Introduzione alla LOGICA MATEMATICA Corso di Matematica Discreta. Corso di laurea in Informatica. Prof. Luigi Borzacchini II. La logica delle proposizioni. Semantica.

Le proposizioni e la verità Le proposizioni rappresentano le frasi che possono essere vere o false (non le esclamazioni, le domande, gli ordini, etc.). La verità è un concetto semantico: una proposizione è vera se esprime lo stato delle cose. Proposizioni individuali (‘Ballottelli è alto’), particolari o esistenziali (‘qualche centravanti è alto’, ‘c’è un centravanti alto’) e universali (‘tutti i centravanti sono alti’). Queste sono ‘proposizioni atomiche’. Proposizioni positive e negative (sono diverse ‘nessun mediano è alto’, ’tutti i mediani non sono alti’, ‘non ci sono mediani alti’, ‘non tutti i mediani sono alti’, e ‘ci sono mediani non alti’?).

Aristotele e la logica antica Il sillogismo: «tutti gli umani sono mortali», «tutti i greci sono umani» e quindi «tutti i greci sono mortali». Oppure «alcuni ateniesi sono alti» e «tutti gli alti sono robusti» e quindi «alcuni ateniesi sono robusti». Ma da «alcuni ateniesi sono alti», «alcuni ateniesi sono biondi» non si può dedurre niente di rilevante. Prem.:., Concl.: Prem.:,,Concl.: Premesse:,, Conclusione: ? NOTA: le premesse hanno un ‘medio’ in comune che scompare nella conclusione, e troveremo nel seguito un metodo più evidente per vedere se un sillogismo è valido

I principi formali riguardano la verità e la negazione non contraddizione (non può essere la stessa proposizione vera e falsa), terzo escluso (ogni proposizione è vera o falsa), verità per corrispondenza (è vero dire che è ciò che è, o che non è ciò che non è, è falso dire che è ciò che non è, o che non è ciò che è). Ovvero: è vero se e solo se la neve è bianca ‘p’ è vero se e solo se p, ‘p’ è falso se e solo se non p La negazione è il primo esempio di ‘connettivo’ con cui costruire proposizioni più complesse

I connettivi Le proposizioni sono gli ‘atomi’ della logica delle proposizioni, il cui valore di verità è V/1 o F/0. Le proposizioni complesse si ottengono tramite l’uso dei connettivi: non/not (  ), e/and/ congiunzione (  ), o/or/disgiunzione (  ), se…allora /if … then (  ), se e solo se/sse/if and only if/iff (  ). Si dicono verofunzionali, poiché agiscono solo sui valori di verità, a prescindere dal significato di A e B : ad es.  A è vera se e solo se A è falsa, A  B è vera se e solo se sono vere sia A che B, A  B è vera se e solo se è vera A oppure B, A  B è vera se e solo se A e B hanno uguale valore di verità.

Interpretazioni e Tavole di verità A B A  B A  B A  B A  B A  A  è un connettivo ‘unario’ (monadico), gli altri sono connettivi ‘binari’ (diadici). Queste tavole di verità derivano dall’uso delle congiunzioni nel linguaggio naturale e sono ovvie, tranne che per il  : è. infatti difficile accettare che «se 2 è un numero dispari allora la luna è di formaggio» o «se 2 un numero dispari allora la luna è un satellite» siano proposizioni vere. Infatti nell’uso normale ‘se…allora’ indica una argomentazione e non solo una relazione tra valori di verità.

Il linguaggio delle proposizioni L’alfabeto: { , , , , ,P, Q, R, ….} La grammatica: indichiamo con Prop le proposizioni Prop  P/ Q/ R/  Prop / Prop  Prop / Prop  Prop / Prop  Prop / Prop  Prop. Nient’altro è una proposizione. Si usano le parentesi per indicare l’ordine con cui si applicano i connettivi: ad esempio (P  Q)  (Q  R), o P  (Q  P), ma quest’uso in realtà traduce sul rigo una rappresentazione ‘ad albero’ Albero e Grafo sono strutture formate da vertici e archi che connettono due vertici, diretti o no.

