettori a e b, che costituiscono anche un procedimento per determinarle, equivalgono a quella che solitamente viene indicata come “regola del parallelogramma”. Disegnati due vettori in modo che le loro origini coincidano in un punto O, si costruisce il parallelogramma che ha per lati i due vettori: la loro somma è la diagonale uscente da O, la loro differenza è l’altra diagonale (orientata dal secondo verso il primo termine della sottrazione).

Operazioni con i vettori La moltiplicazione per uno scalare Consideriamo un vettore a e un numero reale k non nullo (uno scalare); si dice prodotto di a per k, e si indica con k  a, il vettore che ha la stessa direzione di a lo stesso verso di a se è k > 0, verso opposto ad a se è k < 0 modulo che si ottiene moltiplicando il modulo di a per il valore assoluto di k. Se è k = 0 il prodotto k  a è il vettore nullo. ESEMPI

r e s sono le componenti del vettore v lungo le direzioni prescelte. Scomposizione di un vettore Problema: scomporre il vettore v lungo le direzioni r e s Ogni vettore può essere visto come la risultante di altri due vettori di cui sono note le direzioni. tracciamo dal secondo estremo del vettore v le parallele alle direzioni r ed s Applichiamo in senso inverso la regola del parallelogramma: individuati gli altri due vertici del parallelogramma, tracciamo i vettori r e s uscenti da O r e s sono le componenti del vettore v lungo le direzioni prescelte.

Scomposizione di un vettore Possiamo sempre rappresentare un vettore v nel piano cartesiano con un segmento che abbia origine nell’origine O degli assi cartesiani. In questo modo v può essere scomposto nei due vettori e che hanno come direzioni gli assi coordinati: Inoltre: (per i teoremi sui triangoli rettangoli) e (per il teorema di Pitagora)

Scomposizione di un vettore ESEMPIO Se il vettore v ha modulo 10 e forma un angolo di 60° con la direzione positiva dell’asse x, le sue componenti sono:

Operazioni con i vettori nel piano cartesiano il vettore somma ha per somma la somma delle componenti dei vettori addendi Nel caso in cui i vettori siano dati mediante le loro componenti lungo gli assi cartesiani: il vettore differenza ha per componenti la differenza delle componenti dei due vettori dati il vettore prodotto con uno scalare ha per componenti il prodotto delle componenti del vettore per k

Prodotto tra vettori In fisica si introducono due particolari tipi di prodotto tra vettori. Il prodotto scalare tra due vettori a e b (si indica con il simbolo a  b ) è uno scalare (quindi un numero) che, indicato con α l’angolo formato dai due vettori, si definisce in questo modo ESEMPIO Se il modulo di a è 4 e il modulo di b è 6 e i due vettori formano un angolo α di 45°, allora: In fisica il prodotto scalare viene utilizzato ad esempio per calcolare il lavoro compiuto da una forza.

Prodotto tra vettori Dati due vettori a e b e indicato con α l’angolo da essi formato, il loro prodotto vettoriale si indica con il simbolo a x b; esso è un vettore c che ha: modulo dato dall’espressione c = ab sin α direzione perpendicolare al piano definito dai due vettori a e b verso stabilito dalla regola della mano destra. In base a questa regola il verso del vettore risultante si calcola usando le dita della mano destra: si punta il pollice nella direzione del primo vettore (il vettore a ) si puntano le altre dita nella direzione del secondo vettore (vettore b ) il verso del vettore c è uscente dal palmo della mano.

Prodotto tra vettori ESEMPIO Vogliamo calcolare il prodotto vettoriale con a e b appartenenti al piano della slide e Direzione: perpendicolare al piano della slide Verso: entrante nella pagina (il pollice nella direzione di a, le altre dita nella direzione di b, la mano è rivolta con il palmo appoggiato al piano).