1 Consideriamo una funzione d’onda di una particella a riposo: Breit-Wigner: decadimenti e vita media Se l’energia della particella è reale la probabilità di trovarla non dipende dal tempo. E è reale e Consideriamo il caso di una particella alla cui energia E aggiungiamo una piccola parte immaginaria La probabilità di trovare la particella dipende dal tempo: segue un andamento esponenziale con tempo caratteristico.

2 Consideriamo una funzione del tempo f(t). Si definisce trasformata di Fourier la funzione: Significato della parte immaginaria dell’energia di una particella Il prodotto  t è adimensionale: [  ] = 1/[T] Poniamo f(t)=  (t). Se il decadimento inizia al tempo t=0, possiamo considerare la seguente trasformata:

3 Significato della parte immaginaria dell’energia di una particella Se poniamoed eleviamo g(  ) al quadrato: Se g(  ) fornisce la densità di probabilità per l’energia di una particella associata ad una funzione d’onda  (t), deve soddisfare alla condizione di normalizzazione:

4 Significato della parte immaginaria dell’energia di una particella Dunque una particella dotata di energia complessa E=E 0 -i  /2 rappresenta una particella che decade con un tempo caratteristico e la cui probabilità di essere osservata con energia compresa tra E ed E+dE è data da:  è la largezza naturale della riga, E=E 0 rappresenta l’energia della particella.

5 Generalizzazione al caso anelastico Indichiamo con x<1 la probabilità che la risonanza decada nel canale elastico.  x rappresenta anche la probabilità che la risonanza sia prodotta nell’urto tra le due particelle. Indichiamo con 1-x la probabilità che la risonanza decada in uno dei possibili altri canali (anelastici). Siacon  l < 1 a+b  N *  a+b  +N  N *   +N x è detta elasticità della risonanza 1-x è detta inelasticità della risonanza. x =  el /   el = x  è detta larghezza elastica della risonanza 1-x =  in /   in = (1-x)  è detta larghezza anelastica della risonanza  =  el +  in è detta larghezza totale della risonanza Otterremo le sezioni d’urto dei vari processi moltiplicando l’espressione trovata per il caso puramente elastico per opportune combinazioni di x ed 1-x.

6 Sezione d’urto ed ampiezza di diffusione T  :  + p   + p T  :  + p  k +  + Indichiamo con  il canale elastico e con  quello anelastico. L’approssimazione Brite-Wigner risulta:

7 Diagrammi di Argand Consideriamo la parte reale e quella immaginaria dell’ampiezza d’onda parziale in prossimità di una risonanza: Se è aperto il solo canale elastico: x  =1 L’ampiezza d’onda parziale forma un cerchio unitario se vi è soltanto diffusione elastica.

8 Diagrammi di Argand x y 22 R=x  /2 y x 22 y x-r 22 R=x  /2 u=y v=r-x 22 R=x  /2

9 Diagrammi di Argand Se vi è anche diffusione anelastica L’ampiezza d’onda parziale anelastica forma un cerchio di centro (0, ) e raggio Lo scopo dell’analisi in onde parziali di una reazione è quello di determinare sperimentalmente, al variare dell’energia, il comportamento delle ampiezzeT l. T l (E) si estrae espandendo la sezione d’urto differenziale del processo in funzione dei polinomi di Legendre. Il risultato è espresso in termini dei diagrammi di Argand. Particolare interesse è fornito dall’eventuale comportamento risonante osservato. Nel caso della presenza di una risonanza in una particolare onda l si ha per E=E R  =0u=ReT  =0 v=ImT  =x  Nel caso di sola diffusione elastica x  =1 si ha il passaggio per il punto (0,1)

10 Diagrammi di Argand Inoltre per E 0 e u>0 per E>E R  <0 e u<0 Il cerchio unitario è percorso in senso antiorario. L’ampiezza d’onda parziale è descritta dal cerchio unitario solo se si è in presenza di una singola risonanza nel caso di diffusione elastica. In presenza di diffusione elastica si presenta una complicazione dovuta alla presenza di fondo non risonante ed eventualmente alla presenza di fattori di fase nel contributo risonante nel canale elastico. La traiettoria dei diagrammi di Argand risulta diversa dal puro moto circolare  può essere traslata, ruotata o distorta.

11 Diagrammi di Argand Nel caso di presenza di inelasticità inoltre x  <1  la traiettoria non passa per il punto (0,1), ma per (0, x  ). Inoltre se x  <0,5 la risonanza si osserva in corrispondenza del passaggio per  =0 invece che per  =  /2.

12 Esempi di risonanze barioniche Presenza di picchi nelle sezioni d’urto di diffusione elastica  N. Nel Lab.: Nel c.m.: Per energie cinetiche dei  ~190 MeV, che corrispondono ad una energia nel c.m. √s=1232 MeV, si osserva un picco pronunciato ed isolato.

13 Diffusione  N Nel caso della diffusione di  (spin 0) su nucleoni (spin 1/2) l’ampiezza d’onda parziale a fissato momento angolare l corrisponde a due valori del momento angolare totale: nel processo di diffusione si conserva J z anche se l’orientazione dello spin 1/2 può invertirsi a spese della terza componente del momento angolare orbitale: si può avere lo stesso valore di J z per i diversi valori di J = l  1/2 si può avere “spin flip” nella diffusione. Nella diffusione una eventuale variazione della direzione dello spin del nucleone deve essere compensata da una variazione della direzione del momento angolare relativo in modo che J z = cost  l’ampiezza di “spin flip” coinvolgerà i polinomi di Legendre associati (m  0). Essendo ortogonali, i due contributi non interferiscono. L’ampiezza totale è data dalla somma dei due contributi: spin-flip e non spin- flip Non spin-flip spin- flip

14 Diffusione  N La sezione d’urto della diffusione di  su nucleoni è data da: Se consideriamo il range dell’interazione  N R  1/m  ed assumiamo che l’interazione avvenga ad energie del  ~ 300 MeV  il massimo valore che può assumere il momento angolare relativo l è L’interazione avviene soltanto in stati di moto relativo corrispondenti alle onde s e p. Le ampiezze si riducono a: non spin-flip spin-flip