Rappresentare espressioni come alberi Intuitivamente un albero possiamo vederlo come una struttura (ordinata implicitamente dall’alto verso il basso, come un albero genealogico). Le ‘foglie’ sono proposizioni atomiche, e i vertici intermedi sono connettivi applicati ai loro ‘discendenti’. Essendo i connettivi al più binari, l’albero nel linguaggio delle proposizioni è binario, ha cioè al più due discendenti  P  Q  P P  (Q  P)

La tavola di verità di una proposizione composta Si assegnano i valori di verità alle ‘foglie’ (ad es. P vero, Q falso) e si calcola il valore di verità della proposizione composta ‘bottom up’, dal basso verso l’alto. P Q  P Q  P P P  (Q  P)

Calcolo della tavola di verità P Q  P Q  P P  Q (P  Q)  P P  (Q  P)     P  P Q P Q  P  Q  P sarebbe ambigua, a meno P che non fissiamo delle convenzioni sull’ordine di applicazione dei connettivi: ad esempio , , , , 

Tautologie e contraddizioni P Q  PQ   P  P  Q  (Q  P)  P  (Q  P) P  (Q  P) Ripetendo la procedura per proposizioni quali  P  (Q  P) o P  (Q  P) troviamo una tavola di verità sempre vera (nel primo caso) e sempre falsa (nel secondo): parliamo in tali casi di tautologia e contraddizione. La tautologia più semplice è P  P, che esprime l’antico ‘principio del terzo escluso’, la contraddizione più semplice è P  P, la cui negazione è il ‘principio di non contraddizione’.

Le proposizioni Le contraddizioni non dicono nulla perché dicono cose assurde:, impossibili nel ‘mondo’ PROPOSIZIONI contraddizioni tautologie Le tautologie non dicono nulla perché dicono cose ovvie:, ma avranno un ruolo speciale, in quanto sono tutte le verità formali, la forma logica del nostro ‘mondo’.

Proposizioni equivalenti-1 P e P  (  P  Q)) hanno la stessa tavola di verità, così tutte le tautologie e tutte le contraddizioni: chiamiamo proposizioni equivalenti quelle che hanno la stessa tavola di verità. A  B è vero quando A e B hanno sempre lo stesso valore di verità e quindi sono equivalenti. Ne segue che si può anche leggere A  B come ‘A equivalente a B’. Un esempio di partizione (importante in algebra) Tautologie Contraddizioni

Le equivalenze più importanti sono le proprietà dei connettivi. (P  Q) è equivalente a (  P  Q) (P  Q)  (  P  Q) è una tautologia Per qualsiasi coppia di formule A e B: A è equivalente a B se e solo se A  B è una tautologia PQ PPP  Q(P Q)(P Q)(P  Q)  (  P  Q)

Linguaggio e metalinguaggio Un metalinguaggio è un linguaggio per parlare di un altro linguaggio, come l’italiano è il metalinguaggio che sto usando per parlarvi del linguaggio logico. Nel linguaggio italiano diversi usi dei termini sono possibili. Esempio: appartiene al linguaggio comune, appartiene al linguaggio della zoologia, appartiene al metalinguaggio ‘sintassi dell’italiano’. Mischiandoli si generano paradossi, come il paradosso del mentitore: : la stessa frase appartiene nel contempo al linguaggio e al metalinguaggio.

Metalinguaggio del linguaggio logico Se A e B sono due proposizioni è una metaproposizione della logica delle proposizioni. Ma durante la lezione io posso parlarvi anche del metalinguaggio, usando in tal caso un metametalinguaggio. E così via … Ad esempio: è equivalente a. Abbiamo tre linguaggi: il linguaggio logico, il metalinguaggio della logica proposizionale, il metametalinguaggio del corso di logica.

