Integrali indefiniti

Sinora abbiamo studiato come ottenere la funzione derivata di una data funzione. Vogliamo ora fare l’operazio-ne inversa cioè vedere come, data una funzione f(x), ottenere una funzione F(x) che derivata dia f(x).

Definizione Sia f(x) una funzione continua in un intervallo I. Si dice che F(x) è una primitiva della funzione f(x) se si verifica che:

Esempio

Al variare di c si hanno infinite primitive derivata integrale Al variare di c si hanno infinite primitive

Teorema

Osservazione Sappiamo che la derivata di una funzione continua può non esistere in qualche punto. Invece si potrebbe dimostrare che per ogni funzione continua in un intervallo I chiuso e limitato esistono sempre le funzioni primitive

Definizione Data una funzione f(x) continua, l’insieme delle primitive di f(x) si chiama integrale indefinito e si indica:

Significato geometrico dell’integrale indefinito y = F(x)+c y = F(x) L’integrale indefinito di una funzione è costituito da un insieme di funzioni i cui grafici si ottengono uno dall’altro mediante traslazione lungo l’asse y

Proprietà dell’integrale indefinito

Integrali delle funzioni elementari

Integrali delle funzioni elementari

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Esercizio 7

Esercizio 8

Esercizio 9

Esercizio 10

Esercizio 11

Esercizio 12

Esercizio 13

Esercizio 14

Esercizio 15

Esercizio 16

Esercizio 17

Esercizio 18

Esercizio 19

Esercizio 20

Integrali delle funzioni razionali

Esempio con P2(x) di 1° grado

P2(x) di 2° grado Consideriamo ora il caso frequente in cui P2(x) è un polinomio di 2° grado: R(x) potrà quindi essere o di 1° grado o di grado nullo (una costante). Ci proponiamo, dunque, di calcolare integrali del tipo:

1° caso Δ>0

Esempio

2° caso Δ=0

Esempio

si cerca di ottenere, al numeratore, la derivata del denominatore si cerca di ottenere, al numeratore, la derivata del denominatore. In questo modo si decompone la funzione integranda nella somma di due frazioni algebriche in modo che nella prima compaia al numeratore la derivata del denominatore mentre nella seconda il numeratore sia una costante e quindi si calcola come nel precedente esempio

Esempio Integrale esempio precedente

3° caso Δ<0

Esempio

si cerca di ottenere, al numeratore, la derivata del denominatore si cerca di ottenere, al numeratore, la derivata del denominatore. In questo modo si decompone la funzione integranda nella somma di due frazioni algebriche in modo che nella prima compaia al numeratore la derivata del denominatore mentre nella seconda il numeratore sia una costante e quindi si calcola come nel precedente esempio

Esempio

Casi particolari Consideriamo ora l’integrazione di alcune funzioni razionali fratte, riconducibili ai casi precedenti

Osservazione

Esempio 1

Esempio 2

Integrazione per sostituzione Il calcolo di un integrale può risultare più semplice mediante un’opportuna sostituzione. Si può dimostrare, infatti, che l’integrale non cambia sostituendo alla variabile d’integrazione x una funzione di un’altra variabile t, purché tale funzione sia derivabile e invertibile.

Alcuni esempi chiariranno meglio quanto affermato

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Esercizio 6

Esercizio 7

Esercizio 8

Esercizio 9

Esercizio 10

Esercizio 11

Formula integrazione per parti

osservazione Integrando per parti è necessario saper individuare il fattore finito e il fattore differenziale. Comunque bisogna scegliere come fattore differenziale la funzione che è integrabile mediante integrazione immediata.

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Integrali di particolari funzioni razionali

Esercizio 1° caso

Esercizio 2° caso

Fine presentazione