Il paradosso del Comma 22 Comma22 : (A  B)  (B  A), con A =, B = A B  A A  B (B  A) (A  B)  (B  A) Non è una contraddizione, è vera se x non è pazzo! consequentia mirabilis

Altre proprietà dei connettivi Ad esempio associatività e commutatività di and e or: A  B  B  A A  B  B  A A  (B  C)  (A  B)  C A  (B  C)  (A  B)  C Distributività: A  (B  C)  (A  B )  (A  C) A  (B  C)  (A  B )  (A  C) Involuzione: A    A, Assorbimento: A  (B  A)  A, A  (B  A)  A, leggi di de Morgan:  (A  B)  (  A  B),  (A  B)  (  A  B)

Proposizioni equivalenti-2 Vale tanto la distributività dell’and rispetto all’or che dell’or rispetto all’and: [P  (Q  R)]  [(P  Q)  (P  R)], [P  (Q  R)]  [(P  Q)  (P  R)], PQR Q  RP  (Q  R)PQPQPRPR(P  Q)  (P  R) Con le tavole: P  Q è equivalente a (P  Q)  (Q  P) P  Q è equivalente a  P  Q, e quindi P  Q è equivalente a (  P  Q)  (  Q  P).

PQR Q  RP  (Q  R)PQPQ(P  Q)  R]P  Q(P  Q)  R Leggi di de Morgan:  (P  Q)  (  P  Q),  (P  Q)  (  P  Q) PQ PP QQP  Q  (P  Q) P QP QPQPQ  (P  Q)  P  Q

Proposizioni equivalenti e trasformazioni L’equivalenza di due proposizioni si può verificare con le tavole di verità oppure tramite una serie di equivalenze già note. Esempio: [P  (Q  R)]  [(P  Q)  R]. Infatti [P  (Q  R)]  [  P  (Q  R)]  [  P  (  Q  R)]  [(  P   Q)  R]  [  (P  Q)  R]  [(P  Q)  R]. Ma è facile verificare con le tavole di verità che [(P  Q)  R] non equivale a [P  (Q  R)]: per il  non vale la proprietà associativa.

Proposizioni e circuiti elettrici All’inizio della computer science la tecnologia si basava sui circuiti elettrici e sui relais che controllavano interruttori, con i quali si realizzavano i principali connettivi: and, or, not. Capovolgendo il relais si realizzava il not, col circuito in serie l’and e con quello in parallelo l’or. P Q R P P Q P  Q  R R P  Q  R  P

Sapendo dalle tavole di verità che A  B è equivalente a (A  B)  (B  A) potremmo eliminare la , Sapendo analogamente che P  Q è equivalente a  P  Q, potremmo eliminare anche la , E con le leggi di de Morgan potremmo eliminare l’  oppure l’ , avendo quindi solo due connettivi:  e , oppure  e . Non è possibile invece eliminare il  con  e . Si possono scrivere tutti i connettivi con un solo connettivo?

E conviene usare meno connettivi? Potremmo ridurci ad un solo connettivo, ma usando un connettivo nuovo: il NAND oppure il NOR. Possiamo cominciare definendo  P come NAND(P,P) oppure come NOR(P,P); Scriviamo P  Q come NAND(NAND(P,P),NAND(Q,Q)), o P  Q come NOR(NOR(P,P), NOR(Q,Q)). Così tutti i connettivi si potrebbero scrivere con un solo connettivo Ma sarebbe utile? P Q NAND(P,Q) NOR(P,Q) Avremmo lunghe espressioni illeggibili, e quindi è meglio avere qualche connettivo in più

Trova una proposizione con la tavola X P Q R X ? ?? P  Q  R  P  Q  R  P  Q 1 1

CONSIDERIAMO LE INTERPRETAZIONI IN CUI LA FORMULA E’ VERA P Q R congiunzioni  P  Q  R  P  Q  R 10 0 P  Q  R P  Q  R P  Q  R forma normale disgiuntiva: (  P  Q  R)  (  P  Q  R)  (P  Q  R)  (P  Q  R)  (P  Q  R) equivalente a (P  Q)  R Applicando la proprietà distributiva dell’  rispetto all’ , le proprietà di assorbimento, e le ovvie proprietà P equivale a P  P e a P  P, e detta 0 una qualsiasi contraddizione e 1 una qualunque tautologia, 1  P equivale a P, 0  P equivale a 0, 1  P equivale a 1, 0  P equivale a P, si ottiene la forma normale congiuntiva, ovvero clausola: (P  R   Q)  (P  R  Q)  (  P  R   Q) che equivale a (P  R)  (R   Q) Ma troveremo un modo più diretto e più semplice per costruirla